книги / Практическая кристаллография
..pdfатомных рядов ±[010], располагающихся параллельно координатной оси ОУ. Для совмещения этих идентичных атомных рядов достаточно отражения в го ризонтальной плоскости (001), проходящей посередине между горизонтальны ми рядами ±[010], и скольжения вдоль оси ОУ на половину соответствующей трансляции ±Ь/2. Такую плоскость скользящего отражения тоже называют по имени трансляции b — плоскостью (скользящего отражения) типа Ь
Вприложении 1 приводятся данные обо всех плоскостях скользящего отра жения с соответствующими компонентами скольжения, которые могут встре чаться в различных кристаллических структурах.
Вотличие от плоскостей скользящего отражения типов а, b и с, где присут ствует по одной компоненте скольжения, в плоскостях скользящего отражения типов п и d одновременно присутствует по две или даже по три компоненты скольжения. В качестве примера плоскостей скользящего отражения последне го типа приведем кристаллическую структуру типа алмаза, в которой присут ствуют плоскости типа d (рис. 12.6, б). В частности, вертикальная плоскость сколь зящего отражения типа d проходит посередине между атомными рядами 1—3—5
и2—4. Атом ДО; 0; 0), отражаясь в указанной плоскости, займет промежуточное положение на нижнем ребре элементарной кубической ячейки в точке (0; 1/4; 0)
ипосле скольжения с компонентами (с + а)/4 займет положение атома 2(1/4; 1/4; 1/4). В свою очередь атом 2, отразившись в той же плоскости скользящего отражения, перейдет из внутренней части элементарной ячейки на ее левую грань — в точку (1/4; 0; 1/4) и после скольжения на (с + а)/4 займет положе ние атома Д 1/2; 0; 1/2). Аналогичным образом, после таких же симметрических преобразований, атом 3 займет положение атома 4, атом 4 займет положение атома 5 и т.д.
Приведенные рассуждения можно считать условными, поскольку ни один из перечисленных атомов, конечно, не покинет своего места в кристаллической структуре алмаза.
Втой же структуре алмаза можно указать другую вертикальную плоскость скользящего отражения того же типа d, которая расположена посередине между атомными рядами 1—6—8 и 2—7 и характеризуется компонентами скольжения (±b ±с)/4. С помощью этой плоскости скользящего отражения атом 1 можно
связать с атомом 2, атом 2 — с атомом 6, атом 6 — с атомом 7, атом 7— с атомом 8 и т.д.
Отметим также, что количество подобных примеров в той же структуре ал маза можно умножить, во-первых, за счет других параллельных вертикальных плоскостей скользящего отражения, которые соединяют друг с другом другие атомные ряды, и, во-вторых, за счет аналогичных горизонтальных плоскостей скользящего отражения с компонентами скольжения (±а ±Ь)/4 , которые распо ложены на уровнях с/8, Зс/8, 5с/8, 7с/8 и т.д.
В качестве примера плоскости скользящего отражения типа п рассмотрим кристаллическую структуру куприта Си20 (рис. 12.6, в). Здесь плоскость сколь зящего отражения пу с компонентами скольжения (с + а)/2 соединяет друг с Другом атомы кислорода 7(0; 0; 0) и 2(1/2; 1/2; 1/2), 2 и 3' (1; 0; 1), а также атомы меди 6(1/4; 1/4; 1/4) и 7(3/4; 1/4; 3/4). Аналогичная плоскость скользя щего отражения п2 с компонентами скольжения (Ь + с)/2 соединяет друг с
другом атомы кислорода 7(0; 0; 0) и 2(1/2; 1/2; 1/2), 2 и 4'(0; 1; 1), а также атомы меди 6(1/4; 1/4; 1/4) и £(1/4; 3/4; 3/4). Здесь номерами 3' и 4' обозначены атомы на верхнем основании кубической элементарной ячейки куприта, распо ложенные над атомами нижнего основания 3 и 4 соответственно.
Как и в предыдущей структуре алмаза, здесь можно сослаться и на другие плоскости скользящего отражения типа гг вертикальные плоскости, проходя щие через атомы меди 8—9 и 7—9, а также горизонтальные плоскости, проходя щие через атомы меди 6—9 и 7—8.
