книги / Практическая кристаллография
..pdf13.1. Взаимодействие зеркальной плоскости симметрии с перпендикулярной трансляцией
Возьмем вертикальную зеркальную плоскость симметрии ш, и перпендику лярно к ней — трансляцию Т (рис. 13.1), а также асимметричную (лишенную каких-либо элементов симметрии) пробную фигуру 1 (с ручкой вправо)*. Те перь подействуем на фиг.1 на высоте z заданными элементами симметрии, тог да после отражения фиг. 1 в зеркальной плоскости симметрии т1появится но вая фиг.2 (ручка которой повернута уже влево), а после параллельного переноса фиг.1 и фиг.2 в направлении трансляции Т появятся еще фиг.З и фиг.4. По завершении процесса размножения пробной фиг.1 получим результаты этого процесса и рассмотрим появление новых элементов симметрии. Во-первых, от метим появление зеркальной плоскости симметрии т2, которая соединяет друг с другом фиг.З и фиг.4 и располагается параллельно исходной зеркальной плос кости симметрии /и, на расстоянии трансляции Т от плоскости ту Впрочем, появления новой плоскости симметрии т2можно было ожидать, поскольку эта трансляция должна соединять друг с другом эквивалентные области кристал лического пространства. Во-вторых, необходимо отметить возникновение еще одной новой зеркальной плоскости симметрии mv которая соединяет друг с другом фиг.1 и фиг.4, а также фиг.2 и фиг.З и располагается параллельно зер кальным плоскостям симметрии /я, и т2, находясь посередине между ними.
Таким образом, при взаимодействии зеркальной плоскости симметрии с пер пендикулярной трансляцией возникает дополнительная зеркальная плоскость сим метрии, которая располагается параллельно исходной зеркальной плоскости и отстоит от нее на половину трансляции Т.
13.2. Взаимодействие плоскостей скользящего отражения с перпендикулярной трансляцией
Проанализируем взаимодействие указанных элементов симметрии с плос кости скользящего отражения типа а (с компонентами скольжения типа ±а/2) (рис. 13.2, I). Фиг.1 после отражения в плоскости скользящего отражения о, и
скольжения вдоль этой плоскости на половину транс |
|
|
|
|
|
ляции а приведет к появлению фиг.2. В свою очередь, |
|
|
|
|
|
фиг.2 после аналогичных симметрических преобра |
|
|
|
|
|
зований — к фиг.З. Затем под воздействием трансля |
|
|
|
|
|
ции b возникнут фиг.4, фиг.5 и фиг.6, а также плос |
Е Т |
L |
T I 2 |
‘П |
|
кость скользящего отражения а2, которая свяжет друг |
|||||
Z |
7 |
П 3 |
|||
с другом три последние фигуры. |
|
|
|
||
7 |
2 |
3 |
|
||
Таким образом, при взаимодействии плоскости |
|
|
|
|
|
скользящего отражения типа а с перпендикулярной |
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.1. К взаимодействию |
||||
|
зеркальной |
плоскости |
сим |
||
'Графические изображения элементов симметрии приводятся в |
метрии с перпендикулярной |
||||
соответствии с приложением 1. |
трансляцией |
|
|||
трансляцией Ь возникает дополнительная плоскость скользящего отражения того же типа, которая располагается параллельно исходной плоскости и отстоит от нее на половину трансляции Ь.
Теперь проанализируем взаимодействие с перпендикулярной трансляцией b плоскости скользящего отражения другого типа: типа с (с компонентами сколь жения ±с/2) (рис. 13.2, II). Пробная фиг.1, отразившись в плоскости с,, приведет к появлению новой фиг.2, высота которой отличается от высоты исходной фиг.1 на половину вертикальной трансляции с. Затем под воздействием трансляции b возникнут новые фигуры: фиг.З (из фиг.1) и фиг.4 (из фиг.2), которые соеди нены друг с другом плоскостью скользящего отражения с2.
