книги / Оболочки и пластины

меаризированной теориях при наличии вихрей и ударных волн давление

плоскостями выделить слой физических частиц среды, перпендикуляр­ ный вектору скорости V тела, то при расчете давления с указанной сте­ пенью точности можно считать, что частицы среды будут совершать движения, параллельные плоскостям, так что плоскости для них будут как бы жесткими непроницаемыми стенками.

Закон плоских сечений позволил дать новую постановку задач ■сверхзвуковой аэродинамики (и метод аэродинамического моделирова­ ния); вместе с тем он сделал возможным свести задачу расчета при установившемся и неустановившемся движениях к простейшей задаче о движении поршня в трубе постоянного сечения *, причем поршень дви­ жется по заданному закону v = v(t), и это та скорость, с которой в не­ подвижном столбике разрезающая его поверхность сжимает газ. Она для любой точки поверхности равна проекции вектора абсолютной ско­ рости элемента поверхности на нормаль к этому элементу.

Таким образом, стало возможным в корректной форме и удобном для практических приложений виде теоретически исследовать важные задачи, относящиеся к движению тонкостенных конструкций в газе, определять давления, а следовательно, и все аэродинамические силы, действующие на несущую поверхность при больших сверхзвуковых ско­ ростях, наличии ударных волн и переменной энтропии газа. Особенно прост расчет в линеаризированной теории12, в этом случае, например, избыточное давление Ар на любой площадке поверхности равно давле­ нию в неподвижном газе /?о, умноженному на показатель политропы х, на отношение нормальной составляющей вектора скорости этой пло­ щадки v (t) к скорости звука в невозмущенном газе

Ар = хр0 -^ 9 - v0

В 1949 г. А. А. Ильюшиным впервые была высказана, идея о воз­ можности исследования панельного флаттера на базе этих закономер­ ностей и дана корректная постановка задачи3.

Первое решение в этой постановке задачи о флаттере пластины относится к 1950 г. и принадлежит А. А. Мовчану, им же введено эффек­ тивное понятие «парабола устойчивости», которое широко используется, и предложен метод получения точных решений для класса задач о пря­ моугольных пластинах, две стороны которых, направленные вдоль по­ тока, оперты шарнирно, а две другие — с произвольными граничными условиями [26—30]. Вслед за ним за рубежом и у нас этого рода задачи рассматривали многие авторы [31—36] и др.

Задачи о флаттере применительно к оболочкам для аэродинамиче­ ских сил, учитываемых в виде избыточного давления [25], рассматривал Р Д. Степанов; ему принадлежат решения задач о флаттере цилиндри­

1 Эта теория справедлива для М >1,5 и малых углов атаки.

2 Когда при М2'^>\ параметре е<1 оказывается все же малым за счет угла ата­ ки е или толщины профиля несущей поверхности, энтропию газа можно 'считать по­ стоянной.

Вопрос о соотношении между устойчивостью в классе (4,14,14) и устойчивостью по отношению к более широкому классу решений урав­ нений (4,14,10) и (4,14,11) здесь не рассматривается.

Присоединяя сюда заданные на краях оболочки граничные уеловия, получим краевую задачу, решение которой дает собственные зна­ чения X и собственные функции Чг(а, |3). Из соотношения (4,14,16) лег­ ко найти для каждого X два значения комплексной частоты ю:

При исследовании на устойчивость в классе (4,14,14) критическими будут те значения скорости, при переходе через которые у краевой за­ дачи появляются решения вида (4,14,14) с положительной веществен­ ной частью комплексной частоты ш. Один из корней (4,14,17) непре­ менно имеет отрицательную вещественную часть, потому что сумма корней

Таким образом, задача о разыскании критической скорости в клас­ се (4,14,14) сводится к изучению расположения собственных значений К краевой задачи (4,14,10) или (4,14,11) относительно параболы устойчи­ вости (4,14,20).

