циента подъемной силы по углу атаки и положение фокуса.
Рассмотрим лопасть винта с хордой с (полухордой Ь), перед
ней кромке которой соответствует х = х„. к, а задней
х — х3. к
(рис. 10.15). Лопасть изображается тонкой несущей поверх ностью, удаление точек которой от плоскости вращения опреде ляется функцией 2 л(г, х, ф). На режиме полета вперед отличны от нуля и изменяются по времени как нормальная составляю
щая ит скорости набегающего
на сечение лопасти потока, так
__uK~ficosy
S2
uT*r+ j i s i n f
Рис. 10.15. Лопасть винта и составляющие скорости обтекающего ее потока во вращающейся системе координат.
и радиальная составляющая uR, причем в качестве безразмер ного времени используется азимут лопасти ф. Нагрузки на ло пасть определяются граничным условием непротекания через поверхности лопасти wa -\-wz = 0, где wa— вертикальная ско рость точки поверхности лопасти, a wz•—скорость воздуха, индуцируемая находящимися на несущей поверхности и пелене вихрями.
Скорость точки на поверхности лопасти определяется сле дующей полной производной по времени от ее координаты:
w a = - щ
= [ щ + (г + ц s in Ф) ~
+ ( - * + Р c o s Ф) J r ] г л .
Индуктивная скорость может быть
представлена в виде wz =
= wz,л +
где wz, л — скорость, индуцируемая вихрями поверх
ности лопасти, а X— вихрями пелены (обе направлены вниз). В приближении несущей линии скорость дог. л, индуцируемая
находящимися на лопасти вихрями, определяется из рассмотре ния двумерной задачи обтекания сечения лопасти (рис. 10.16). Пусть ул — интенсивность слоя вихрей, охватывающих профиль лопасти. Интегрирование индуцируемых слоем скоростей по
482 Глава 10
хорде дает
w.
л
__ 1
Г
Ул
:dX*
2я
)
х — л
Подставив это выражение в граничное условие, приходим к ин тегральному уравнению относительно ул
*3. К
~ 2я \ х - х * dX* = wa + ^,
*п. к
решение которого и определит аэродинамические нагрузки при заданной скорости движения лопасти wa и индуктивной ско-
Сечение
ybdx*
т,х*± §
хЛп попасти
Рис. 10.16. Представление сечения лопасти тонким профилем (уь—Ул)-
роста на ней X. При этом должно выполняться условие Кутта — Жуковского о конечности скорости на задней кромке1) (ул = 0). При горизонтальном полете комлевая часть лопасти винта про ходит зону обратного обтекания. В этой зоне условие Кутта — Жуковского должно выполняться уже на передней (геометриче ской) кромке диска винта, т. е. при х = хп. к- С учетом возмож ного попадания в зону обратного обтекания относительная ко ордината | положения точки по хорде определяется равенством х — [ ± | — a] b. ± = sign(Hr) (плюс соответствует прямому, а минус — обратному обтеканию). При этом на передней по отно шению к набегающему потоку кромке всегда | = —1, а на зад ней | = 1. Здесь Ь — полухорда, ab — относ продольной оси ло пасти от линии полухорд (положителен при относе назад, напри мер а = —1/2 соответствует прохождению продольной оси ло пасти вдоль линии четвертей хорд). В указанных координатах интегральное уравнение для ул принимает вид
1
~ 2л ^ 1 —V ^ ~ Wa ^ ‘
*) См. прим, перев. к разд. 10.2, — Прим, ред.
Аэродинамика несущего винта I
483
Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию
ул — О
при g =
1, будет функция
Ул
1 -ЕС л / 1 ± 1 !
