Полученное выражение для АХ имеет ту же форму, что и ранее для случая однолопастного винта. Поэтому нестационарные на грузки и характеризующая уменьшение подъемной силы функ ция С' также определяются полученными ранее формулами, и специфика данного случая отражается лишь входящей в С' функцией W.
Введенное в гл. 8 фурье-преобразование координат означает переход к степеням свободы винта как твердого тела. Каждая степень свободы в невращающейся системе координат (общий шаг, циклический шаг и безреакционное движение) определяет относительное движение всех N лопастей винта, а значит, и соответствующую зависимость между интенсивностями образую щихся за лопастями вихревых следов. Поэтому входящая в функцию уменьшения подъемной силы С' величина Wдля каж
дой из таких степеней свободы должна определяться отдельно.
При изменении общего шага движение всех лопастей происхо
дит в одной и той же фазе по времени,
так что сдвиг по фазе
в интенсивности пелены связан лишь с
наличием угла между
лопастями. При нулевом сдвиге фазы по времени (Дф = 0) имеем
W= 1/(еШье&ли1ыа_
Таким образом, изменение общего шага дает те же нагрузки, что у «эквивалентного» однолопастного винта с расстоянием
между вихревыми следами /i3KB =
h и относительной частотой
(CO/Q )3KB = со/М2. Отметим, что у
однолопастного винта сдвиг по
фазе между интенсивностями соседних слоев вихрей зависит лишь от одного параметра (ю/Q), тогда как у Млопастного винта — от двух параметров (Дф и o>/Q). Поэтому интенсив ность всех слоев будет изменяться в одной и той же фазе [при целочисленной величине (со/£2)экв] только в том случае, когда колебательное изменение общего шага лопастей будет происхо дить с частотой, кратной М2. Для безреакционной формы (N/2-яформа, которая, как показано в разд. 8.4.1, может су ществовать лишь при четном числе лопастей) последовательные лопасти движутся одинаково, но в противоположных направле ниях. Это соответствует сдвигу по фазе на 180°, так что, полагая
Дф = я(й/ю ), получим
W— l/(ekhibei2n<“/WQ+ */2>— 1).
Таким образом, безреакционная форма также соответствует эк вивалентному однолопастному винту при h3KB= h и (ю/£2)экв = = (а>/М2) + 1/2. Циклический шаг (в общем случае п-я синус ная или косинусная гармоника) задает движение, которое оди наково для всех лопастей на данном азимуте, так что
462 Глава 10
Aib = 2n/N. В результате получаем
1 - f
N -
1
e kN h/be l2malQ £
( e - k h tb y n
г =
__________________ щ= 1__________
g k N h lb ^ib iti)/^
— 1
При целочисленной величине ш/Q это выражение сводится к
W= l/(ekhlb— 1).
Таким образом, для важного случая гармоник с частотами, кратными частоте вращения винта, рассмотрение циклических
Рис. 10.12. Модуль функ ции Лоуи (характеризу ющей уменьшение подъ емной силы) в зависимо сти от приведенной ча стоты и расстояния меж ду вихревыми следами при целых значениях
ш/Q.
форм колебаний сводится к случаю эквивалентного однолопаст ного винта с йэкв = ft, лопасть которого совершает гармониче ские колебания, частоты соэкв которых также кратны Q.
Проанализируем теперь поведение функции уменьшения подъемной силы Лоуи
C' = F' + iG'
Я р
+ 27,117
я<2) +
2+( / , + и0) w
В соответствии с указанной выше эквивалентностью N-лопаст ного и однолопастного винтов с одинаковой структурой следа и значением ш/Q, обеспечивающим требуемое соотношение фаз следов, достаточно рассмотреть однолопастный винт. Для та кого винта имеем
ОД7 _ l / ^ e k h lb e i2nv>IQ__
Графики модуля и аргумента функции С' для целых и полуцелых значений отношения о>/й показаны на рис. 10.12-М0.14. В предельном случае ft->- оо имеем 1^ = 0, что соответствует об
ращению
С в функцию Теодорсена
C(k). Предельный
случай
ft = 0 не
имеет физического смысла,
но характеризует
поведе
ние функции С' при малых расстояниях между вихревыми сле дами. Полагая ft = 0, получим
W = l/(e12no)/Q_ ^
Аэродинамика ищущего винта 1
463
так что
при целых значениях отношения
<а/Й имеем
С —
= / i / ( / x
Н- г '/о ), а для полуцелых значений
С ' = Y i / { Y \
-f- гТо) •
Входящие в эти выражения бесселевы функции придают изме нению функции С' при больших k колебательный характер. При этом действительная часть F' этой функции колеблется в преде лах О-f-l, а мнимая часть С'— от —0,5 до 0,5 с периодом я. Отметим, что при некоторых значениях k модуль функции С'
Рис. 10.13. Модуль и ар гумент функции Лоуи в зависимости от приве денной частоты и рас стояния между вихревы ми следами при целых значениях co/Q.
