34 Критерий устойчивости рауса-гурвица

Критерий позволяет оценивать устойчивость систем регулирования любого порядка. Для простоты рассмотрим его формулировку на основе системы пятого порядка, имеющий следующий собственный оператор замкнутой системы:

Составим определитель Гурвица:

1. Gпо главной диагонали разместим все коэффициенты, начиная с а₁.

2. В столбцы под главной диагональю напишем коэффициент с меньшей диагональю.

3. Над главной диагональю напишем коэффициент с большими номерами.

4. Составим диагональные миноры определителя.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица: для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица и все диагональные его миноры были положительными.

ПРИМЕР 1: система первого порядка.

Для устойчивости системы первого порядка необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты его собственного оператора были положительными.

ПРИМЕР 2: система второго порядка.

Для устойчивости системы второго порядка необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты его собственного оператора были положительными.

ПРИМЕР 3: система третьего порядка.

Для устойчивости системы необходимо, чтобы и для устойчивости коэффициент , где должно выполняться в уравнение (1), .

Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты собственного оператора были положительные и выполняли неравенство (1).

Для системы любого порядка положительность всех коэффициентов собственного оператора замкнутой САР является необходимым условием устойчивости. Если это условие не выполняется, то система не является устойчивой – она может быть неустойчивой или граничной.

Оценку устойчивости следует начинать с проверки выполнения необходимого условия.

Необходимое условие устойчивости здесь выполняется, требуется дальнейшая оценка устойчивости с помощью какого – либо критерия.

В этом случае , необходимое условие не выполнено. САР не является устойчивой.

Вывод аналогичен предыдущему

Критерий Рауса – Гурвица применим к системам любого порядка, но объем вычислений резко возрастает с ростом порядка системы, поэтому при расчетах вручную, этот критерий применяется для систем не выше 5-го порядка.

В настоящее время он практически применяется для оценки зависимости устойчивости от параметров системы.

35 Критерий Михайлова

Вывод критерия Михайлова покажем на примере САР 6–го порядка, имеющей собственный оператор.

Пусть собственный оператор замкнутой САР n-го порядка имеет различия в общем случае комплексные корни.

В этом случае он может быть представлен в виде произведения линейных множителей, а именно

- корни оператора.

- т.е S меняется по мнимой оси.

(1)

Точка будет представлять собой вектор на комплексной плоскости с началом в точкеи концом на мнимой оси в точке.

Пусть собственный оператор замкнутой САР имеет m-корней в левой полуплоскости и k-корней в правой, причем

Пусть меняется непрерывно отдо, тогда:

1. Если корень расположен в левой полуплоскости, то векторповернется на угол.

2. Если корень расположен в правой полуплоскости, то векторповернется на угол.

Т.о. приращение

1. 

2. 

Тогда изменение аргумента произведения комплексных чисел (1).

Если система устойчива, то количество корней в правой полуплоскости

, - аналитическое выражение критерия Михайлова

Применение:

Зададимся рядом чисел от 0 до и вычислим значениеи.

0
…	…	…

Нанесем полученные точки на комплексную плоскость и соединим плавной линией.

Полученная кривая называется годографом Михайлова (устойчивой САР 6-го порядка).

Критерий устойчивости Михайлова:

Для устойчивости САР n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался при на положительной части вещественной оси и при измененииот 0 допроходил полностьюn-квадрантов комплексной плоскости, не попадая в начало координат.

Пример годографа Михайлова устойчивых систем.

Пример годографа Михайлова неустойчивой САР 4-го порядка.