39 Методы определения качества переходных процессов

1. Корневые методы.

Эти методы дают косвенную оценку показателям переходных процессов, связывая корни характеристического уравнения замкнутой системы (коэффициентами этого уравнения)

В настоящее время эти методы потеряли свое значение.

2. Аналитический расчет переходных процессов.

Этот метод заключается в нахождении аналитического выражения для изменения регулирующей величины , по которому рассчитывается переходной процесс, строится его график, по которому определяются показатели. Этот метод используется для линейных САР.

3. Численный расчет переходных процессов

Метод заключается в численном интегрировании системы дифференциальных уравнений САР. Этот метод реализуется на компьютерах. Метод использует различные численные методы интегрирования систем диф. уравнений.

Он может использоваться для нелинейных систем любой сложности

4. Моделирование САР средствами вычислительной техники, например на ПК.

5. Экспериментальное определение качеств процессов на реальных САР.

40 Аналитический расчет переходных процессов

В данном разделе ставится задача нахождения аналитического выражения для изменения регулирующей величины при заданном воздействии на систему. Для этого надо решить диф. уравнение замкнутой системы, однако для линейных САР эта задача может быть решена средствам операционного исчисления по передаточным функциям замкнутой САР без использования ее дифференциального уравнения.

Пусть найдено уравнение замкнутой СА в передаточных функциях

(1)

Если задание и нагрузкаявляются заданными функциями времени, то могут быть найдены их изображения по Ла Пласу.

Правая часть выражения (1) становится полностью определенной функцией параметра преобразования Ла Пласа S и представляет собой изображение переходного процесса

Теоретически может быть найден с помощью обратного преобразования Ла Пласа.

Непосредственное нахождение этого оригинала является трудной и часто невыполнимой задачей, поэтому на практике используется следующий способ аналитического расчета:

1. Используется простой тип возмущения (скачок) и для него находится изображение переходного процесса.

2. Это изображение является дробно-рациональной функцией и раскладывается на простые дроби.

3. Для каждой дроби по таблицам преобразования Ла Пласа находится ее оригинал. Как правило, переходные процессы рассчитывается по отдельности:

• Для скачка задания

0 при t < 0

при t ≥ 0

• Для скачка по нагрузке

0 при t < 0

s

приt ≥ 0

Такое ограничение на вид возмущения является вполне приемлемым, поскольку скачок является наиболее тяжелым возмущением для этой системы.

Если при этом будут получены допустимые показатели качества работы САР, то можно ожидать, что они не ухудшатся и при других видах возмущения.

Переходный процесс по нагрузке

Когда (2),

(3)

(4)

(5)

Пусть собственный оператор замкнутой САР имеетn различных корней, тогда

где - корни, в общем случае комплексные

В этом случае дробно-рациональное выражение (3) может быть разложено на сумму простых дробей

(6)

Корни собственного оператора находятся решением уравнения , причем для этого, если, целесообразно использовать компьютеры и какой-либо математический пакет.

Необходимо найти коэффициенты разложения , являющиеся в общем случае комплексными числами.

Для этого объединим выражения (3) и (6)

Для нахождения коэффициентов , умножением левую и правую часть выражения (2) на

Вычислим выражение (8) для

(9)

Поскольку является корнем, правая часть выражения (9) представляет собой неопределенность вида, поэтому неопределенность в правой части выражения (9) будем рассматривать как предел, найденный по правилу Лопиталя.

Поскольку предполагалось, что все корни различны, тоне является корнем от производной многочлена, следовательно

В лучшем случае являются комплексными числами.

Найдем оригиналы для простейших дробей.

Пусть - вещественный корень. Ему соответствует простая дробь, где- вещественный.

Пусть - комплексный корень

и т.к. собственный оператор замкнутой САР имеет только вещественные компоненты, то будет существовать и комплексно сопряженный корень.

Коэффициенты разложения ибудут комплексно сопряженные, т.е.

Найдем оригинал для суммы

;

Окончательно аналитическое выражение переходного процесса примет вид: