книги / Практическая кристаллография
..pdfНа многочисленных примерах раскрывается содержание одной из важней ших характеристик кристаллического вещества — симметрии кристаллов и каж дой из ее составляющих — элементов симметрии: простых осей симметрии, зеркальных плоскостей симметрии, инверсионных осей симметрии и центра симметрии и их характерных признаков.
Для описания взаимной пространственной ориентировки множества эле ментов симметрии (а их количество в некоторых классах симметрии превыша ет два десятка различных элементов симметрии) используются наглядные сте реографические проекции, которые позволяют не только четко представить про странственное расположение каждого отдельного элемента симметрии и их совокупности в целом, но и охарактеризовать соответствующие углы между гранями и ребрами кристаллических многогранников.
Рассмотрение 32 классов симметрии сопровождается анализом соответствую щих возможных форм естественной огранки кристаллических многогранников, что, в свою очередь, помогает определению класса симметрии кристалла, по скольку простые формы огранки могут служить характерными признаками того или иного класса симметрии.
Для глубокого, неформального проникновения в сущность законов симмет рии внешней огранки кристаллических многогранников можно выполнить пос ледовательно следующие операции:
—построить по заданному международному символу точечной группы (клас са) симметрии стереографическую проекцию элементов симметрии;
— вывести формулы симметрии кристалла по заданному международному символу;
—определить отдельные элементы симметрии по моделям и чертежам кри сталлических многогранников;
—определить класс и формулы симметрии по модели кристаллического мно гогранника;
—построить стереографические проекции граней кристаллических много гранников;
—подсчитать число граней, связанных элементами симметрии, и сопоста вить полученные результаты с соответствующими таблицами;
—выявить координатные направления и единичные грани; —определить кристаллографические символы граней и ребер кристалличес
ких многогранников;
—теоретически вывести точечные группы (классы) симметрии с помощью теорем взаимодействия элементов симметрии;
— вывести простые формы естественной огранки кристаллических много гранников.
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ГРАНЕЙ И РЕБЕР
КРИСТАЛЛА (ЗОНЫ)
8.1. Действительные и возможные грани и ребра кристалла
Как отмечалось ранее, формы естественной огранки зависят от множества условий как внутреннего, так и внешнего характера. Если влияние внутренних факторов в основном определяется закономерным атомным строением крис таллов, то влияние внешних факторов можно охарактеризовать как группу воз действий случайного характера. Условия образования природных кристаллов могут весьма сильно различаться в зависимости от общего химического соста ва маточной среды, ее температуры, величины переохлаждения, скорости охлаж дения и скорости кристаллизации, наличия конкретных примесей и микропри месей и множества других факторов. Кроме того, сами эти внешние факторы могут отличаться своей нестабильностью.
На рис. 3.1 был приведен пример огранки кубического кристалла, где сочета лись грани трех сортов: развитые грани куба {100} в виде квадратных атомных сеток и менее развитые грани октаэдра {111} из треугольных атомных сеток и грани ромбододекаэдра {110} из атомных сеток прямоугольной формы. Здесь однотипные грани не имеют общих ребер.
Но, если представить себе, что какие-то из условий образования растущего кристалла могут изменяться, то следствием таких изменений может стать изме нение естественной огранки кристалла: могут исчезнуть одни грани или по явиться другие, могут исчезнуть одни ребра или возникнуть новые.
В результате многократных попыток проникнуть в тайны изменчивости ес тественной огранки кристаллических многогранников возникли представле ния о действительных и возможных элементах огранки. Например, при измене нии условий образования кристалла могут исчезнуть грани октаэдра или ром бододекаэдра и возникнуть новые ребра на стыках граней куба или на стыках граней ромбододекаэдра, что приведет к изменению внешнего облика того же самого кристалла.
С помощью специальных исследований было установлено, что для измене ния естественной огранки кубического кристалла Pb(N03)2 от чистого октаэд ра до чистого куба (через все промежуточные стадии, когда на растущих крис таллах присутствуют одновременно и грани октаэдра, и грани куба) достаточно изменения содержания конкретной микропримеси в маточной среде всего на несколько тысячных долей процента! Следовательно, наблюдаемая естествен ная огранка кристаллического многогранника состоит из того или иного соче тания возможных граней и ребер, которое зависит от множества перечислен ных факторов. Число таких сочетаний далеко не ограничивается теми просты ми формами, примеры которых приводились в предыдущей главе.