Таким образом, рассмотренная новая группа специфических элементов сим метрии, характерных только для кристаллических структур, позволяет отразить сходство атомного рисунка и размерных параметров атомных плоскостей, из которых построено конкретное кристаллическое вещество. Несмотря'на беско нечное разнообразие кристаллических структур, оказывается, что многие из них построены из геометрически подобных атомных сеток и имеют множество по хожих структурных характеристик. При этом можно сослаться на упоминавши еся выше атомные сетки из правильных треугольников, которые отмечались в различных сочетаниях в рассмотренных кристаллических структурах.
12.4. Винтовые оси симметрии
Рассмотренные плоскости скользящего отражения можно связать с взаимо действием между простыми зеркальными плоскостями симметрии и новой груп пой элементов симметрии кристаллических структур — трансляциями. Анало гичным образом, следующую группу элементов симметрии, характерных только для кристаллических структур — винтовые оси симметрии — можно рассмат ривать как результат взаимодействия простых поворотных осей симметрии с теми же трансляциями.
Специфические элементы симметрии кристаллических структур — винто вые оси симметрии — описывают сложное симметрическое преобразование, со стоящее из поворота всей кристаллической структуры в целом и каждого ее атома в отдельности вокруг прямой линии — винтовой оси симметрии — на соответствующий элементарный угол и скольжения параллельно этой оси на определенную долю трансляции.
Вернемся к примеру с атомной сеткой в кристаллической структуре типа NaCl (рис. 12.6, а). Чтобы доказать идентичность двух соседних атомных рядов, использованы плоскости скользящего отражения. Однако доказать идентич ность соседних атомных рядов в этой структуре можно и совершенно иным способом: с помощью винтовой оси симметрии. Действительно, расположим такую ось посередине между соседними атомными рядами (параллельно этим атомным рядам). После поворота атомного ряда вокруг этой оси на 180° и сколь жения на половину трансляции вдоль оси произойдет совмещение идентичных атомных рядов. Такая винтовая ось называется винтовой осью симметрии вто рого порядка (в соответствии с указанной величиной элементарного угла 180°) и обозначается символом 2,, первая цифра которого соответствует (второму) порядку винтовой оси симметрии (2), а индекс (1) обозначает величину компо-
Порядок оси симметрии |
Т/6 |
Т/4 |
Т/3 Т/2 |
2Т/3 |
ЗТ/4 |
5Т/6 |
2 |
: |
: |
2х |
|
— |
— |
3 |
3\ |
з2 |
|
— |
||
4 |
— |
4х |
— |
- |
4г |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6х |
— |
6ъ |
64 |
— |
*5 |
ненты скольжения (1/2) вдоль винтовой оси симметрии, выраженную в долях соответствующей трансляции.
Таким образом, можно заменить действие одного элемента симметрии (плос кости скользящего отражения) действием другого элемента симметрии (вин товой оси симметрии), что служит серьезным указанием на определенное взаи модействие указанных элементов симметрии друг с другом.
Втабл. 12.1 приводятся данные всех винтовых осей симметрии с соответ ствующими компонентами скольжения, выраженными в долях трансляций Т, которые могут встречаться в различных кристаллических структурах. Соответ ствующие графические обозначения винтовых осей симметрии, имеющие мно го общего с обозначениями простых поворотных осей симметрии, приведены в приложении 1. Видно, что некоторые винтовые оси симметрии разных поряд ков имеют одинаковые компоненты скольжения, например, оси симметрии 2,, 4ги 6}, характеризущиеся компонентами скольжения, равными половине транс ляции.
Вкачестве примера винтовой оси симметрии четвертого порядка 4, рассмот рим тетрагональную кристаллическую структуру высокотемпературной модифи кации металлического олова (p-Sn) (рис. 12.7, а, б). Если атом 7(0; 0; 0) принять за начало координат, то при движении против часовой стрелки от атома 1 к атому 2(1/2; 0; 1/4) и далее к атому 2(1/2; 1/2; 1/2) и к атому 4(0; 1/2; 3/4), то высота каждого последующего атома будет возрастать на четверть вертикальной транс ляции с/4, что соответствует определению винтовой оси симметрии четвертого порядка 4,. Действительно, описанное последовательное перемещение от одного атома к другому соответствует повороту на 90° вокруг центра квадрата, образо ванного проекциями четырех указанных атомов, что в сочетании со скольжени ем (при каждом повороте) на с/4 соответствует определению вертикальной вин товой оси симметрии четвертого порядка 4,. Аналогичные винтовые оси симмет рии четвертого порядка можно увидеть также и в центрах других подобных квад ратов на плане этой структуры.
