18 Аналитическое определение частотных характеристик

Эту задачу будем решать на примере диф. уравнения.

(1)

(2)

(3)

Для определения частотных характеристик звена входной сигнал x считаем изменяющемся по следующему гармоническому закону:

(4)

Необходимо найти частотное решение диф. уравнения (1), правая часть которого соответствует (4)

Это решение ищем в виде:

(5)

Необходимо найти такие значения b и φ, при которых y(t) определяемый выражением (5) было бы решением уравнения (1).

В ТАУ данную задачу принято решать для (6)

(7) – формула Эйлера

Тогда, (8)

Необходимо поставить x и y, определяемые выражением (6) и (8) в уравнение звена (1) и найти такие значения b и φ, при которых это уравнение обращается в тождество.

Предварительно найдём производные

(9)

(10)

(11)

Подставим (6), (8), (9), (10, (11) в уравнение (1):

(12)

Сравнивая выражения (3) и (12) получим

- амплитудно-частотная характеристика

(13)

Выражение (13) (левая часть) представляет комплексное число в экспоненциальной форме.

представляет собой АЧХ

(14)

Аргумент комплексного выражения является ФЧХ звена.

(15)

Комплексное выражение может быть представлено в алгебраической форме:

(16)

- вещественно-частотная характеристика

- мнимая частотная характеристика

АЧХ и ФЧХ являются физ. величинами и могут быть получены в результате эксперимента.

и являются только математическими объектами.

Связь между различными видами частотных характеристик:

и являются декартовыми координатами точек АФЧХ на комплексной плоскости

При расчете удобней вычислять и, наносить соотв. точки на комплексную плоскость и соединив их плавной линией, получим АФЧХ.

19 Расчет афчх Звено или соединения звеньев без запаздывания

Составим алгоритм расчета вещественной и мнимой частотных характеристик

(1)

Получим частотную передаточную функцию заменой

Комплексные выражения числителя и знаменателя представим в алгебраической форме.

(2)

Предварительно найдем степени j:

; ;;;

Дальнейшие действия по расчету АФЧХ будут одинаковы для всех звеньев, не содержащих запаздывание.

Выполним деление комплексных чисел в алгебраической форме в правой части выражения (2)

Умножим в правой части выражения (2) числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное со знаменателем.

Обозначим знаменатель, как

Представим в алгебраической форме:

ВЧХ:

МЧХ:

Для построения АФЧХ необходимо:

• Задаться рядом значений частоты

• Рассчитать по произведенному алгоритму значения:

,

• Построить точки на комплексной плоскости, используя как декартовы координаты

• Соединить точки плавной линией.

Если необходимы значения АФЧХ и ФЧХ, то они могут быть найдены по их с использованием формул предыдущего раздела.

Звено или соединение звеньев с запаздыванием

Пусть:

(1)

Причем:

не содержит запаздывания, поэтому АФЧХ для нее может быть рассчитано по алгоритму предыдущего раздела и найдена:

(2)

где и- веществ. и мнимая частотные характеристики, соответствующие

Найдем для частотную передаточную функцию:

(3)

Для звена запаздывания используем формулу Эйлера:

(4)

(5)

где и- ВЧХ и МЧХ вена с запаздыванием.