Действительно, указание на такую возможную простую форму естественной огранки, как пентагондодекаэдр (для кубических кристаллов класса симметрии m3), свидетельствует только о типе огранки кристаллического многогранника, поскольку количество таких двенадцатигранников (с общей формулой симво-
ла грани {hk0}) формально не имеет предела: их огранка может быть составле на не только из одинаковых граней типа {210}, но и из двенадцати одинаковых граней других типов: {310}, или {320}, или {410}, или {430} и т.д.
Такими же многозначными являются ссылки и на другие возможные про стые формы огранки кубических кристаллов этого же класса симметрии: тетрагонтриоктаэдры({112}, {113}, {114}, {334} и т.д.), тригонтриоктаэдры ({221}, {331}, {332}, {441}, {443} и т.д.), а также дидодекаэдры ({321}, {421}, {431}, {432} и т. д.). Такая же многозначность возможных простых форм естественной огранки ха рактерна не только для других классов симметрии кубических кристаллов, но и для всех точечных групп (классов) симметрии вообще.
8.2. Классификация граней кристалла по зонам (поясам)
Одной их важнейших категорий научного познания является разработка клас сификации объектов изучаемой отрасли. Первой такой классификацией в кри сталлографии можно считать закон постоянства двугранных углов Стенона, со гласно которому кристаллы можно различать по величине двугранных углов.
По иному признаку можно проводить классификацию кристаллов, пользу ясь методом параметров X. Вейсса. Развивая закон двойных кратных отноше ний, открытый Р.Гаюи и заложивший основы учения о закономерном, перио дическом внутреннем строении кристаллов, Вейсс предложил характеризовать пространственное положение граней каждого кристалла с помощью метода параметров, по которому грань кристалла определяется тройкой параметров: р, q ,r — трех целых, взаимно простых чисел, каждое из которых определяется как отношение длины отрезка, отсекаемого гранью на каждой оси координат, к другому отрезку, принимаемому за масштабную единицу (5.15).
Кроме того, Вейссом был предложен новый принцип объединения граней кристалла в особые группы, называемые зонами, или поясами. Понятие зона объе диняет грани кристаллического многогранника, которые пересекаются по па раллельным ребрам. Например, шестерка вертикальных граней гексагональной призмы входит в одну зону (рис. 8.1, о). Зона может включать в себя множество
(1120)
Рис. 8.1. Пример зоны, образованной гранями гексагональной призмы (а); проекции граней и символы граней (б)
граней одного кристалла, что позволяет во многих случаях упростить описание его огранки.
Стереографические проекции нормалей граней кристаллического многогран ника, принадлежащих одной зоне, располагаются на симметричных меридио нальных дугах круга проекций, поскольку все нормали этих граней лежат в одной плоскости. Например, проекции всех шести нормалей вертикальных гра ней гексагональной призмы (рис. 8.1, а) лежат на одном большом круге: конту ре круга проекций (рис. 8.1, б). Другим примером могут служить грани куба (рис. 1.2, а), из которых можно построить целых три зоны — по числу непарал лельных ребер, одна из которых (зона №1) объединяет четыре вертикальные грани: (100), (010), (ТОО) и (ОТО). Их проекции лежат на контуре круга проекций,
адве другие зоны объединяют грани: переднюю с задней и верхнюю с нижней (зона №2) — их проекции лежат на горизонтальном диаметре круга проекций,
атакже грани: переднюю с задней и правую с левой (зона №3) — их проекции лежат на вертикальном диаметре круга проекций (рис. 6.2, б).
8.3. Определение символа оси зоны (пояса)
Каждое ребро кристалла служит признаком вхождения соседних граней в определенную зону. В ту же самую зону войдут все другие грани, которые пере секаются по подобным параллельным ребрам. Кристаллографический символ ребра пересечения граней данной зоны [uw] называется символом зоны или, точнее, символом оси зоны. Например, символом зоны, объединяющей вертикаль ные грани гексагональной призмы (рис. 8.1, а), можно считать ±[0001].
Для трех зон, которые выстроили из граней куба, определим символы осей зон: [001] (для зоны №1), [010] (для зоны №2) и [100] (для зоны №3). После дний пример наглядно показывает, что линии пересечения вертикальных гра ней куба параллельны координатной оси OZ (зона №1), линии пересечения граней куба второй зоны параллельны координатной оси OY, а линии пересече ния граней третьей зоны параллельны координатной оси ОХ.