Закончим рассмотрение примером винтовой оси симметрии шестого поряд ка 63 в гексагональной кристаллической структуре магния (рис. 12.7, в). Для наглядности действия указанной винтовой оси симметрии представлены сразу несколько элементарных ячеек этой кристаллической структуры. Тройка ато мов магния 2—3—4, располагающихся по вершинам структурного равносто роннего треугольника на нижнем основании элементарной ячейки (z = 0), пос-
Рис. 12.7. Винтовые оси симметрии в кристаллической структуре p-Sn (а, б) и магния (в)
ле поворота на элементарный угол 60° вокруг вертикали, проходящей через центр этого структурного треугольника, и подъема вверх на половину трансля ции с/2 займет положение другой тройки атомов 7—6—5. Таким образом, вин товая ось симметрии шестого порядка 63 действительно связывает перечислен ные атомы друг с другом. Такие же винтовые оси симметрии можно заметить и в соседних элементарных ячейках.
Свое наименование винтовые оси симметрии получили от сочетания вра щения со скольжением, т.е. если атом одновременно реализует и вращение вок руг оси, и поступательное движение вдоль этой оси, то он как бы движется в пространстве по винтовой линии.
12.5. 14 пространственных решеток Браве и выбор базовых трансляций
Выбор базовых трансляций представляет собой один из важнейших этапов описания и анализа любой кристаллической структуры. Выбор этих трансляций (из бесчисленного множества возможных трансляций) напрямую связан с опре делением элементарной ячейки кристаллической структуры, поскольку именно базовые, основные трансляции являются ребрами элементарной ячейки.
Рассуждая о выборе элементарной ячейки, мы уже дважды упоминали о трех ранжированных критериях Браве: при определении внутреннего решеточного строения кристаллов — в гл. 2 и при определении характеристик атомного строе ния кристаллического строения вещества — в гл. 11. Учитывая ключевую роль этих критериев при определении кристаллических структур, необходимо со блюдать: 1) соответствие симметрии элементарной ячейки и симметрии крис-
талла; 2) максимальное число прямых углов между ребрами элементарной ячей ки; 3) минимальный объем элементарной ячейки. Добавим, что исходным усло вием обязательного выполнения этих критериев является заполнение элемен тарными ячейками (без малейших щелей и зазоров) всего объема кристалла.
Выбирая элементарную ячейку для описания кристаллической структуры, одновременно решаем и вторую задачу — определение соответствующей про странственной решетки — математической модели, отражающей закономерное, периодическое пространственное расположение атомов в кристаллической структуре.
Между кристаллической структурой — конкретным расположением конк ретных атомов и ее идеализированной моделью — пространственной решеткой существует строгое геометрическое и размерное соответствие. Внешним очер таниям элементарной ячейки кристаллической структуры (в виде параллеле пипеда) точно соответствуют геометрическая форма и размеры элементарного объема пространственной решетки — ее параллелепипеда повторяемости из математических точек или узлов пространственной решетки.
Узлы пространственной решетки как бы повторяют пространственное рас положение атомов в кристаллической структуре. Каждой кристаллической струк туре соответствует ее узловая копия — ее пространственная решетка. Ребра элементарной ячейки кристаллической структуры равны ребрам параллелепи педа повторяемости пространственной решетки, узловые ряды пространствен ной решетки повторяют атомные ряды кристаллической структуры, атомные плоскости кристаллической структуры копируются узловыми плоскостями про странственной решетки.
Браве предложил классифицировать пространственные решетки по двум при знакам: по геометрическому признаку и по составу узловых точек (табл. 12.2). По своей геометрии пространственные решетки подразделяются на семь сингоний, каждой из которых соответствует своя координатная система с шестью параметрами: тремя координатными углами а, (3, у и тремя осевыми (масштаб ными) единицами а0, Ь0, с0.
