книги / Практическая кристаллография
..pdfОпределение символов ребер кристаллов гексагональной и тригональной сингоний
По четырехосным символам Браве [г{г2г /^
г, |
г 2 |
гз г 4 = (2“ " v) |
(2v ~ и) ( и v) 3w; |
|
и |
v |
2г, +г2 |
г + 2г, |
г, |
w = — -— :—-— : —. |
||||
|
|
3 |
3 |
3 |
По направляющим косинусам координатных углов К, р, е, v
г, |
|
гг |
1 |
3 |
а0 |
Г 2 |
га = cosX |
coS|x : cose ------cosv; |
|||
|
|
|
|
L OQ |
|
r, |
r2 |
r3 = |
0; cosX + |
cosn + COSE = |
0. |
Определение символов граней кристаллических многогранников
По параметрам Вейсса р, q, г
ОА |
ОВ |
ОС |
р '■q '• г — а0 |
Ь0 |
CQ |
где ОА, ОВ, ОС —отрезки, отсекаемые гранью АВС на осях координат ОХ, OY, OZ.
По индексам Миллера
1 1 1 h к: 1= Р q г
По координатам трех узлов прямой пространственной решетки (и ; v.; w)
1 |
Vj |
Wj |
u\ |
1 |
wl |
ui |
vi |
1 |
h :k:l = ± 1 |
v2 |
>v2 |
и |
1 |
w2 : |
u2 |
v2 |
1 |
1 |
^3 |
*3 |
u3 |
1 |
w3 |
«3 |
V2 |
1 |
Выбор координатных систем и начала координат для описания кристаллических структур различных сингоний
Триклинная сингония
Триклинные кристаллические структуры характеризуются полным отсутстви ем осей симметрии и плоскостей симметрии, неравенством осевых (масштаб ных) единиц (я0 * Ьа * с0), а также неравенством всех трех углов между осями координат (а * р * у * 90е). Ввиду отсутствия осей и плоскостей симметрии координатные направления выбирают параллельными трем некомпланарным сравнительно плотнозаселенным атомным рядам. Начало координат —в точке пересечения этих трех направлений, которая в случае пространственной груп пы симметрии (ПГС) Р1 совпадает с центром симметрии (Q . Порядковые но мера пространственных групп симметрии приводятся в соответствии с Между народными кристаллографическими таблицами (МКТ).
Номер по МКТ |
ПГС |
Выбор начала координат |
1 |
2 |
3 |
1 |
Р1 В точке пересечения трех плотных атомных рядов |
|
2 |
P I |
В центре симметрии (С) |
Моноклинная сингония
Моноклинные кристаллические структуры характеризуются единственным четко выраженным кристаллографическим направлением (осью симметрии второго порядка или нормалью к плоскости симметрии), которое принимают за ось OY. Остальные оси координат параллельны плотным атомным рядам. Углы между осями координат (а = у = 90° * р), все осевые единицы разные (а0 * Ь0 * с0). Начало координат выбирают либо на осях симметрии второго порядка, либо на плоскостях симметрии, либо в центре симметрии (Q .
1 |
2 |
3 |
3Р2 На простой оси симметрии 2
4Р2\ На винтовой оси симметрии 2 Х
5С2 На простой оси симметрии 2
6Pm На зеркальной плоскости симметрии m
7Рс На плоскости скользящего отражения с
8Cm На зеркальной плоскости симметрии m
1 |
2 |
3 |
9 |
Сс |
На плоскости скользящего отражения с |
10 |
Р2/т На пересечении оси 2 с плоскостью т (в центре симмет |
|
|
|
рии С) |
11Р2/с На плоскости с: на со/4 от оси 2 (в центре симметрии С)
12Р2\/т На оси 2\ \ посередине между плоскостями т (в центре
|
|
симметрии С) |
13 |
Р2х/с |
На b j 4 от плоскости с и на со/4 от оси 2\ (в центре сим |
|
|
метрии Q |
14 |
С2/т На пересечении оси 2 с плоскостью т (в центре симмет |
|
|
|
рии С) |
15 |
С2/с |
На плоскости с: на c j 4 от оси 2 (в центре симметрии С) |
Ромбическая сингония
Ромбические (или, как их именуют в западной литературе, орторомбические) кристаллические структуры характеризуются тремя четко выраженными взаим но перпендикулярными кристаллографическими направлениями (а = р = у = = 90°), которые определяются либо по осям симметрии второго порядка, либо по нормалям к плоскостям симметрии, либо по их комбинациям. Все осевые еди ницы разные (а0 * Ь0 * с0).