Важным результатом рассматриваемого взаимодействия плоскости скользя щего отражения типа с с перпендикулярной трансляцией b служит возникно вение дополнительной плоскости скользящего
Ъ^ отражения с3, которая связывает друг с другом
1 1
&1 1 Z 1
|
!<в |
! |
ч |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
! |
г 1 |
1 |
|
|
|||
В 1 |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
| |
|
Pi |
|
|
|
ttr |
|
|
|
6 |
a- |
|
|
|
|
|
I |
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В \л 7+ц X |
! ел• |
Z+ |
||||||
• |
|
з |
|
|||||
|
• |
2 |
: |
|
: |
|
|
|
|
: |
2 |
: |
|
|
• |
|
|
|
г |
|
Г- |
|
|
С2 |
|
|
|
С1 |
|
сз |
|
|
|
|
|
|
|
Ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъ |
------ |
|
|
|
|
& |
I |
|
I |
|
|
|
|
|
! |
|
I |
|
В |
I |
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|||
|
j |
|
|
|
Ч |
|
|
|
' |
Z+1 |
' |
|
|
№ |
Z+ |
||
И |
|
|
. |
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
||
|
■ |
|
|
|
||||
|
I |
|
В? 1 |
|
|
|||
|
|
Z |
1 |
|
|
|||
|
1 |
|
6 |
1 |
|
|
||
1 |
», |
|
пз |
|
|
ч |
|
|
Ж
Рис. 13.2- К взаимодействию плос-
иосгей скользящего отражения а(I),
с (II), п (III) с перпендикулярной трансляцией
указанные пары фигур: 1—4, 2—3.
Таким образом, при взаимодействии плоско сти скользящего отражения типа с с перпенди кулярной трансляцией b возникает дополнитель ная плоскость скользящего отражения того же типа, которая располагается параллельно исход ной плоскости и отстоит от нее на половину трансляции Ь.
Отметим, что в обоих последних случаях по лучены весьма похожие результаты взаимодей ствия плоскостей скользящего отражения с пер пендикулярной трансляцией.
Чтобы подтвердить заключение об общих ха рактеристиках рассматриваемых взаимодействий между указанными элементами симметрии, до полним сопоставление еще одним случаем: ана лизом взаимодействия плоскости скользящего от ражения типа п (которая в отличие от рассмот ренных плоскостей скользящего отражения ти пов а и с имеет не по одному компоненту сколь жения, а комбинацию из нескольких компонен тов скольжения) с перпендикулярной трансля цией (рис. 13.2, III).
Пробная фиг.1 после отражения в плоскости л, и скольжения по вертикали на вторую компо ненту скольжения с/2 приведет к появлению новой фиг.2, которая, в свою очередь, в результате всех аналогичных симметрических преобразова ний — к появлению фиг.З. Затем под действием трансляции b возникнут еще три фигуры: фиг.4,
фиг 5 |
и фиг.б, связанные друг с другом аналогич- |
||
^ |
^ |
г г |
п2 |
нои плоскостью скользящего отражения |
|||
Серьезным результатом рассматриваемого взаимодействия плоскости сколь зящего отражения типа п с перпендикулярной трансляцией Ь служит возник новение дополнительной плоскости скользящего отражения л3, которая связы вает друг с другом следующие пары фигур: 1—5, 5—3, 4—2, 2—6.
Таким образом, при взаимодействии плоскости скользящего отражения типа п с перпендикулярной трансляцией b возникает дополнительная плоскость скользящего отражения того же наименования, которая располагается парал лельно исходной плоскости и отстоит от нее на половину трансляции Ь.