Три из этих семи сингоний (ромбическая, тетрагональная и кубическая) имеют ортогональные координатные системы (а = (3 = у = 90°) и отличаются друг от друга лишь соотношениями между осевыми единицами (а0 * Ь0 * с0 — для ромбической, а0 = Ь0* с0 — для тетрагональной и а0 = Ь0 = с0 — для кубичес кой сингонии). Соответственную геометрию имеют и их элементарные ячейки: разносторонний прямоугольный параллелепипед, тетрагональная призма, куб (гексаэдр).
Пространственная решетка гексагональной сингонии строится из фрагмен тов гексагональной призмы, разделенной на три равные части, с основанием в виде ромба (а = (3 = 90°; у » 120°; а0 = Ь0* е0). Как показала практика, этой же пространственной решеткой удобно пользоваться при описании кристаллов тригональной сингонии, хотя для тригональных кристаллов существует своя законная ромбоэдрическая координатная система с тремя наклонными коор динатными осями (а = р = у * 90°; aQ= bQ= с0).
Координатные системы триклинной и моноклинной сингоний характеризу ются одинаковыми соотношениями между осевыми единицами (а0 * Ь0 * с0),
однако различаются координатными углами (а * р * у * 90° — для триклинной и а = у = 90°^р — для моноклинной сингонии).
Пространственные решетки Браве по составу узловых точек делятся на че тыре типа: примитивные Р, базоцентрированные С, объемноцентрированные I и гранецентрированные F.
Примитивные пространственные решетки Р имеют узловые точки лишь в вершинах параллелепипедов повторяемости. Каждый такой параллелепипед по вторяемости является моделью элементарной ячейки кристаллической струк
туры, вершины которой заняты атомами одного сорта, соединенными тройкой базовых трансляций ±а, ±Ь и ±с.
В отличие от примитивных пространственных решеток Р базоцентрирован ные пространственные решетки С имеют кроме вершинных узловых точек до полнительные узлы в центрах верхнего и нижнего оснований параллелепипеда повторяемости. Каждый такой параллелепипед повторяемости является моде лью элементарной ячейки структуры, где атомы одного сорта располагаются не только по вершинам, но и по центрам верхнего и нижнего оснований элемен тарной ячейки, и, следовательно, связаны трансляциями ±а, +Ь, ±с и (±а ±Ь)/2.
Объемноцентрированные пространственные решетки /, как видно из назва ния, помимо вершинных узлов имеют еще дополнительную узловую точку в центре параллелепипеда повторяемости — на пересечении четырех его объем ных диагоналей. Такой параллелепипед является моделью соответствующей объемноцентрированной кристаллической структуры, атомы которой связаны трансляциями ±а, ±Ь, ±с и (±а ±Ь ±с)/2.
Гранецентрированные пространственные решетки / ’помимо вершинных узлов имеют еще дополнительные узловые точки в центрах каждой из шести граней параллелепипеда повторяемости. Такому параллелепипеду соответствует эле ментарная ячейка кристаллической структуры с одинаковыми атомами по вер шинам ячейки и в центрах ее граней с трансляциями ±а, ±Ь, ±с, (±а ±Ь)/2,
(±Ь ±с)/2, (±с ±а)/2.
Приведенный перечень пространственных решеток соответствует трем вы шеупомянутым критериям Браве и позволяет однозначно классифицировать любые кристаллические структуры. Для удобства будем подразделять указан ные трансляции на базовые (±а, ±Ь, ±с) и дополнительные.
Обращает на себя внимание отсутствие в табл. 12.2 многих сочетаний гео метрических и узловых (трансляционных) признаков, что связано либо с прин ципиальной невозможностью соответствующих сочетаний, либо с простой за меной одних сочетаний этих признаков другими. Так, отсутствие в кубической сингонии базоцентрированной пространственной решетки С связано с симметрийным запретом: благодаря наличию в кубических кристаллах (а следова тельно, и в их моделях — пространственных решетках) наклонных осей сим метрии третьего порядка центрирование одной из граней куба вызывает обяза тельное центрирование всех его других граней.