— Я /Л *
1 + 1
j Л/ 1-г 1-г
Представим распределение
индуктивной скорости по
хорде
в виде следующего ряда Фурье:
оо
я = 2
cosя9>
я - 0
где | =
cos 0. Скорость движения поверхности
лопасти
запи
шем в виде суммы постоянной и линейно зависящей от х час тей: wa = — (А-\-Вх).Обычно положение лопасти задают от клонением zo от плоскости вращения ее упругой оси и углом поворота 0 ее сечений относительно упругой оси. При этом имеем
Zx = Zo(r, Ф) — х@(г, ф),
откуда по определению скорости wa находим
А= — г0 -+- (г + р sin ф) 0 — р cos фгб,
В— 0 + г'й+ р cos Ф0/.
Поскольку А — Я = ита, величина А дает умноженную на ско рость потока добавку к углу атаки, а В входит в эффективную крутку лопасти. Пос^е подстановки значений wa и Я и взятия интегралов решение интегрального уравнения относительно уя
запишется в виде ______
ОО
ул = ± 2 /^ ! = 1 [ Л ± В 6 (| +
1 :р а )]:р2 £
Я„/„(0),
л-О
где fn— функции ряда
Глауэрта, определяемые равенствами
Г tg 0/2 при
п = О,
п
1 sin пВ при
1.
Это решение может быть записано в виде суммы
ул, б. ц + ул, ц,
причем слагаемое ул, б. ц удовлетворяет граничному условию, но не дает циркуляции вокруг профиля, а слагаемое ул, ц не влияет на граничное условие, но удовлетворяет в сумме с ул, б. ц усло вию Кутта — Жуковского. В соответствии с этим определением имеем
у л. ц = ± у Т ^ Г р [ А ~
+ 2
± Ь В (" 2 т ° ) ] »
484 Глава 10
так что суммарная циркуляция вихрей профиля равна
хз. к
г =
Jj
у л^ * =
± 2 я б [ Л
— ( . А 0 + 4 ^ )
* П . К
Далее для определения нагрузок сечения потребуются также следующие интегралы от ул:
dl Л
4 Я|) ) ±
Г ( ‘ ) =
jjхуЛйх= 2лЬ2^—( у
±
а
)
(—л (
я 0 +
х а .к
± B a 2b
- j ( x l +
k2)],
Х 3 . К
хул6ц(1х =
2лЬ2[ -
Г б 'ц =
\
\
( л
— (я 0 +
+
ха.к
у аЬВ— 1(Я,+ Л2)],
X
+
х2ул б ]1йх= 2лЬ3[а (л — (я0 +
Гб2)ц =
5
4 Я0 )
~
х п. к
-
ЬВ( g1 +
а2) + \
(А, + Я2) ±
1 (А, -
Аз)].
*3. К
Гб!ц = хп.$к л:3уЛ1б. ц^
- 2 ^ [ - ( 4
+ 4 а 2) ( Л - ( А о
+ 4 Л0 ) +
+ аЬЗ(-4
+
у а2) ~
Т ( а ±т )
^
^
"
в
"
g (1Т
о) A3 jgА4].
Линеаризованная форма уравнения Кельвина позволяет представить разность давлений на верхней и нижней сторонах профиля в виде
- ^ = ^ Лф = Ы г + ('"и 8 1 'П
+ ( - * + Hcos ^ )|:]А(Р-
Потенциал скоростей ф связан с интенсивностью вихрей соот-
ношением Лф= ^
уadx
(разд. 10.2), так что
л
— - у - = (г + 11 s in
Ч>) V 4 + ^
5 Ул, б. n dx+
хп.К
X
+ ( — ■* + И COS ф ) -£гJ У л , б. yydx»
Аэродинамика несущего винта I
485
Интегрирование разности давлений по хорде приводит к сле дующим выражениям для подъемной силы и момента сечения:
*3. к
хз. к
L — ^ (— Ap)dx,
М — ^ {— Ap)xdx,
хп. к
хп. к
причем L направлена вверх, а М — момент относительно про дольной оси лопасти — положителен при повороте носка вверх. Подставляя сюда значение Ар и переходя к безразмерным ве личинам (что делается путем исключения из формул плотности р), получим
L = (г + ц sin ф) Г -
Г£>ц - р cos
Г<'>ц
+ j
Г<2>ц)
М = — (г+ Р Sin Ф) Г<» +
J Щ- lt>u + \ Р COS Ф -|г
r f ц—у
Гб3ц.