Взаимное расположение координатных осей полностью соответствует по рядку записи символа пространственной группы симметрии, где после символа пространственной решетки Браве (первая позиция) следуют: плоскость сим метрии, перпендикулярная оси ОХ, или ось симметрии второго порядка (вдоль оси ОХ), если отсутствует указанная плоскость симметрии (вторая позиция); плоскость симметрии, перпендикулярная оси OY, или ось симметрии второго порядка (если отсутствует плоскость симметрии) (третья позиция); плоскость симметрии, перпендикулярная оси OZ, или ось симметрии второго порядка (если отсутствует плоскость симметрии) (четвертая позиция).
Для определенности длинный перечень пространственных групп симметрии ромбических ПГС (всего 59) разделим на три части по составу элементов сим метрии: в первую часть войдут ПГС (№ 16+37), которые не имеют горизонталь ных элементов симметрии; во вторую часть —ПГС (№ 38+46), которые не име ют плоскостей симметрии; в третью часть —ПГС (№ 47+74), которые содержат по три взаимно перпендикулярных плоскости симметрии.
1 |
2 |
3 |
16 |
Ртт2 На оси 2(z): на пересечении плоскостей симметрии т(х) и |
|
|
|
т(у) |
17 |
Рсс2 |
На оси 2(z): на пересечении плоскостей симметрии с(х) и |
|
|
с(у) |
1 |
2 |
3 |
16 |
Ртт2 На оси 2(z): на пересечении плоскостей симметрии |
|
|
|
т(х) и т(у) |
17 |
Рсс2 |
На оси 2(z): на пересечении плоскостей симметрии |
|
|
с(х) и ф ) |
18 |
Рта2 |
На оси 2(z): на плоскости а(у) - на яо/4 от плоскости |
|
|
т(х) |
19Рпс2 На оси 2(z): на плоскости п(х) - на Ьо/4 от плоскости
ф)
20Рпп2 На оси 2(z): на а0/4 от плоскости п(х) и на Ь0/4 от плос
кости п(у)
21 |
РЬа2 На оси 2(z): на ао/4 от плоскости 6(х) и на Ь0/4 от плос |
|
кости а(у) |
22Ртс2\ На оси 2\(z): на пересечении плоскостей т(х) и с(у)
23Ртп2\ На пересечении плоскостей т(х) и и(у), на а0 от оси
*(*)
24Рса2\ На оси 2(z): на плоскости а(у) - на aJ4 от плоскости
Ф)
25Рпа2у На оси 2x(z): на яо/4 от плоскости «(д:) и на Ь0/4 от
|
плоскости а(у) |
26 |
Стт2 На оси 2(z): на аго/4 от плоскости т(х) и на Ь0/4 от |
|
плоскости /л(у) |
27Ссс2 На оси 2(z): на пересечении плоскостей C(JC) и с(у)
28Стс2\ На оси 2j(z): на пересечении плоскостей /w(x) и £(у)
29Атт2 На оси 2(z): на пересечении плоскостей т(х) и /г?(у)
30АЬт2 На оси 2(г):на плоскости Ь(х) - на Ь0/4 от плоскости
|
|
т(у) |
31 |
Ата2 |
На оси 2(z): на плоскости а(у) - на ао/4 от плоскости |
|
|
т(х) |
32 |
АЬа2 |
На оси 2(z): на а0/4 от плоскости Ь(х) и на b j4 от плос |
|
|
кости а(у) |
33Fmm2 На оси 2(z): на пересечении плоскостей т(х) и т(у)
34Fdd2 На оси 2(z): на а0/8 от плоскости d(x) и на 60/8 от плос
кости J(y)
35Imm2 На оси 2(z): на пересечении плоскостей т(х) и т(у)
361та2 На оси 2(z): на плоскости а(у) - на aJ4 от плоскости
|
|
ш(х) |
37 |
Лш2 |
На оси 2(z): на а0/4 от плоскости 6(х) и на Ьо/4 от плос |