Аналогичное отсутствие базоцентрированной пространственной решетки С в тетрагональной сингонии объясняется тем, что базоцентрированная решетка сводится к примитивной решетке путем уменьшения вдвое площади основа ния параллелепипеда повторяемости (рис. 12.8, а). В этой же сингонии отсут ствует гранецентрированная решетка, поскольку она сводится к объемноцент рированной решетке вдвое меньшего объема (рис. 12.8, б). Указанные замены одних пространственных решеток другими находятся в полном соответствии с третьим критерием Браве. Эти преобразования приводят лишь к уменьшению объема параллелепипеда повторяемости, а следовательно, элементарной ячейки кристаллической структуры, сохраняя его симметрию и количество прямых уг лов между его ребрами.
Подчеркнем особую важность определения типа пространственной решет-
Рис. 12.8. Замена базоцентрированной тетрагональной пространственной решетки Спримитивной пространственной решеткой Р меньшего объема (а) и замена гранецентрированной тетрагональ ной пространственной решетки F объемноцентрированной пространственной решеткой I (б)
ки для правильной характеристики кристаллической структуры, поскольку от этого зависит и правильный выбор координатных направлений, и правильное определение соотношений между масштабными (осевыми) единицами а0, Ь0, с0, и правильное определение кристаллографических символов атомных рядов и атомных плоскостей кристалла, что имеет первостепенное значение для описа ния любой кристаллической структуры.
Завершая анализ пространственных решеток, применяемых для описания кристаллических структур, коснемся вопроса формирования терминов, упот ребляемых при описании кристаллических структур. К сожалению, широкое распространение (даже в учебной литературе) получил весьма сомнительный термин «кристаллическая решетка». Здесь смешиваются два различных поня тия, имеющих прямое отношение к атомному строению кристаллов: с одной стороны, понятие кристаллической структуры как закономерного, периодичес кого пространственного расположения конкретных атомов в конкретном кри сталле и, с другой стороны, понятие пространственной решетки как математи ческой модели (из математических точек — узлов пространственной решетки), описывающей периодическое расположение атомов в кристалле. По-видимому, рассматриваемое неудачное словосочетание «кристаллическая решетка» явля ется результатом словесного «сжатия» другого, вполне осмысленного выраже ния типа «кристаллическая структура имеет решеточное строение», что и при вело к указанному смешению двух существенно различающихся по своему смыс лу научных понятий (и появлению указанного псевдонаучного термина, похо жего более на маловразумительную скороговорку).
Рассмотрим несколько примеров определения типа пространственных ре шеток Браве в кристаллических структурах. При определении типа простран ственной решетки Браве в кристаллических структурах будем ориентироваться главным образом на наличие дополнительных трансляций.
В кубической кристаллической структуре алмаза (рис. 12.6, б) кроме базовых трансляций, соединяющих атомы 1—5 и 1—8, а также 1—Г(0; 0; 1), можно ука зать дополнительные трансляции типа (±а ±Ь)/2, (±Ь ±с)/2, (±с ±а)/2, характер ные для гранецентрированной пространственной решетки и соединяющие вер шинные атомы с атомами в центрах граней: 1—9, 1—3, 1—6. Помимо того, такие же дополнительные трансляции соединяют следующие пары атомов: 2—10, 2—4, 2—7. Следовательно, кристаллической структуре алмаза соответствует гранецен трированная пространственная решетка F.
Втетрагональной кристаллической структуре f$-Sn (рис. 12.7, б) кроме базо вых трансляций можно указать дополнительную трансляцию (а + b + с )/2, соединяющую вершинный атом 1 с атомом 3 в центре элементарной ячейки. Такая же трансляция соединяет атомы 2—5. Аналогичная трансляция (а + b —с)/2 соединяет атомы 4—6. Следовательно, кристаллической структуре p-Sn соответ ствует объемноцентрированная пространственная решетка I.
Гексагональной кристаллической структуре магния (рис. 12.7, в) соответ ствует один-единственный вариант определения типа пространственной ре шетки Браве: примитивная пространственная решетка Р.
Вкубической кристаллической структуре куприта (рис. 12.6, в) для атомов кислорода присутствуют трансляции типа (а + b + с)/2, характерные для объемноцентрированной пространственной решетки / и соединяющие вершинные атомы с атомом в центре объема типа 1—2. Однако, судя по взаимному располо жению атомов меди, можно предположить наличие трансляций другого типа: (±а ±Ь)/2, (+Ь ±с)/2, (±с ±а)/2, характерных для гранецентрированной про странственной решетки Ри соединяющих атомы 6—7, 6—8 и 6—9 друг с другом. Следовательно, оба рассмотренных варианта исключают друг друга, и кристал лическая структура куприта никаких других трансляций кроме базовых (±а, ±Ь, ±с) не содержит и на этом основании может быть отнесена к прими тивным пространственным решеткам Р.
