36 Физический смысл критерия Найквиста

где - передаточная функция разомкнутой системы

Пусть АФЧХ системы при некоторой частотепроходит через критические точку. Будем изменять сигнал отклоняется по следующему закону:

(1)

Выходной сигнал датчика будет определяться

(2)

Параметры выходных колебаний определяется АФЧХ разомкнутой САР в критической точке.

АЧХ

;

(3)

Фазовый сдвиг (4)

_(3),(4)

(2) =>

Считаем, что сигнал задания

Найдем

Т.о. колебания с частотой , пройдя через САР, снова поступают на входс той же амплитудой и начальной фазой, следовательно, возникают незатухающие колебания с постоянной амплитудой, т.е. САР находится на границе устойчивости.

Пусть АФЧХ разомкнутой САР не охватывает критическую точку (линия (2))

Пусть

.

Т.е. проходя через систему, колебания уменьшаются по амплитуде и затухают, т.е. система является устойчивой.

Пусть

.

Пусть АФЧХ разомкнутой САР охватывает критическую точку (линия (3)).

В данном случае при прохождении через систему, амплитуда колебаний увеличится т.е. САР является неустойчивой.

37 Запасы устойчивости

Теоретически устойчивая САР на практике может оказаться неустойчивой, если она находится близко к границе устойчивости по причинам:

1. Уравнение динамики ОР и элементов регулятора являются приближёнными, потому влияние неучтённых факторов в описании динамики может сделать систему неустойчиво.

2. При работе системы изменяются эксплуатационные параметры, что так же может вывести систему за границу устойчивости.

3. Коэффициент уравнения динамики ОР и элементов регулятора так же вычисляются приближённо.

Поэтому кроме факта устойчивости необходимо так же знать на сколько далеко система находится от границы устойчивости, т.е. численное расстояние до этой границы. Для критерия Рауса-Гурвица можно было бы потребовать выполнение условия: 0, где  - некоторое число, по которому можно судить по расстоянию до границы устойчивости. для критерия Михайлова можно потребовать выполнения условия: |M(j)|>. Однако в этих обоих случаях величина  не связана в явном виде с поведением системы.

Наиболее лучшее решение этой задачи даёт критерий Найквиста, т.к. позволяет найти запасы устойчивости, связанные с качеством работы системы.

_с - частота среза, при этой частоте АФЧХ разомкнутой САУ пересекает окружность единичного радиуса: |Wp(j_с)|=1; A(_с)=1. Проводится радиус через точку среза, тогда  называется запасом устойчивости по фазе. Для нормальной работы системы требуется выполнение условия >30⁰ (35⁰). Запас устойчивости по амплитуде:

Влияние коэффициента усиления разомкнутой САР на йустойчивость:

Пусть найдены ПФ разомкнутой системы:

Приведём её у виду:

, где - коэффициент разомкнутой системы.

Тогда: , где - коэффициент разомкнутой системы.

Тогда: , где:

Найдём ЧПФ разомкнутой системы: .

Рассчитаем и построим АФЧХ для

, где:

.

Увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы не изменяет АФЧХ разомкнутой системы. АЧХ разомкнутой системы изменяется пропорционально изменению.

В общем случае увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы уменьшает запасы устойчивости:

и может считать систему неустойчивой.

Влияние запаздывания на устойчивость САР

Пусть ПФ разомкнутой системы имеет вид: .

Причём ПФ W₁(s) не содержит запаздывания.

Найдём частотную ПФ разомкнутой системы: .

.

.

.

.

.

Т.о. запаздывание на изменение АЧХ, ФЧХ уменьшается на величину причём.

Т.о. запаздывание уменьшает запасы устойчивости САР и может сделать систему неустойчивой.