О
1,0
2,0
к
обращается в нуль. При больших значениях приведенной час тоты k общее поведение функции уменьшение подъемной силы
описывается приближенной зависимостью
С ' ~ _ L ( l + j g - kh/bgi2na!Qgi2k^'
Таким образом, наблюдаемое на рис. 10.12 изменение модуля С' характерно для больших k. При этом колебания |С'| имеют период я, а их амплитуда уменьшается с увеличением расстоя ния h между вихревыми следами. При малых приведенных час тотах функция уменьшения подъемной силы описывается при ближенной формулой
1 — г w
Qf _ _____ ___ _______ 2________________
1
k - ik (in + у ) + ( l - Y fe) nkw
где у— постоянная Эйлера. При нецелых значениях отношения ю/й величина W для всех h имеет порядок 1, так что
464
Глава 10
с точностью до членов первого порядка относительно k имеем
1+ +у)+лШ
Заметим, что независимо от значения h эта формула при k = О
дает С = 1 (рис. 10.14). Однако при целочисленных значениях
Рис. 10.14. Модуль и ар гумент функции Лоуи в зависимости от приведен ной частоты и расстоя ния между вихревыми следами при пол.уцелых значениях ca/Q.
отношения (D/Q имеем W « b/kh, так что с точностью до чле
нов первого порядка относительно k справедлива формула С '= 1/(1 -f nkW)= 1/[1 + п/МЬ)].
Результаты, полученные для малых приведенных частот, пред ставляют наибольший интерес для анализа вертолетных винтов. При нецелых значениях oo/Q вследствие повторного влияния следа появляется лишь поправка к функции Теодорсена порядка k. Однако при колебаниях по гармоникам с частотами, крат ными частоте вращения винта, влияние вихревых следов прояв
ляется в падении функции уменьшения подъемной силы при ма лых частотах до величины С = h/(h+ nb). Из графиков на
рис. 10.13 можно усмотреть, что эту формулу нулевого порядка относительно k можно использовать при малых k (примерно до
0,5). Существенно, что теперь вследствие повторного влияния пелены С'(0)Ф1. Действительно, при h= 0 имеем С'(0) = 0.
Таким образом, при колебаниях по гармоникам с частотами, кратными частоте вращения винта, вследствие точного совпаде
Аэродинамика несущего винта 1
465
ния фаз интенсивностей последовательных вихревых следов про исходит существенное уменьшение нестационарных нагрузок. Это относится к таким рассматриваемым в динамике лопастей случаям, как циклическое управление и маховое движение ло пастей, которые во вращающейся системе координат имеют час тоту Q, а также к колебательной неустойчивости типа флаттера, собственная частота которого равна nQ. Таким образом, можно отметить два основных случая повторного влияния вихревой пелены на функцию уменьшения подъемной силы. При больших приведенных частотах функция С' изменяется периодически с падением до нуля при малых расстояниях между вихревыми следами. Этот эффект больших k не играет существенной роли для аэродинамики несущего винта вертолета. Другой эффект имеет место при малых приведенных частотах и колебаниях по гармоникам с частотами, кратными частоте вращения винта. Функция С' в этом случае сильно уменьшается, что приводит к соответствующему уменьшению циркуляционных аэродинами ческих нагрузок при малых расстояниях между вихревыми сле дами.
Относительное расстояние h/b между вихревыми поверхно стями определяется скоростью опускания винтовых поверхностей свободных вихрей. Принимая, что вблизи диска винта скорость ■их конвекции равна средней по диску винта индуктивной ско
рости, получим, что за оборот винта пелена опустится на вели
чину Nh = v(2n/Q), откуда
h/Ь= v2л/QNb= 4Я/a.
Здесь %— коэффициент протекания, а а— коэффициент запол нения винта. Функция уменьшения подъемной силы прй гармо никах колебаний с малыми приведенными частотами k прини мает вид
С'*= 1/(1 +яст/4А).