|
|
кости а(у) |
38 |
Р222 |
В точке пересечения осей симметрии 2(х), 2(у), 2W |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
39 |
Р222\ |
На оси 2 \ ( z |
) : на пересечении с осью 2 ( х ) - на с0/4 от |
||||
|
Р2\2\2 |
оси 2 ( у ) |
|
|
|
|
|
40 |
На оси 2 ( z ) \ |
на a |
j 4 от оси 2 i ( x ) и на b j 4 от оси 2 |
х( у |
) |
||
41 |
Р2\2\2\ |
На Ь { ) ! 4 от оси 2 |
\ { х ) , на со/4 от оси 2 \ (у) и на a < J 4 |
от оси |
|||
|
|
2 i ( z ) |
|
|
|
|
|
42 |
С222 |
В точке пересечения осей симметрии 2 ( х ) , 2 |
( у ), 2 |
( z ) |
|
||
43 |
С222\ |
На оси 2 \ ( z |
) : на пересечении с осью 2 ( х ) - |
на c j |
4 от |
||
|
|
оси 2 ( у ) |
|
|
|
|
|
44F222 В точке пересечения осей симметрии 2 ( х ) , 2 ( у \ 2 ( z )
451222 В точке пересечения осей симметрии 2 ( х ) , 2 ( у \ 2 ( z )
46 |
12\2\2\ На Ь и/ 4 от оси 2 ] ( х ) , на с</4 от оси 2 , ( у ) и на а 0 / 4 от оси |
|
2i(z) |
47Рттт В точке пересечения плоскостей т ( х ) , т ( у ), m ( z ) \ *С
48Реет В точке пересечения плоскостей фг), с ( у ), m ( z ) \ *С
49 |
РЪап |
На плоскости п : на а 0 / 4 |
от плоскости Ь ( х ) |
и на Ь о / 4 |
от |
||||||
|
Рппп |
плоскости а ( у ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
На а о / 4 от плоскости п ( х |
\ |
на Ь 0 / 4 от плоскости п ( у \ |
на |
|||||||
|
Ртта |
со/4 от плоскости n ( z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
На пересечении |
плоскостей т |
( у ) |
и a ( z ) : |
на а 0 / 4 |
от |
|||||
|
Ртпа |
плоскости т ( х ) \ *С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
На пересечении |
плоскостей т ( х ) |
и п ( у ) : |
на с о / 4 |
от |
||||||
|
|
плоскости a ( z ) \ *С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
Рсса |
На пересечении плоскостей с ( у ) |
и a ( z ) : |
на а 0 / 4 |
от плос |
||||||
|
Рппа |
кости с(д:); *С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
На пересечении плоскостей п ( х ) |
и a ( z ) : |
на b < J 4 |
от плос |
|||||||
|
РЬат |
кости п ( у ) \ *С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
На плоскости m { z ) : на а 0 / 4 |
от плоскости Ь |
( х ) |
и на Ь 0 / 4 |
|||||||
|
РЬст |
от плоскости а ( у ) \ |
*С |
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
На плоскости Ь ( х ) : на Ь 0 / 4 |
от плоскости с ( у ) |
и на со/4 |
||||||||
|
|
от плоскости m ( z ); *С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
Рттп |
В точке пересечения плоскостей т |
( х \ т |
( у \ |
n ( z ) |
|
|||||
58 |
Рппт |
На плоскости m ( z ) \ на а 0 / 4 |
от плоскости п |
( х ) |
и на Ь 0 / 4 |
||||||
|
|
от плоскости п ( у ) \ |
*С |
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
РЪеп |
На плоскости с ( у ) : на а о / 4 |
от плоскости Ь |
( х ) |
и на С о / 4 |
||||||
|
|
от плоскости n ( z ) \ |
*С |
