книги / Практическая кристаллография
..pdf0' |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
|||||
000 |
010 |
020 |
030 |
040 |
050 |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
200 |
210 |
220 |
230 |
240 |
250 |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
300 |
310 |
320 |
330 |
340 |
350 |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
400 |
410 |
420 |
430 |
440 |
450 |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
500 |
510 |
520 |
530 |
540 |
550 |
Рис. 24.18. Плоская сетка обратной пространственной решетки, сопряженной с примитивной куби ческой пространственной решеткой
Для примера определим величину межплоскостного расстояния для семей ства вертикальных параллельных атомных плоскостей (310) (рис. 24.17). Пост роим нормаль к указанному семейству атомных плоскостей (310), проведя пря мую через начало координат О и узел прямой пространственной решетки [310] (в кубическом кристалле нормаль к атомной плоскости совпадает с одноимен ным направлением).
Длина отрезка, заключенного между точкой О и узлом [310], соответствует десяти межплоскостным расстояниям dm (по соотношению (24.9)). С другой
стороны, длина этого отрезка равна a07lO. Следовательно, искомая величина
межплоскостного расстояния составляет dm = (а0л/10)/10 = а0лЯо.
Очевидно, для определения величины межплоскостных расстояний dhklв при митивных кубических структурах удобнее пользоваться соотношением типа
ап |
(24.11) |
|
dhkl yjh2 +к2 +12 |
||
|
Отсюда получаем для непосредственного построения узлов обратной про странственной решетки значения величин, обратных межплоскостным рассто яниям (в примитивной кубической кристаллической структуре):
1 yjh2 + k2 + l2
(24.12)
dui
Для построения узлов обратной пространственной решетки, сопряженной с прямой примитивной кубической пространственной решеткой, приводим зна чения обратных величин межплоскостных расстояний:
(hkl)... |
... 100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
dhki...... |
... l/a0 |
V2/a0 |
V5/a0 |
yjl0/a0 |
Vl7/a0 |
V26/a, |
(hkl)... |
... 230 |
250 |
340 |
350 |
450 |
560 |
^hkl ....... |
... Vl3/a0 |
V29/a0 |
V25/a0 |
V34/a0 |
V41/a0 |
7б1 /а, |
Построенная по результатам подсчетов плоская узловая сетка обратной про странственной решетки, сопряженной с прямой примитивной кубической про странственной решеткой, приведена на рис. 24.18. Эта горизонтальная плоская узловая сетка проходит через начало координат обратной пространственной решетки О'. Ее узлы располагаются по вершинам квадратов, что служит приме ром соответствия между симметрией прямой и обратной пространственных решеток.
Напомним, что каждый из узлов обратной пространственной решетки соот ветствует конкретному семейству параллельных атомных плоскостей кристалической структуры. С другой стороны, одному семейству параллельных атом ных плоскостей кристалла соответствует несколько узлов обратной простран ственной решетки (так же, как одному семейству параллельных атомных плос костей соответствует несколько дифракционных рефлексов на рентгенограмме кристалла).
В связи с последним обстоятельством на плоской узловой сетке (рис. 24.18) наряду с узлами ((100)), ((110)) появились узлы с символами типа ((200)), ((300)), ((220)), ((330)) и т.д. Последние узловые точки обратной пространственной ре шетки соответствуют дифракционным рефлексам высоких порядков: если узел ((100)) соответствует дифракционному рефлексу первого порядка, то узел ((200)) отвечает аналогичному рефлексу второго порядка от того же самого семейства параллельных атомных плоскостей кристаллической структуры (100), а узел ((300)) — рефлексу третьего порядка от того же семейства атомных плоскостей (100).
Таким образом, если полная совокупность направлений в кристалле [MVW] описывалась узлами прямой пространственной решетки, то моделирование со вокупности атомных плоскостей кристаллической структуры (hkl) осуществ ляется с помощью узлов обратной пространственной решетки.
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Новиков И.И., Розин К.М. Кристаллография и дефекты кристаллической ре шетки. — М.: Металлургия, 1990. — 336 с.
Розин К.М. Описание кристаллических структур с помощью Международных кристаллографических таблиц: Учебное пособие. — М.: МИСиС, 2001. — 66 с.
Розин К.М., Гусев Э.Б. Практическое руководство по кристаллографии и кри сталлохимии. — М.: Металлургия, 1982. — 166 с.
Розин К.М., Петраков В. С. Индицирование плоскостей и направлений в кри сталлах: Учебное пособие. — М.: МИСиС, 2001. — 75 с.
Розин К.М., Гусев Э.Б. Практическое руководство по кристаллографии и кри сталлохимии. Методы описания кристаллических структур. — М.: Металлур гия,1985. — 168 с.