Вобщем случае, когда определение символа оси зоны не столь очевидно, как
вприведенном примере с зонами в кубе, для этой цели используют правило перекрестного перемножения индексов любой пары непараллельных граней, принадлежащих данной зоне:
Л. |
к\ |
|
h1 |
к\ |
|
|
|
|
X |
X |
X |
|
|
hi |
к2 |
h |
hi |
к2 |
h |
(8.1) |
и v |
w = ±{k\l2 ~ k2l\) |
(h h ~ |
hh\) (hxk2 - |
h2kx) |
|
Напомним, что в соответствии с этим мнемоническим правилом до начала перекрестного перемножения нужно отбросить оба крайних столбца и лишь
после этого умножать первый индекс предыдущего столбца на второй индекс последующего и вычитать из этого произведения результат умножения второго индекса предыдущего столбца на первый индекс последующего столбца и т. д. Например, для определения символов зон в кубе (рис. 7.22, а) воспользуемся правилом перекрестного перемножения:
зона 1 (входят грани 2—5):
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
X |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
и |
v w = ±(0 |
0 —0 |
1) |
(0 |
0 - |
1 |
0) |
(1 |
1 - о |
0) => [001] |
|
зона 2 (входят грани 1, 3, 6, 5): |
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
X |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
3 |
о +1 II £ |
1о |
—1 т |
|
|
0 - 0 |
0) |
(0 |
1 - о |
0) => ±[100] |
|
зона 3 (входят грани 1, 4,6,2): |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
X |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
и |
v : w = ±(0 |
1 - |
0 |
0) |
(0 |
0 - |
1 |
1) |
(1 |
0 - 0 |
0) ±[010] |
Аналогичным образом для зон в ромбододекаэдре {110} (рис. 1.2, в и 7.22, б):
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
X |
X |
X |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
и, v, н»,=±(0 0 - 1 1) (1 1 - 1 0) (1 1 - 0 1)=>±[Ш]
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
X |
X |
X |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
U 2 V2 W2 = ± ( l |
0 - 1 1) |
(1 1 - 0 0) (0 1 - 1 1 )^ ± [Ш ] |
В результату получили для обеих зон однотипные символы: [w,v,w,] = ±[111] и [ M2V 2W 2] = ±[111], которые, кстати, совпадают с символами объемных диагоналей куба. Следовательно, каждое ребро ромбододекаэдра {110} параллельно одной из объемных диагоналей куба, точнее, каждое ребро ромбододекаэдра ориенти ровано в пространстве таким же образом, как одна из четырех объемных диаго налей куба.
Последний вывод можно подтвердить при рассмотрении стереографических проекций зон, образуемых действительными гранями ромбододекаэдра (рис. 8.2). Так, проекция оси первой зоны Jill], которая кроме граней (101) и (110) объе диняет еще грани (Oil), (ПО), (101), (011), точно совпадает с проекцией одно именной оси симметрии третьего порядка. Таким же образом проекция оси второй зоны [111], объединяющей кроме граней (011) и (110) также грани (101), (IlO), (Oil) и (101), совпадает с проекцией одноименной оси симметрии третьего порядка.
Каждая из рассмотренных зон объединяет по шесть граней ромбододекаэд ра. Подобных зон у ромбододекаэдра — четыре (по числу осей симметрии тре тьего порядка). Следовательно, каждая из его граней входит, по крайней мере, в две зоны. На самом деле, каждая грань любого кристалла имеет хотя бы одну пару непараллельных ребер.
Однако, занимаясь подобными подсчетами, мы учитывали только действи тельные ребра ромбододекаэдра, действительные линии пересечения его гра ней, которые оказались параллельными осям третьего порядка — объемным диагоналям куба. А если учесть возможные линии пересечения действительных граней этого кристаллического многогранника — возможные ребра кристалла, то количество зон существенно возрастет. Действительно, ромбододекаэдр име ет четыре действительные вертикальные грани, которые (как и возможные ли
нии их пересечения) параллельны оси OZ или направ лению ±[001] и образуют зону с одноименным симво лом. Таким же образом можно объединить в аналогич ные зоны и две другие четверки граней, которые ориен тированы параллельно координатным осям ОХ (с сим волом оси зоны ±[100]) и ОУ (с символом оси зоны ±[010]).