С учетом приведенных выше выражений для Г<и) и Г(бга,ц эти со отношения определяют нестационарные нагрузки лопасти. Пер вые два члена в L и М представляют циркуляционную и бес циркуляционную части нагрузки, рассмотренные в теории тонкого профиля Остальные два члена отражают влияние ради альной составляющей скорости. С точностью до членов первого порядка влияние радиальной составляющей скорости приводит к дополнительному слагаемому
AL = р cos ф [лЬ2(А — Я)]
в выражении для подъемной силы. Эта формула совпадает с по лучаемой в теории тонкого тела для крыла очень малого удли нения (в данном случае равного 26). Таким образом, зависящие от радиальной’ составляющей скорости члены возникают при об
текании лопасти
как крыла малого удлинения со скоростью
u R = р cos ф. Эти
члены, соответствующие теории тонкого тела,
равны нулю на режиме висения и, как правило, не играют су щественной роли в нестационарной аэродинамике несущего винта. Однако их величина того же порядка (относительно хорды с), что и у некоторых бесциркуляционных членов в выра жениях подъемной силы и момента.
Согласно допущениям теории несущей линии, индуцирован ная вихревой пеленой скорость определяется лишь в одной точке по хорде. Это означает, что в разложении индуктивной ско рости сохраняется лишь член Яо, далее обозначаемый как Я. По скольку величина хорды с для лопастей большого удлинения мала по отношению к радиусу, упростим полученные резуль таты, сохранив в выражениях подъемной силы члены порядка до с2, а в выражениях момента — порядка до с3. При этом вме сто полухорды b будем использовать хорду с. Обозначая, как и
4 8 6 Глава 10
раньше, нормальную и радиальную составляющие скорости по
тока через ит= (г + psin ф)
и MR =
p c o s f и вводя для верти
кальной составляющей
скорости потока
относительно
лопасти
в точке х обозначение
w =
А — К+
Вх
(здесь учтены
как ин
дуктивная скорость, так и движение лопасти), можем написать:
р(П
С (
, 1 ,
X
Г
с2
w
2яс ~ ~ 1 Л
± 2- +
a J 2пс ± 32
i f «
__
рО)
з
2пс
аг . Г2л:сб
с 128
R ’
7 е ’
2пс
после чего нагрузки в сечении лопасти определятся выраже ниями
Здесь нагрузки отнесены к хорде и теоретическому значению
производной коэффициента
подъемной силы cta =
2я.
Через
w |3 обозначена скорость
в точке, отстоящей на
3/4
хорды
т с
от носка профиля при прямом обтекании (или на четверть хорды при обратном). Обычно в выражении для подъемной силы оставляют лишь члены первого порядка, но в выражении момента необходимо сохранять члены, соответствующие бес циркуляционной подъемной силе. При этом предыдущие фор мулы принимают вид
— ■= i- | иг | w + (w + tipw') + -j (-^ =F а ) итВ,
Ш = Т ( :± т + а) Т 1“г 1w ^ Т аЧтВ +• -И а ^
где w — вертикальная скорость в сечении без членов первого порядка относительно с, а В — градиент изменения вертикаль ной скорости по хорде. Самым важным членом в выражении
для подъемной силы является L/2nc — ^ | ит\ига, что соответ
ствует формуле разд. 5.20. Существенное значение в выражении для момента представляет член, характеризующий демпфиро вание кручения. Поскольку в выражение для В входит 0, а ве личина w определяется членом иг0, соответствующая производи ная момента (относительно точки х = ab) равна
дМ п с*
/ 1 _ \
Аэродинамика несущего винта I
4 8 /
Если продольная ось лопасти проходит по линии четвертей хорд (а = —1/2), то демпфирование изменений угла установки
взоне обратного обтекания обращается в нуль. Члены с URW'
ввыражениях для подъемной силы и момента обусловлены ра диальной составляющей скорости обтекания лопасти и соответ ствуют нагрузкам теории тонкого тела.
