36 Критерий устойчивости Найквиста
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по АФЧХ разомкнутой системы.
Критерий Найквиста является инженерным методом оценки устойчивости. Поскольку он позволяет оценивать устойчивость систем с запаздыванием и позволяет количественно оценить запас устойчивости.
Кроме того, этот критерий использует передаточную функцию разомкнутой САР, получить которую гораздо проще, чем собственный оператор замкнутой системы.
Для оценки устойчивости преобразуем схему.
(если
разомкнут)
(1)
-
собственный оператор разомкнутой
системы,
-
оператор воздействия разомкнутой
системы.
Считаем,
что степень многочлена
меньше степени многочлена
Передаточная функция замкнутой САР по заданию равняется (имеет следующий вид для контура с единичной ООС (рис. 3)).
(2)
Упростим:
(3)
Поскольку
,
где
-
оператор воздействия замкнутой САР по
заданию.
-
собственный оператор замкнутой системы.
(3)=>
(5)
Степень
которого
(4)
Степень
оператора замкнутой системы равна
Построим
на комплексной плоскости АФЧХ разомкнутой
системы
Отметим точку С (-1;0)
Рассмотрим
вектор
на комплексной плоскости, начало которого
лежит в точке С (-1;0), а конец на АФЧХ
разомкнутой САР, т.е. в точке
Т.о.
вектор
можно представить как разность двух
векторов
При
изменении
от 0 до,
вектор
обегает все точки АФЧХ разомкнутой САР.
(7)
Числитель выражения (7) представляет собой аналитическое выражение годографа Михайлова замкнутой САР.
Знаменатель выражения (7) представляет собой годограф Михайлова разомкнутой системы.
Тогда
(8)
Рассмотрим
изменение аргумента вектора (8) при
изменении
от 0 до.
(9)
Пусть
разомкнутая САР неустойчив и ее
собственный оператор
имеет
m корней в правой полуплоскости, тогда согласно выкладкам, критерию Михайлова.
Если замкнутая САР устойчива, то согласно критерию Михайлова
Поскольку
Точка
С (-1;0) на комплексной плоскости называется
критической. Если замкнутая система
устойчива, то вектор
при изменении
от 0 до
должен совершить
полных оборотов.
Если
разомкнутая система устойчива, то в
этом случае угол поворота
В этом случае АФЧХ разомкнутой САР не охватывает критическую точку.
Критерий
Найквиста:
если разомкнутая САР неустойчива и ее
собственный оператор имеет m
корней в правой полуплоскости, то для
устойчивости замкнутой САР необходимо
и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении
от 0 до
обходила критическую точку в направлении
против часовой стрелки
раз.
Пример
АФЧХ разомкнутой системы, которая
неустойчива в разомкнутом состоянии и
имеет
2 корня в правой полуплоскости.
Итак, видим, что АФЧХ разомкнутой САР один раз обходит критическую точку, следовательно замкнутая САР устойчива.
Критерий Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии:
Если разомкнутая САР устойчива, то для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой САР не охватывала критическую точку.
Примеры АФЧХ устойчивых в разомкнутом состоянии.
Согласно критерию Найквиста:
АФЧХ 1 не охватывает критическую точку, следовательно замкнутая система устойчива.
АФЧХ 2 охватывает критическую точку, следовательно, замкнутая система неустойчива.
Если разомкнутая САР находится на границе устойчивости, то ее собственный оператор может быть представлен в виде:
(1)
Причем многочлен в скобках не имеет нулевых корней, а вещественные части всех его корней отрицательны.
Передаточная функция разомкнутой САР:
(2)
Из
выражения (1) следует, что собственный
оператор разомкнутой САР имеет нулевой
корень
кратности
.
называется
степенью астатизма системы.
АФЧХ
разомкнутой САР при
приближенно будут определяться.
В судовой автоматике встречаются системы с астатизмом 1-го и 2-го порядка.
Рассмотрим систему с астатизмом 1-го порядка.
Рассмотрим САР с астатизмом 2-го порядка.
В этом случае АФЧХ разомкнутой системы необходимо условно дополнить дугой бесконечно большого радиуса как показано на рисунке и к полученной АФЧХ применить критерий Найквиста для устойчивых систем.
На графике показано, что АФЧХ разомкнутых САР, которые в разомкнутом состоянии находятся на границах устойчивости охватывают критическую точку С, т.е. данные системы является неустойчивыми в замкнутом состоянии.
Примеры АФЧХ разомкнутых САР с астатизмом 1-го и 2-го порядка, не охватывающих критическую точку, т.е. данные системы в разомкнутом состоянии является устойчивыми.