Выводы. Симметрия кристаллических структур — специфических простран ственных (бесконечных) образов — гораздо богаче, чем симметрия кристалли ческих многогранников, и поэтому для описания симметрии кристаллических структур недостаточно тех элементов симметрии, которыми характеризовались кристаллические многогранники и которые отражали симметрию конечных геометрических фигур.
Если свести всю бесконечную кристаллическую структуру, характеризующу юся закономерным, периодическим строением, к одной единственной элемен тарной ячейке, то затем можно вновь воспроизвести эту кристаллическую струк туру, состоящую из одинаковых элементарных ячеек, с помощью трансляций параллельных переносов элементарной ячейки во всех направлениях.
Выбор элементарной ячейки кристаллической структуры должен строго под чиняться определенным правилам (трем ранжированным критериям Браве) и соответствовать одной из 14 пространственных решеток. Обязательное соблю дение этих правил (в качестве стандарта для описания любых кристаллических структур) гарантирует от возможных ошибок при определении координатных направлений в кристаллической структуре, при определении соотношений между осевыми (масштабными) единицами, а также при определении кристаллогра фических символов атомных рядов и атомных плоскостей кристаллической структуры.
Каждое из трех ребер элементарной ячейки определяет не только направле
ние осей координат и соответствующую масштабную единицу, но и специфи ческий элемент симметрии кристаллической структуры: вектор трансляции, опи сывающий параллельный перенос элементарной ячейки и/или всей кристал лической ячейки в целом (который делает конечное положение кристалличес кой структуры совершенно неотличимым от ее исходного положения).
Помимо векторов трансляций (или просто трансляций) для описания кри
сталлических структур используют еще два новых типа специфических эле ментов симметрии, описывающих сложные симметрические преобразования: плоскости скользящего отражения и винтовые оси симметрии. Плоскости сколь зящего отражения представляют собой сочетание обычного отражения атомов кристаллической структуры в плоскости (как в зеркальной плоскости симмет рии) со скольжением (переносом) параллельно этой плоскости на определен ную долю трансляции (или доли трансляций). Винтовые оси симметрии пред ставляют собой сочетание поворота атомов кристаллической структуры вокруг прямой на определенный угол (как вокруг обычной оси симметрии п-го поряд ка) со скольжением (переносом) вдоль этой оси симметрии на определенную долю трансляции.
Новые элементы симметрии отражают сложную пространственную органи зацию кристаллической структуры, связывая друг с другом и отдельные атомы, и целые группы атомов. Введение новых элементов симметрии (или их присут ствие в кристаллических структурах) объективно продиктовано закономерным, периодическим атомным строением кристаллических структур, законами сим метрии кристаллических структур.
ГЛАВА 13. АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ
Анализируя симметрию кристаллических многогранников, можно отметить разнообразные примеры взаимодействия между элементами симметрии. Во всех случаях взаимодействие каких-либо двух элементов симметрии приводило к возникновению третьего элемента симметрии, а в некоторых случаях возника ло даже несколько новых элементов симметрии. Так, в результате взаимодей ствия пересекающихся зеркальных плоскостей симметрии возникала ось сим метрии (на линии их пересечения). При пересечении двух осей симметрии воз никала третья ось симметрии. При взаимодействии плоскости симметрии с ле жащей в ней осью симметрии образовывались новые плоскости симметрии. При пересечении оси симметрии Ln с перпендикулярной осью симметрии L2 возникали новые оси симметрии Lr В точке пересечения плоскости симметрии с перпендикулярной осью симметрии четного порядка образовывался новый элемент симметрии — центр симметрии.
Таким образом, можно прийти к важному выводу: при взаимодействии двух элементов симметрии возникает еще, по крайней мере, третий элемент симмет рии. Будет интересно проверить справедливость этого вывода по отношению к специфическим элементам симметрии кристаллических структур — трансля циям, плоскостям скользящего отражения и винтовым осям симметрии.