В результате серии проведенных экспериментов с размножением пробных фигур удалось выявить общие черты взаимодействия с перпендикулярными трансляциями не только зеркальных плоскостей симметрии, но и различных типов плоскостей скользящего отражения. Следовательно, можно прийти к сле дующей обобщенной формулировке рассматриваемого варианта взаимодействия элементов симметрии: при взаимодействии зеркальной плоскости симметрии (или определенной плоскости скользящего отражения) с перпендикулярной трансляци ей возникает дополнительная плоскость симметрии того же наименования, кото рая располагается параллельно исходной плоскости симметрии и отстоит от нее на половину трансляции Т.
13.3. Взаимодействие зеркальной плоскости симметрии с наклонной трансляцией
Рассмотренный случай взаимодействия плоскостей симметрии с трансля циями, как покажет последующий анализ, самым существенным образом зави сит от взаимного расположения этих двух указанных элементов симметрии кристаллических структур.
Пусть трансляция Т образует с нормалью к зеркальной плоскости /и, сим метрии угол 0 (рис. 13.3, а). Тогда трансляция Т будет соединять зеркальную плоскость тх с другой зеркальной плоскостью т2 Разложим трансляцию Т на две компоненты: тангенциальную Тт и нормальную Тн. В соответствии с рас смотренными выше примерами при взаимодействии нормальной компоненты
Рис. 13.3. К взаимодействию зеркальной плоскости симметрии с наклонной трансляцией: а— в общем виде; б — в кубической гранецентрированной структуре
Тн с перпендикулярной зеркальной плоскостью симметрии тхдолжна возник нуть дополнительная плоскость симметрии на расстоянии Тн /2 от исходной плоскости mv Но поскольку исходная трансляция Т содержит еще тангенци альную компоненту Тт, то эта дополнительная плоскость будет не зеркальной плоскостью симметрии, а плоскостью скользящего отражения с компонентой скольжения Тт.
Проверим этот неожиданный результат на примере гранецентрированной кубической структуры (ГЦК), нижнее основание которой приведено на рис. 13.3, б. Атомы 1 и 2 соединяет трансляция типа Т = (а + Ь)/2. В результате взаимодействия вертикальной зеркальной плоскости симметрии т{ с нор мальной компонентой скольжения Ь/2 должна возникнуть плоскость сколь зящего отражения с компонентой скольжения а/2 (такую компоненту сколь жения имеет плоскость скользящего отражения типа а). Действительно, на расстоянии Ь/А от зеркальной плоскости /и, располагается такая плоскость скользящего отражения: атом 7(0; 0; 0) после отражения в плоскости а попа дет в точку 3 с координатами (0; 1/2; 0) и затем после скольжения на а/2 совместится с атомом 2(1/2; 1/2; 0), расположенным в центре основания.
13.4. Взаимодействие плоскостей симметрии, содержащих горизонтальные компоненты скольжения
Рассмотрим взаимодействие двух вертикальных перпендикулярных плоско стей, одна из которых содержит горизонтальную компоненту скольжения.
Зеркальная плоскость симметрии /и, (100) пересекается с перпендикуляр ной плоскостью скользящего отражения д, (010) (рис. 13.4, I). В соответствии с заданными базисными трансляциями а и b строим основные (т2и а2) и допол нительные (т 3 и а3) плоскости симметрии. Выберем пробный атом 1, чтобы размножить его с помощью заданных плоскостей симметрии. Плоскость сколь зящего отражения а} переведет атом 1 в положение 2. Затем отражение в зер кальной плоскости тг позволит получить атом 3 (из атома I) и 4 (из атома 2).