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
Рссп |
На плоскости n ( z ) : |
на ао/4 от плоскости с ( х ) и на Ь^4 |
||||||||
|
|
от плоскости с ( у ) \ |
*С |
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
Рпта |
На а 0 / 4 от плоскости п ( х \ |
на Ь0/4 от плоскости т ( у ), на |
||||||||
|
РЬса |
Со/4 от плоскости a |
( z ) \ *С |
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
На а 0 / 4 от плоскости /?(х), на Ь 0 / 4 |
от плоскости с(у), на |
|||||||||
|
|
CQ/4 от плоскости n |
( z ) ; *С |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
63 |
Сттт |
В точке пересечения плоскостей т(х), т(у), m(z); *С |
64Ссст В точке пересечения плоскостей с(х), с(у), m(z)\ *С
65Стта На пересечении плоскостей т(х) и a(z)\ на Ь0/4 от
плоскости т(у)\ *С
66 |
Ссса |
На яо/4 от плоскости с(х\ на Ь0/4 от плоскости с(у), на |
|
|
со/4 от плоскости a(z) |
67Стст В точке пересечения плоскостей т (х\ с(у), m(z)\ *С
68Стса В точке пересечения плоскостей т(х), с(у\ a(z); *С
69Fmmm В точке пересечения плоскостей т{х\ т(у), m(z); *С
70Fddd На ао/8 от плоскости d(x\ на Ь0/8 от плоскости d(y\ на
Со/8 от плоскости d{z)
71Immm В точке пересечения плоскостей т(х), т(у), m(z)\ *С
72Ibam На плоскости m(z):на а^4 от плоскости Ъ(х) и на bJ4
|
|
от плоскости а{у)\ *С |
73 |
Imma |
На плоскости т(х): на 6о/4 от плоскости т(у) и на Со/4 |
|
|
от плоскости a(z)\ *С |
74 |
Ibca |
На а0/4 от плоскости Ь(х\ на bd4 от плоскости с(у) и |
|
|
на со/4 от плоскости a(z)\ *С |
Тетрагональная сингония
Тетрагональные кристаллические структуры характеризуются тремя взаим но перпендикулярными кристаллографическими направлениями (а = 0 = у —90°), где вертикальное положение занимает ось симметрии четвертого порядка, а горизонтальные оси координат определяются по нормалям к соответствующим (вертикальным) плоскостям симметрии, либо по горизонтальным осям сим метрии (если отсутствуют вертикальные плоскости симметрии. Осевые едини
цы ао = К * со- В первой позиции символа пространственной группы симметрии указыва
ется символ пространственной решетки Браве. За ним следуют символы верти кальной оси симметрии четвертого порядка и горизонтальной плоскости сим метрии (если таковая присутствует) (вторая позиция), символы координатных (третья позиция) и диагональных (четвертая позиция) элементов симметрии.
Для удобства длинный перечень пространственных групп симметрии тетра гональных ПГС (всего 68 ПГС) разделим на три части по составу элементов симметрии: в первую часть войдут ПГС (№ 75-НОО), которые не имеют гори зонтальных элементов симметрии или вертикальных плоскостей симметрии; во вторую часть —ПГС (№ 101-И22), которые не имеют горизонтальных плос костей симметрии; в третью часть —ПГС (№ 123-Н42), которые имеют и гори зонтальные, и вертикальные плоскости симметрии.