32 Основные понятия устойчивости сау

И

f

зменим воздействие на систему, например увеличим заданное значение регулируемой величины, в результате чего начнётся изменение регулируемой величины во времени.

1. В момент времени t=0 – уберём воздействие на систему(вернём задание Хз к прежнему значению).

2. При t>0 на систему не действуют воздействия:

Хз;f(t) = 0, но сигнал выведен из состояния равновесия.

3. Рассмотрим изменение регулируемой величины при t>0.

1. Если регулируемая величина при t возвращается в исходное равновесное состояние, т.е. х(t)0, то система называется устойчивой (график 1).

2. Если регулируемая величина удаляется от равновесного состояния, то система называется неустойчивой(графики 2.1 и 2.2).

3. Если регулируемая величина принимает новое равновесное состояние, то система находится на границе устойчивости (граничная система (кривая 3,1)) или в ней возникают незатухающие колебания постоянной амплитуды (график 3,2).

Работоспособными являются только устойчивые системы.

Рассмотрим связь устойчивости САР с её ДУ. Эту задачу решим не примере системы 3-го порядка. В этом случае при t>0 поведение системы описываются следующим ОДУ 3-го порядка.

(1).

0 – в правой части означает, что воздействие на систему равно 0.

Хз = 0; f(t) = 0

Поскольку система выведена из состояния равновесия, имеет место не нулевые начальные условия:

Н.у.: (2).

Необходимо найти решение уравнения (1) при н.у. (2).

Для решения составим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1):

(3).

(4).

Характеристическое уравнение совпадает с операторным уравнением системы.

D(s) = 0

Предположим, что уравнение (3) имеет 1 вещественный и 2 комплексных корня:

Первый корень: .

Вторые корни: .

Решение уравнения (1) в этом случае имеет вид:

(5).

,где С1,С2,С3 – находятся из н.у. (2).

Рассмотрим уравнение х(t) при t:

1. :

регулировочная величина возвращается в исходное равновесное состояние, т.е. система устойчива.

2. :

.

:

.

Регулировочная величина во 2 и 3 случае удаляется от исходного равновесного состояния, т.е. система не устойчива.

3. 

.

Колебания с постоянной амплитудой, т.е. система находится на границе устойчивости.

Математически необходимое и достаточное условие.

Для устойчивости системы регулирования необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристических уравнений были отрицательны. Реальные САР являются нелинейными. Путём . уравнение системы

33 Оценка устойчивости по корням характеристического уравнения системы

В соответствии с предыдущим разделом для оценки устойчивости необходимо составить характеристическое уравнение по дифференциальному уравнению системы и найти его корни. В зависимости от знаков вещественных частей корней, можно сделать вывод по устойчивости системы. Вместо характеристического уравнения можно использовать операторное уравнение D(s)=0.

1. Для систем первого порядка:

Система первого порядка будет устойчива если одного знака.

2. Для систем второго порядка:

Для определённости положим, что .

Корни характеристического уравнения имеют вид:

ВЫВОД: системы второго порядка будет устойчива, если коэффициент собственного оператора собственной системы положительны.

3. Для систем третьего порядка:

Уравнение третьего порядка можно решить по формулам Кардана и оценить устойчивость системы.

Для систем четвёртого порядка и выше отсутствуют аналитические методы решения собственного оператора.

Корни могут быть найдены различными приближёнными численными методами с применением вычислительной техники. Поэтому возникает проблема устойчивости системы без нахождения корней с помощью критериев устойчивости.

Критерии устойчивости делятся на:

• алгебраические (методы Рауса-Гурвица, Вышнеградского);

• частотные (методы Михайлова, Найквиста).