Анализ взаимного расположения атомов 1—4 указывает на возникновение новых элементов симметрии — вертикальных осей симметрии второго порядка Ь'г и L"v которые связывают следующие пары атомов 1—4 и 2—3 и лежат в плоскости скользящего отражения д3 на расстояниях а/4 от точек пересечения
1 о /
О
1
1
О |
3 |
1 |
° |
1
аг
ъ
1 //
1
- о - |
vT1 |
1 |
|
Gj |
|
О |
1■т1 |
|
1 |
1 |
a |
1 О |
|
|
1 |
||
|
1т3 |
|
1 |
2° о |
|
1о |
|
|
1т2 |
л |
1 |
|
1 |
k 1 |
|
1 “г
Ъ |
Ч1 |
|
1 |
||
|
||
1 о |
11 |
|
1 |
1
1 о
1
1 ’ | иг
аг
аз 11
Рис. 13.4. Взаимодействие плоскостей симметрии т, и а, (I) и ахи Л, (II)
с плоскостями /и, и ту Аналогичные оси симметрии второго порядка распола гаются и в плоскостях скользящего отражения а, и а2
Таким образом, этот анализ позволяет сделать следующий вывод: наличие горизонтальной компоненты скольжения смещает ось симметрии второго поряд ка с линии пересечения двух вертикальных взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии на половину соответствующей компоненты скольжения.
Расширим рамки рассматриваемой задачи и представим, что обе взаимно перпендикулярные плоскости являются плоскостями скользящего отражения и обе содержат горизонтальные компоненты скольжения. Плоскость скользя щего отражения я, (с компонентой скольжения а/2) пересекается с перпенди кулярной плоскостью скользящего отражения Ь1 (с компонентой скольжения Ь/2) (рис. 13.4, II).
В соответствии с последним выводом о действии горизонтальной компо ненты скольжения на положение оси симметрии второго порядка каждая из двух горизонтальных компонент скольжения должна сместить эту ось симмет рии относительно линии пересечения плоскостей на половину соответствую щей горизонтальной компоненты скольжения (т.е. на а/4 и Ь/4). В результате оси симметрии второго порядка вообще отделятся от плоскостей симметрии и займут непривычные положения между ними.
13.5. Взаимодействие плоскостей симметрии, содержащих вертикальные компоненты скольжения
Разберем случай пересечения зеркальной плоскости симметрии /и, с пер пендикулярной плоскостью скользящего отражения с, (с компонентой сколь жения с/2) (рис. 13.5).
Пробный атом 1 (на высоте г) после отражения в плоскости скользящего отражения с3 и скольжения по вертикали на с/2 займет место атома 3 (на высо те z + 1/2). После отражения в вертикальной зеркальной плоскости симметрии т 3 возникнут новые атомы: 2 (из /) и 4 (из 3).
Анализ взаимного расположения пробных атомов 1—4 приводит к выводу о
появлении в результате взаимодействия двух |
|
|
ь |
|
|
рассматриваемых плоскостей симметрии но |
|
|
|
||
вого элемента симметрии — вертикальной |
о - |
|
|
|
|
винтовой оси симметрии второго порядка 2, |
-Ч З К - |
- О ч - |
|||
на линии пересечения плоскостей тги су Дей |
|
0 2 |
ог+1 |
|
|
ствительно, атом 1после поворота на 180° вок |
|
|
|
|
|
руг вертикальной линии пересечения указан |
|
-NCX- |
-XZX- |
||
ных плоскостей симметрии и скольжения по |
|
|
|
|
|
вертикали на с/2 совмещается с атомом 4, а 3 |
|
ьО2 |
V +i |
| |
|
после аналогичных симметрических преобра |
|
||||
|
■ 'О ,-----=—'< гх - |
||||
зований — с 2. |
|
ci |
|
с* |
|
Таким образом, этот анализ позволяет еде- |
|
|
|||
лать следующий вывод: наличие вертикальной |
п |
„ |
|
|
|
J |
* |
Рис. 13.5. Взаимодействие плоскостей |
|||
компоненты скольжения превращает простую |
симметрии т и с |
|
|
||
ось симметрии второго порядка на линии пересечения двух вертикальных взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии в винтовую ось симметрии второго по рядка 2v Разумеется, указанные винтовые оси симметрии второго порядка 2, возникают не только на линии пересечения плоскостей тъ и с3, но и на всех других аналогичных линиях пересечения плоскостей симметрии.