Шаскольская М.П. Кристаллография. — М.: Высшая школа, 1984. — 375 с. Шаскольская М.П., Розин К.М. и др. Разбор моделей кристаллических струк
тур: Учебное пособие. — М.: МИСиС, 1970. — 143 с.
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
26 |
Поворот на 90° вокруг оси ОХ (по |
4 ; |
-1 |
|
0 |
|
0 |
|
часовой стрелке): |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
инверсионная ось симметрии 4 |
|
0 |
|
- |
1 |
0 |
27 |
Поворот на 90° вокруг оси OY (по |
< |
0 |
|
0 |
- |
1 |
|
часовой стрелке): |
0 |
- |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
инверсионная ось симметрии 4 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
28 |
Поворот на 90° вокруг оси OZ (по |
< |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
часовой стрелке): |
-1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
инверсионная ось симметрии 4 |
|
0 |
|
0 |
- |
1 |
29 |
Поворот на 60° вокруг оси OZ (против |
6. |
-1/2 |
Л / 2 |
0 |
||
|
часовой стрелки): |
|
-л/3/2 |
-1/2 |
0 |
||
|
инверсионная ось симметрии 6 |
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
- |
1 |
|
30 |
Поворот на 60° вокруг оси OZ (по |
|
|
||||
ё; |
-1/2 |
- Л /2 |
0 |
||||
|
часовой стрелке): |
|
—л/З /2 |
-1/2 |
0 |
||
|
инверсионная ось симметрии 6 |
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
- |
1 |
|
|
|
|
|
||||
31 |
Отражение в вертикальной зеркальной |
тх |
-1 |
|
0 |
|
0 |
|
плоскости симметрии (100) |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
32 |
Отражение в вертикальной зеркальной |
ту |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
плоскости симметрии (010) |
|
0 |
- |
1 |
0 |
|
|
Отражение в горизонтальной зеркальной |
т2 |
0 |
|
0 |
|
1 |
33 |
1 |
|
0 |
|
0 |
||
|
плоскости симметрии (001) |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
34 |
Отражение в вертикальной зеркальной |
/я(110) |
0 |
|
0 |
- |
1 |
0 |
- |
1 |
0 |
||||
|
плоскости симметрии (110) |
|
-1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
35 |
Отражение в вертикальной зеркальной |
т{\ ТО) |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
плоскости симметрии (1 10) |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
36 |
Отражение в наклонной зеркальной |
w(101) |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
- |
1 |
|||
|
плоскости симметрии (101) |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
37 |
Отражение в наклонной зеркальной |
|
-1 |
|
0 |
|
0 |
/и(Т01) |
0 |
|
0 |
|
1 |
||
|
плоскости симметрии (101) |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
38 |
Отражение в наклонной зеркальной |
т(011) |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
плоскости симметрии (011) |
|
0 |
|
0 |
- |
1 |
|
|
|
0 |
- |
1 |
0 |
|
39 |
Отражение в наклонной зеркальной |
m(Oll) |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
плоскости симметрии (011) |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
40 |
Отождествление |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
Расчетные формулы геометрической кристаллографии
Определение символов ребер [MVW] кристаллических многогранников
По координатам коллинеарного радиус-вектора (/я; п; р)
ОА ОВ ОС
и v w = т п р — — |
:-г—:----. |
а 0 |
б 0 с0 |
По координатам двух узлов прямой пространственной решетки (и,; v,; w,) и
(^2* ^2’ ^2^
и V w = (и2 ~ и,) (v2 - V,) (w2 - w,).
По координатам двух атомов (х,; у{, г,) и (х2; у2, z)
и V W= |
Х2~Х1.У2-У1.г2~г1 |
|||
--------а0 |
• |
---------•-------- |
. |
|
|
|
Ч) |
|
|
По направляющим косинусам координатных углов X, \i, v
COSX COS|X cosv
и v w = ------- |
•— — : |
-------- . |
ao |
b0 |
c0 |
По известному символу другого направления [иJVJWJ
|
v2 w2 = Щ |
c o sX , |
COSLU |
c o s v , |
|
u 2 |
------ r L : v l |
-------- ^ : w l |
-------- S |
||
2 |
2 |
2 |
COSA.J |
COS^ |
COSVj |
По символам двух смежных граней (hxkxlx) и (h2k2l2) кристаллических мно гогранников
U V w = ± (kj2 - k2lx) (/,А2 - /2А,) (А,£2 - h2kx).
Формулы для определения углов 9 между направлениями в кристаллах раз личных сингоний см. в приложении 5.