Определение символа оси зоны для гексагональных кристаллов в принципе ничем не отличается от осталь ных кристаллов, однако в данном случае следует приме нять лишь «трехосные» символы граней гексагонального кристалла. Так, если даны четырехзначные символы этих граней {hkil}, то их сначала следует преобразовать в трех
значные {hkl\ и лишь после этого заняться определением символа зоны по фор муле (8.1) или соответствующим правилам перекрестного перемножения. Так, совокупность граней гексагональной призмы задана символом {2110} (рис. 8.1, в). Определим соответствующий символ оси зоны, которая объединяет грани этой призмы, или, что то же, символ линии пересечения двух соседних граней, в качестве которых выберем грани (2ll0) и (ИЗО). После указанного преобразо вания получим новые символы тех же граней: (210) и (110), с помощью кото рых определим искомый символ оси зоны:
2 |
I |
0 |
2 |
I |
0 |
|
X |
X |
X |
|
|
1 |
1___________ 0___________ 1___________ |
1___________ о |
|||
к : v : w = (-1 |
0 - 1 0) |
(0 1 - 0 |
2) (2 1 + 1 1) = |
0 |
0 3 => ±[001] |
Полученный трехзначный символ оси зоны [001] преобразуем с помощью соотношений (4.21) в четырехзначный:
|
= 2ы —v = 2 - 0 —0 = 0, |
|
r2 |
= 2v —м = 2 • 0 —0 = 0, |
|
г3 = —и - v = |
- 0 - 0 = 0, |
|
r4 |
= 3w = 3 • 1 |
= 3. |
Отсюда найдем искомый четырехзначный символ оси зоны:
г, гг гэ г 4 = 0 0 0 3 = 0 0 0 1 => ±[0001].
Итак, символ оси зоны, которая объединяет грани гексагональной призмы {2ТТ0}, записывается следующим образом: ±[0001].
Если перейти к более глубокой аналогии между элементами естественной огранки кристалла и его закономерным, периодическим внутренним строени ем, то облачение кристалла в ту или иную внешнюю форму есть лишь результат проявления во внешней огранке действительных, реальных атомных плоско стей и атомных рядов, которые объективно существуют в кристалле и заложены в нем с момента его возникновения. В рамках этой аналогии зона — объединяю щее понятие для всех атомных плоскостей, которые параллельны определенно му направлению в кристалле, определенному атомному ряду в кристаллической структуре. Другими словами, понятие зоны позволяет объединить все действи тельные и возможные грани кристалла, которые содержат совершенно иден тичные и притом одинаковым образом ориентированные в пространстве атом ные ряды.
8.4. Условие принадлежности грани (hkl) зоне [uvw\
Рассмотрим аналитическое условие, которое описывает вхождение грани (hkl) в зону [wvw]. Для решения этой задачи проанализируем общее уравнение плос кости (5.14).
В терминах решаемой задачи будем называть направление [mw] параллель ным плоскости (hkl), что вполне соответствует упомянутому общему уравне нию плоскости (5.14): любое направление, принадлежащее данной плоскости, можно рассматривать как параллельное этой плоскости. Следовательно, извест ное нам уравнение (5.14) обретает новое кристаллографическое качество: оно позволяет объединить все плоскости (hkl), которые параллельны некоторому направлению [wvw], или определить все плоскости кристалла, которые принад лежат зоне [MVW]. Таким образом, уравнение (5.14) можно считать аналитичес
ким условием принадлежности грани (hkl) зоне [wvw]: |
|
(hkl) е [ш ], если hu + kv + lw = 0. |
(8.2) |
Следует отметить, что с помощью соотношения (8.2) можно определить кри сталлографические символы любых граней кристалла, входящих в данную зону, независимо от того, действительные это грани или это — возможные грани.
Задача. Рассчитать с помощью уравнения (8.2) кристаллографические сим волы плоскостей (hkl), входящих в зону [MVW] = [111].
Подставим указанные символы оси зоны в уравнение принадлежности гра ни (hkl) зоне [MVW] (8.2) и получим в результате искомое условие:
Л - 1 —£-1 + l - l = h ~ к + 1 = 0, или k = h + l. |
(8.3) |
В соответствии с найденным условием (8.3) определим перечень плоско стей (hkl), которые могут входить в указанную зону. Для этого расположим индексы искомых плоскостей в виде столбика, записывая (в порядке возраста ния) индексы h и /, а затем —индекс к (табл. 8.1).
Как можно заметить, индексы первой шестерки символов плоскостей, вхо дящих в указанную зону, состоят только из нулей и единиц, а соответствующие проекции этих плоскостей располагаются на контуре круга проекций и его диаметрах (рис. 8.2). Индексы второй шестерки состоят из одной двойки и двух единиц, а проекции соответствующих плоскостей лежат на границах сферичес ких треугольников.
Что же касается второй дюжины плоскостей, которые могут войти в ту же зону, то стереографические проекции их нормалей занимают общее положение (внутри сферических треугольников), а соответствующие индексы кроме еди ницы и двойки содержат по одной тройке (рис. 8.3).