Согласно теории тонкого профиля, в идеальной жидкости производная коэффициента подъемной силы сечения по углу атаки С/а равна 2я, а фокус расположен на расстоянии чет
верти хорды от носка. Поэтому необходимо ввести в формулы нестационарной теории профиля поправки, учитывающие реаль ные значения производной коэффициента подъемной силы и действительное положение фокуса. Первая поправка состоит в умножении выражений для подъемной силы и момента на отно шение а / 2я, где а — производная коэффициента подъемной силы реального профиля по углу атаки. Для профилей лопастей обыч но принимают а — 5,7, если не учитывается влияние сжимае мости. Временно обозначив введенную ранее относительную ко ординату продольной оси лопасти через а (а не а, как ранее), напомним, что по теории тонкого профиля при прямом обтека
нии фокус располагается на расстоянии — b ^ + а) за про*
дольной осью лопасти и на расстоянии —Ь( — -^- + й) за этой
осью при обратном обтекании. Пусть в реальных условиях фо кус расположен позади продольной оси лопасти на расстоянии Ха о т нее. Примем, что при переходе от прямого обтекания к обратному фокус смещается на с/2. Тогда эффективное рас стояние от продольной оси до фокуса равно
(
х Д
при
прямом обтекании,
Х а , э ф ф
\
х А + с/2
при
обратном обтекании.
Основываясь
на этих соотношениях, заменим входящую в фор-
мулы теории
тонкого профиля комбинацию — Ь у ± - ^ - \ - а } ве
личиной Ха , эфф, получаемой из экспериментов. После введения поправок, учитывающих реальные значения стационарной про изводной от подъемной силы по углу атаки и положение фокуса, получим следующие окончательные выражения нестационарной подъемной силы и момента относительно продольной оси, дей ствующих в сечении вращающейся лопасти:
^ = Y lu^ w + TUrB(1±2^ r ±) + j ( d) + u^ ’
^ = - x A, w j l u T\ w = F £ u TB ( l h 4 ^ t L ) 2 =F
=F ~ (d> + uRw') ( l ± 4 ’сэфф ) .
488
Глава 10
В этих выражениях величины нг и uR— нормальная и радиаль ная составляющие скорости потока, набегающего на сечение ло пасти, a w — скорость протекания в рассматриваемом сечении (направлена вверх). Например, если опустить члены порядка с, то w = uTQ— UP) величина В представляет собой градиент из менения этой скорости по хорде, которая может быть связана с изменениями угла установки. Верхние знаки соответствуют прямому обтеканию профиля, нижние — обратному. Влияние ра диального течения учтено нагрузками, определяемыми по тео рии обтекания тонкого тела (соответствующие члены содержат производную по радиусу w'), а также включением дополнитель ных членов в выражение для w. Влияние изменений во времени скорости потока, набегающего на сечение лопасти, на нагрузки учитывается членами с производной w. Наконец, влияние про дольных и поперечных вихрей пелены учитывается путем вклю чения в w индуцируемой этими вихрями скорости. При этом индуктивная скорость вычисляется в одной точке по хорде на основе аппроксимации ближних к лопасти поперечных вихрей, рассмотренной в разд. 10.3.
10.8. СКОРОСТЬ, ИНДУЦИРУЕМАЯ ВИХРЯМИ
Если крыло конечного размаха или нестационарно движу щееся крыло бесконечного размаха создает подъемную силу, то за крылом возникает след, состоящий из продольных и попе речных свободных вихрей (вихревая пелена). Вихри следа в свою очередь вызывают на поверхности лопасти дополнитель ные индуктивные скорости, оказывающие существенное влияние на аэродинамические нагрузки. Поэтому расчет скоростей, ин дуцируемых пеленой вихрей, представляет собой важную часть определения аэродинамических нагрузок. Чтобы рассчитать по следние с удовлетворительной точностью при приемлемых за тратах на проведение вычислений, целесообразно аппроксимиро вать непрерывную пелену свободных вихрей решеткой из ди скретных вихревых элементов. Индуцируемая таким элементом скорость может быть описана аналитическим выражением, а полная индуктивная скорость определяется путем суммирова ния скоростей от каждого из элементов. Наиболее важен учет концевых вихревых жгутов. Эти жгуты хорошо описываются последовательностью прямолинейных вихревых отрезков, обра зующих ломаную линию. Свободные продольные и поперечные вихри, сходящие с внутренних участков лопасти, существенно меньше влияют на результаты расчета индуктивной скорости. Поэтому для них могут использоваться более грубые модели — от полностью игнорирующих влияние этих вихрей до использую щих сетки дискретных вихревых элементов или вихревые повёрхности.