13.6. Схема определения пространственных групп симметрии (ПГС)
Пространственные группы симметрии — это символ, концентрирующий в себе наиболее существенную информацию о симметрии атомной архитектуры кристаллов. Е.С. Федоров сумел открыть ключевую роль симметрии в формиро вании кристаллических структур и строго математическими методами вывел 230 пространственных групп симметрии, которые охватывают все многообра зие мира кристаллов.
ПГС представляют собой конкретные сочетания важнейших элементов сим метрии кристаллических структур, отобранных по строгим правилам и выстро енных в определенном порядке. В состав характеристик кристаллической струк туры, отраженных в символе пространственной группы симметрии, входит так же одна из важнейших ее характеристик — тип пространственной решетки Браве — математическая модель, отражающая закономерное, периодическое атомное строение кристалла.
ПГС подразделяются на четыре типа, получивших свои наименования от пространственных решеток Браве (поскольку каждая пространственная группа симметрии включает в себя в качестве обязательного параметра наименование типа пространственной решетки Браве):
—примитивные;
—базоцентрированные;
—объемноцентрированные;
—гранецентрированные.
Не углубляясь в математическую сферу вывода пространственных групп сим метрии, рассмотрим лишь некоторые простейшие примеры подобных выводов. В качестве научной базы для вывода пространственных групп симметрии Е.С. Фе доров использовал учение выдающегося отечественного кристаллографа А.В. Гадолина о 32 точечных группах (классах) симметрии кристаллических много гранников.
В весьма упрощенном виде технология вывода ПГС сводится к последова тельной замене (в каждом из 32 классов симметрии) элементов симметрии кристаллических многогранников (зеркальных плоскостей симметрии, простых поворотных и инверсионных осей симметрии) специфическими элементами симметрии кристаллических структур (плоскостями скользящего отражения и винтовыми осями симметрии), а также к добавлению таких специфических эле ментов симметрии, как различного вида трансляции.
Учитывая приведенные выше примеры взаимосвязи между зеркальными плос костями симметрии и плоскостями скользящего отражения, между простыми поворотными осями симметрии, винтовыми осями симметрии и различного
рода трансляциями можно чисто схематически наметить процесс вывода ПГС, базирующийся на взаимодействии соответствующих точечных групп (классов) симметрии (ТГС) с трансляциями (Т) в символической форме
ТГС + Т — ПГС.
13.7. Вывод примитивных ПГС ромбо-пирамидального вида симметрии
Упростим задачу примерного вывода пространственных групп симметрии, выбирая для этой цели сравнительно несложную точечную группу симметрии ромбической сингонии mm2 (с ортогональной координатной системой), а так же ограничиваясь лишь примитивными (простыми) пространственными ре шетками Р, которым в кристаллических структурах соответствуют лишь про стейшие, базовые трансляции а, b и с.
Приступая к непосредственному выводу примитивных пространственных групп симметрии на базе ромбо-пирамидального вида' симметрии mm2, начнем с пра вил записи символов пространственных групп симметрии, которые, несмотря на свою предельную компактность, заключают в себе исчерпывающую информа цию о сочетании разнообразных элементов симметрии. Этими правилами харак теризуется конкретная пространственная группа симметрии, а также простран ственное расположение соответствующих элементов симметрии.
Символ пространственной группы симметрии строится, в основном, по тем же самым правилам, что и символ точечной группы (класса) симметрии. Все отличие символа ПГС от символа точечной группы симметрии сводится к до бавлению к первому символу одной-единственной позиции: символического обозначения типа соответствующей пространственной решетки Браве (прими тивной Р или базоцентрированной С или объемноцентрированной / или гра нецентрированной F). За ним, в зависимости от сингонии кристалла, указыва ются символы остальных элементов симметрии в том же самом порядке, в ка ком они следовали в соответствующем международном символе точечной группы симметрии (см. гл. 7). Так, при записи международного символа ромбической сингонии в первой позиции указывается тип пространственной решетки Браве (в последующем выводе будем обозначать символом Р). Во второй позиции — символ плоскости симметрии, которая располагается перпендикулярно коор динатной оси ОХ. В третьей позиции — символ плоскости симметрии, которая располагается перпендикулярно координатной оси OY. В четвертой позиции — символ плоскости симметрии, которая располагается перпендикулярно коор динатной оси OZ. При этом, если соответствующая плоскость симметрии отсут ствует, то вместо ее символа приводится символ перпендикулярной оси сим метрии.