Очевидно, что приведенным перечнем символов состав плоскостей, которые могут войти в указанную зону, не ограничивается, и этот список можно продол жить. Однако в искомое решение входило лишь ознакомление с методикой определения состава плоскостей, которые по формальным признакам могут входить в определенную зону.
Номер плоскости |
h |
к |
/ |
Номер плоскости |
И |
к |
/ |
1 |
1 |
1 |
0 |
13 |
2 |
3 |
1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
14 |
1 |
3 |
2 |
3 |
-1 |
0 |
1 |
15 |
-1 |
2 |
3 |
4 |
-1 |
-1 |
0 |
16 |
-2 |
1 |
3 |
5 |
0 |
-1 |
-1 |
17 |
-3 -1 |
2 |
|
6 |
1 |
0 |
-1 |
18 |
-3 -2 |
1 |
|
7 |
1 |
2 |
1 |
19 |
-2 - з -1 |
||
8 |
-1 |
1 |
2 |
20 |
-1 -3 -2 |
||
9 |
-2 -1 |
1 |
21 |
1 |
-2 -3 |
||
10 |
-1 -2 -1 |
22 |
2 |
-1 -3 |
|||
и |
1 |
-1 -2 |
23 |
3 |
1 |
-2 |
|
12 |
2 |
1 |
-1 |
24 |
3 |
2 |
-1 |
(iio)rC |
.(зги / |
|
|
|
|
|
/ШНг |
\ / ^ |
(101) |
\ |
/ |
|
\ |
> |
|
|
|
|
||
|
|
|
Уц\Щ |
|
\ |
|
|
|
/ |
|
\ |
||
|
\ |
\Л 2 3 ) |
X . |
|||
Г |
\ / |
|
Ч (°11) |
\ |
||
>1- |
|
|||||
\ |
(oii)K |
У |
|
\ |
(132) |
у / |
|
(123)4 |
/ |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
\d i2 )X |
|
|
—*Т(121) |
/ |
|
\ |
|
|
|
|||
|
|
|
N. |
Ь (231)/ |
||
|
|
|
|
|||
\ |
|
(10^" |
/т |
( 3 2 i ) \ V |
/ |
|
|
|
|
Н-----}J(110) |
Рис. 8.3. Примеры зон типа <111> в кубическом кристалле
Следует добавить, что состав (и количество) действительных естественных граней кристалла ограничивается в соответствии с законом Браве, согласно которому кристалл ограняется такими гранями, которым соответствуют макси мальные значения ретикулярных плотностей (с которыми связаны невысокие значения индексов граней) (см. гл. 2).
8.5. Правило суммирования индексов граней
Запишем условия принадлежности к одной и той же зоне [wvw] для каждой из двух граней (AjA,/,) и (А2А2/2), входящих в эту зону:
А,ы + A,v + |
/,w = |
0; |
|
h2u + k2v + |
l2w = |
0. |
(8.3) |
После сложения получим новое уравнение: |
|
||
(А, + А2)ы + |
(А, + k2)v + (/, + /2)w = 0. |
(8.4) |
Содержание этого уравнения сводится к тому, что грань (А3А3/3) входит в ту же самую зону [uvw], если ее индексы получены в результате суммирования соот ветствующих индексов двух граней, входящих в эту зону:
А3 = А, + А2, А3 = А, + А2, /3 = /, + /2.
В качестве примера обратимся к стереографической проекции на рис. 8.3, где представлены символы действительных и возможных граней кубического кри сталла, которые входят в зону [ill]. Проекция грани (231), принадлежащей ука занной зоне, располагается на одной дуге большого круга между проекциями соседних граней (110) и (121). Символы грани (231) можно получить суммиро ванием соответствующих индексов указанных соседних граней в полном соот ветствии с условием (8.4). На том же рис. 8.3 можно найти множество подобных примеров.
Пользование правилом суммирования индексов позволяет в значительной степени облегчить работу со стереографическими проекциями. Приведем сле дующий простой пример. Для этого рассмотрим привычную стереографичес кую проекцию нормалей граней куба {100}, разбитую на сферические треуголь ники (рис. 8.4, а). Каждая из проекций граней куба располагается на стыке вось ми вершин сферических треугольников.
На стыках четырех сферических треугольников, лежащих на диаметрах, а также на контуре круга проекций , располагаются проекции возможных граней {110} кубического кристалла, символы которых можно определить методом суммирования соответствующих индексов граней куба (рис. 8.4, б).