Аэродинамика несущего винта 1
189
Таким образом, расчет неоднородного поля скоростей проте кания основывается на определении скоростей, индуцируемых дискретным элементом вихревой пелены. Ниже дается вывод формул для скоростей, индуцируемых вихревой линией или по верхностью. Прежде всего будет рассмотрена прямолинейная вихревая нить, что позволит изучить ряд общих черт поля ин дуцируемых вихрями скоростей. Вихревая нитьконечной интен сивности представляет собой предельный случай, когда поле вихрей конечной суммарной интенсивности сконцентрировано в трубке бесконечно малого поперечного сечения. Вблизи вихре вой нити поле скоростей имеет особенность, причем скорости стремятся к б всконбчности обратно пропорционально расстоя нию до нити. В реальной жидкости вследствие влияния вязкости эта особенность отсутствует, ибо диффузия вихрей превращает нить в трубку малого, но конечного поперечного сечения, назы ваемую ядром вихря. Скорость принимает максимальные зна чения на некотором расстоянии от оси вихревой трубки, кото рое можно принять в качестве радиуса ее ядра. Поскольку ло пасти несущего винта часто проходят очень близко к концевым вихрям от впереди идущих лопастей, ядро вихря играет важную роль в создании индуктивных скоростей на лопастях несущего винта, и существование такого ядра следует учитывать при опи сании распределения вызываемой винтом завихренности. Радиус ядра концевого вихря составляет примерно 10% длины хор ды лопасти. Экспериментальных данных о размерах ядра кон цевого вихря очень мало, особенно для случая вращающейся лопасти.
10.8.1. БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЙ ВИХРЬ
Рассмотрим бесконечную прямолинейную вихревую нить ин тенсивности Г (рис. 10.17). Индуцируемую нитью скорость бу-
дем определять в точке Р, причем систему координат выберем таким образом, чтобы нить располагалась в плоскости xz
490
Глава 10
параллельно оси х-,а 'точка Р находилась на оси у. Расстояние между нитью и осью х обозначим Л. При этом расстояние от точки Р до вихревой нити равно (у2 Н2) 1/2. Если лопасть на ходится на оси у, то положение вихря относительно нее соот ветствует ситуации, когда на режиме полета вперед к насту пающей лопасти приближается концевой вихревой жгут, сошед ший с предыдущей лопасти, а распределение индуктивных ско-
ростей по оси у отражает распределение их в указанной ситуа ции по длине лопасти.
Согласно формуле Био — Савара, получим индуктивную ско рость в виде
где через г обозначен вектор, соединяющий вихревой элемент Yds с точкой Р. Здесь
г = — xi + у\ + Лк
и ds = idx. После выполнения интегрирования по длине вихря для скорости получим выражение
___L ?
- У к + h j
.
Г
- h j + yk
4 Я J
(x2 + y2 + h2)W
2п
y2+ h 2
Полагая, что ось у
идет вдоль лопасти, а ось г — по нормали к
ее поверхности, определим величину скорости протекания, ин дуцируемую вихрем:
до
у
У* + А2 •
При у = ±Л скорость до имеет пики высоты домакс = Г/4яЛ (рис. 10.18). Такое распределение скоростей приводит к образо ванию подобным же образом изменяющихся нагрузок.
Радиальная составляющая индуктивной скорости равна