Приведенное наименование класса симметрии происходит от названия общей простой фор мы [xyz] — ромбической пирамиды.
Нетрудно убедиться, пользуясь приведенной расшифровкой, что символ выб ранной базовой точечной группы симметрии mm2 полностью соответствует указанным правилам: в первой позиции символа указана зеркальная плоскость симметрии, перпендикулярная оси ОХ, во второй — зеркальная плоскость сим метрии, перпендикулярная оси ОУ, а в третьей — из-за отсутствия горизонталь ной плоскости симметрии — указан символ вертикальной оси симметрии вто рого порядка (которая служит линией пересечения двух взаимно перпендику лярных зеркальных плоскостей симметрии, упомянутых в предыдущих позици ях международного символа этой точечной группы симметрии).
Начнем вывод примитивных пространственных групп симметрии с простран ственной группы симметрии Ртт2. Здесь к двум исходным вертикальным вза имно перпендикулярным плоскостям симметрии (тт) и вертикальной оси сим метрии второго порядка (2) добавляются еще три базовые трансляции (а, b и с) в виде символа примитивной пространственной решетки Браве (Р).
Для дальнейшего вывода примитивных пространственных групп будем про изводить последовательную замену зеркальных плоскостей симметрии на со ответствующие плоскости скользящего отражения типов а, Ь, с и п (плоскость скользящего отражения типа d для примитивных пространственных групп сим метрии данного вида симметрии нехарактерна).
При указанной замене следует учитывать некоторые ограничения принци пиального характера:
1.Во второй позиции международного символа пространственной группы симметрии ромбической сингонии не может указываться символ плоскости скользящего отражения типа а. Действительно, указание плоскости а во второй позиции неправомерно, так как направление скольжения (а/2) оказалось бы перпендикулярным такой плоскости, что противоречит определению самой плос кости скользящего отражения типа а.
2.В третьей позиции международного символа пространственной группы симметрии ромбической сингонии не может указываться символ плоскости скользящего отражения типа b по аналогичным соображениям.
3.В четвертой позиции международного символа пространственной группы симметрии данного вида симметрии символ простой поворотной оси симмет рии второго порядка (2) указывается либо при отсутствии вертикальных ком понент скольжения у обеих плоскостей симметрии, либо в случае наличия вер тикальных компонент скольжения у обеих плоскостей симметрии (плоскостей скользящего отражения). Если же вертикальная компонента скольжения при сутствует только у одной плоскости скользящего отражения, то в символе про странственной группы симметрии указывается винтовая ось симметрии второ го порядка (2,).