функция вещественной величины х. Подставляя (4,15,2) в (4,15,1) и введя обозначения,

находим, что функция (4,15,2) является решением исходной задачи (4,15,1) тогда и только тогда, когда Х ( х ) собственная функция краевой задачи:

XIV — 2k n 2X 11+ k W X — А Х 1 = (X + d) X = Х°Х,

(4,15,4)

X (0 ) = Хп(0 ) = X (1) = X11(1) = о,

а комплексная частота со определяется формулой

(4,15,5)

Заметим, что комплексному решению (4,15,2) соответствуют действи­ тельные собственные движения панели с прогибами

Само решение (4,15,2') называется в* дальнейшем комплексным собст­ венным движением.

Величину А в уравнении (4,15,4) называют приведенной скоростью невозмущенного движения панели, X и Х° — собственными значениями.

Комплексные частоты (4,15,5) обозначим со и со' так, чтобы выпол­ нялось Reco'^Re со. Частота со' имеет отрицательную вещественную часть при любом X, а для частоты со выполняется Reco<0, Reco = 0 или Reco>0 в зависимости от того, находится X внутри или вне параболы (рис. 4.3)

Таким образом, собственному значению X краевой задачи (4,15,4) соответствуют два комплексных собственных движения w ' ( x y у , t) и. w ( x , У, t ) , первое из которых затухает с течением времени, а второе,

(4,15,4) определяют свою краевую задачу. Рассматривая множество собственных значений всех таких краевых задач, назовем степенью неустойчивости, невозмущенного движения панели число 5 собственных значений X, расположенных вне параболы устойчивости. Очевидно, не­ равенство 5 > 0 означает, что имеются собственные движения панели, амплитуда которых растет с течением времени неограниченно; равен­ ство 5 = 0 означает отсутствие собственных движений панели с нарас­ тающей амплитудой. Заметим, здесь не утверждается, что при 5= 0 не­ возмущенное движение устойчиво. Если кроме собственных движений (4,15,2) рассматривать «присоединенные движения» вида

[Xx(Jt) + tX (х)] sin ппуешу

Характеристическая система двух уравнений (4,15,8) и (4,15,9), в кото­ рой k, А считаются заданными, а а, р искомыми, обладает тем свой­ ством, что каждому ее решению

корни характеристического уравнения. Сначала основными параметрами будем считать

На вещественной плоскости Л, К0 существует счетное множество изолированных один от другого овалов lmk конечной протяженности (на рис. 4.5 показаны части этих овалов в правой полуплоскости), состоящих

стической системы.

Докажем существование комплексных собственных значений Ко в исследуемой краевой задаче. Пусть Am=Am(k) есть верхняя грань тех значений Л, при которых овал lmk имеет вещественные пересечения с прямыми Л = const. Рассмотрим какой-нибудь из этих овалов, причем для простоты предположим, что это нижний овал и что в некоторой окрестности значения А —А\ для Л<Л1 части овала образованы двумя ветвями:

При Л=Л 1 ветви (4,15,17) пересекаются в точке (Ль X?). В ее окрестности уравнение (4,15,7) представимо в виде

F(k, А, Х°) = [(А° - X?)2- 2Ф1 (k, А) (АЛ — А,?) + ф2 (k, Л)] Ф (k, А, АЛ) = 0,

где аналитическая функция Ф(&, Л, АЛ) не обращается в нуль в рас­ сматриваемой окрестности, а аналитические функции ф](&, Л), фг(&, Л) обращаются в нуль при значении Л = Л Ь Отсюда для ветвей (4,15,17) получается представление

АЛ = Л) + ] / (р2 (/г, Л) — ф | (k , Л) + А,?, (4 ,1 5 ,1 8 )

доказывающее существование ветвей (4,15,17) в некоторой окрестности значения А = А Хтакже и для Л>Л]. Поскольку в силу определения чи­ сел Am=Am(k) в окрестности значения А=А\ для А>А\ ветви (4,15,17) не могут быть вещественными, они комплексны.

В тех случаях, когда овал стягивается в точку (Лт =0), комплекс­ ные собственные значения А,0 имеются при сколь угодно малом Л=^0. Например, при k = —8,5, когда второй овал стягивается в точку, ветви

А0 = Ain, (k. Л), A°= A.m4(£> А) комплексны при сколь угодно малом Л=^0. Этот пример показывает, между прочим, что при монотонном росте Л