Рассмотренные ограничения (п. 1 и 2) существенно ограничивают количе ство возможных пространственных групп симметрии. Приведем конкретные результаты замены зеркальных плоскостей симметрии плоскостями скользя
щего отражения:
Ртт2 |
РЬт2 |
Рст2х |
Рпт2х |
Рта2 |
РЬа2 |
Рса2х |
Рпа2х |
Pmc2i |
Pbc2x |
Pcc2 |
Pnc2 |
Pmn2x |
Pbn2x |
Pcn2 |
Pnn2 |
Из шестнадцати полученных сочетаний следует исключить случаи факти ческого повторения некоторых эквивалентных комбинаций, которые легко об наружить, если поменять своими местами координатные оси ОХ и OY:
Рта2 « Pbm2 Ртс2х » Рст2х Ртп2х = Рпт2х
Рса2х »РЬс2х Рпа2х «=РЪп2х Рпс2 »Рсп2
Таким образом, в результате отсева повторяющихся комбинаций элементов симметрии остается только десять примитивных групп симметрии, которые вы водятся из точечной группы симметрии mm2 и и соответствуют Международ ным кристаллографическим таблицам, где они приводятся под указанными в скобках номерами:
Ртт2 |
(№ 16) |
РЪа2 |
(№ 21) |
|
Рсс2 |
(№ 17) |
Ртс2х |
(№ 22) |
|
Рта2 |
(№ 18) |
Ртп2х |
(№ 23) |
|
Рпс2 |
(№ |
19) |
Рса2х |
(№ 24) |
Рпп2 |
(№ |
20) |
Рпа2х |
(№ 25) |
13.8. Правила записи международных символов ПГС
Вьпце приведены правила записи символов пространственных групп сим метрии только для ромбических кристаллов, поскольку без этого нельзя было продемонстрировать сам принцип вывода этих примитивных пространствен ных групп. Теперь рассмотрим общие правила записи международных симво лов пространственных групп симметрии для различных сингоний.
Вслед за символом, указывающим тип пространственной решетки Браве ана лизируемой кристаллической структуры (позиция № 1), следуют в определен ной последовательности символы элементы симметрии кристаллической струк туры, Которые ориентированы в определенных кристаллографических направ лениях. Для каждой сингонии установлено несколько таких направлений в кри сталлической структуре, по которым определяют соответствующие элементы
симметрии.
Втабл. 13.1 указывается очередность записи основных элементов симметрии
всимволах ПГС.
Г1ри записи международных символов пространственной группы сим метрии (как и в случае записи символов классов симметрии) при наличии нескольких элементов симметрии, ориентированных в указанном направлении, прежде всего используют плоскости симметрии, причем приоритетными явля-
Направления в кристаллах по позициям 2-4 в символах про
Сингония |
|
странственной группы симметрии |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
Кубическая |
[001] |
[111] |
[110] |
Гексагональная |
[0001]* |
[1120] |
[1100] |
Тетрагональная |
[001]* |
[100] |
[ПО] |
Тригональная |
[0001]’ |
[1120] |
[1100] |
Ромбическая |
[100] |
[ОЮ] |
[001] |
Моноклинная |
[010] |
- |
- |
Триклинная" |
- |
- |
- |
*В кристаллах средней категории после символа вертикальной оси симметрии высшего порядка (позиция № 2) в символе пространственной группы симметрии ука зывают горизонтальную зеркальную плоскость симметрии (если такая плоскость присутствует в кристаллической структуре).
**В символе пространственной группы симметрии триклинных кристаллов ука зывается лишь присутствие центра симметрии (символом 1), либо его отсутствие (символом 1).
ются зеркальные плоскости симметрии. Если плоскости симметрии, перпенди кулярные указанному направлению, отсутствуют, то в соответствующей пози ции международного символа указывают символ оси симметрии и в первую очередь — символ оси симметрии старшего порядка. Исключение при этом делают лишь для кристаллов средней категории при записи второй позиции международного символа, когда указывают и ось симметрии высшего порядка, и перпендикулярную плоскость симметрии, символы которых разделяют при этом наклонной чертой.
Если конкурирующими осями оказываются винтовая и инверсионная оси симметрии одинакового порядка, то, как правило, преимуществом пользуется винтовая ось симметрии (за исключением кристаллов тригональной сингонии, для которых принято указывать инверсионную ось симметрии третьего поряд ка). Если в кристаллической структуре отсутствуют и плоскости симметрии, и оси симметрии, то в соответствующей позиции международного символа про странственной группы симметрии указывают либо на наличие центра симмет рии (символом 1), либо на его отсутствие (символом 1).
В кристаллах кубической сингонии в третьей позиции международного симво ла пространственной группы симметрии указывают наклонные оси симметрии третьего порядка, ориентированные как объемные диагонали куба (символ 3).