Для вертолета на режиме висения характерно значение Xда 0,07, Это дает h/b » 3 - f 4 , что соответствует значению С' да 0,5. Та ким образом, уменьшение нестационарных нагрузок вследствие повторного влияния пелены оказывается большим, что серьезно влияет на нагрузки, управление лопастями и их устойчивость в критических условиях (при малых скоростях протекания и колебаниях по гармоникам с частотой, кратной частоте вращения винта). Уменьшение циркуляционной подъемной силы снижает реакцию винта на изменение общего шага и на циклический шаг. Оно уменьшает также демпфирование махового движения лопасти и ее изгибных колебаний в плоскости взмаха по различ ным формам, что приводит к увеличению этих колебаний под действием периодических нагрузок. Если ось лопасти не прохо дит через фокусы сечений, то повторное влияние пелены
466 Глава 10
сказывается и на демпфирующих моментах относительно оси
ОШ.
лопастей несущего винта
Высшие гармоники нагружения
при полете вперед рассматривались
в работе Миллера [М.125]
(1964 г.), где было установлено, что неоднородность поля ско ростей протекания потока через диск винта связана главным образом с наличием и формой концевых вихревых жгутов ло пастей, интенсивность которых определяется средним значением подъемной силы винта1). Таким образом, доминирующую роль в образовании высоких гармоник нагрузки при полете вперед играют не поперечные, а продольные вихри. Следующим по важ ности фактором является изменение скоростей протекания вслед ствие влияния ближней к лопасти части ее следа. Миллер уста новил, что при очень малых значениях характеристики режима р рассмотренные выше эффекты повторного влияния пелены весьма существенны. Однако при р ~ 0,2 сохраняется влияние лишь близкой к лопасти части следа, учитываемое функцией Теодорсена.
Нестационарная теория винта, по существу совпадающая с теорией Лоуи для однолопастного винта, изложена в работе [J.65]. В работе [Т.47] рассмотрен предельный критический-
случай нулевого расстояния
между
вихревыми
поверхностями
(h = 0). Таблицы функции
Лоуи даны в работе
[Р.63].
В работе [D.13] описывается экспериментальное исследова
ние усиления изгибных колебаний
модели лопасти несущего
винта, в котором особое внимание уделялось изучению повтор ного влияния вихревого следа на аэродинамическое демпфиро вание таких колебаний по различным формам. Величина демп фирования махового движения лопасти на режиме висения оп ределялась по ее вынужденным колебаниям при приложении моментов в плоскости взмаха и по переходным процессам. По лучено хорошее соответствие с результатами теории Лоуи. Под тверждено получаемое расчетом уменьшение демпфирования гармоник с частотой, кратной частоте вращения винта, вслед ствие уменьшения определяющей нестационарную подъемную силу функции С'.
Измерение махового движения двухлопастного шарнирного винта при вынужденных колебаниях общего шага, а также при вертикальных колебаниях втулки проводилось в работе [Н.29]. При малых значениях общего шага отмечено заметное повтор ное влияние пелены при частоте, близкой к 2Q, что и предска зывается теорией для таких изменений общего шага. При боль ших значениях общего шага влияние вихревых следов исчезало. Измеренные величины хорошо согласовались с полученными расчетом по теории Лоуи. Отмечено предсказываемое теорией снижение амплитуды махового движения при изменении общего)*
*) Ранее этот вывод сделан в работе [23]. — Прим, перев.
Аэродинамика несущего винта I
467
шага с частотой, близкой к 2Q. (Это объясняется уменьшением возникающих при управлении общим шагом аэродинамических моментов относительно горизонтальных шарниров, а поскольку при колебаниях по второй гармонике доминируют инерционные члены, имеющее место снижение демпфирования влияет незна чительно.) Колебания общего шага с частотой второй’ гармо ники сопровождаются колебаниями лопастей со сравнительно небольшой амплитудой, так что повторное влияние пелены про является главным образом в изменениях фазы, для которой также наблюдается хорошее соответствие с теорией. При воз буждении махового движения путем вертикальных колебаний втулки винта происходит сильное нарастание вторых гармоник махового движения, увеличивающееся с повышением частоты. Этот эффект непосредственно связан со снижением демпфиро вания махового движения. Получено хорошее согласие экспери ментальных величин с рассчитанными по теории Лоуи. При воз растании общего шаг,а этот связанный с повторным влиянием пелены эффект уменьшается и при 0О= 10° достигает уровня, предсказываемого квазистационарной теорией. В работе [Н.29] показано, что усиление махового движения вследствие влияния поперечных вихрей пелены при небольших значениях общего шага наблюдается и на режиме полета вперед (испытания про водились до значений характеристики режима р = 0,2).
Экспериментальное исследование демпфирования разных форм изгйбных колебаний лопастей двухлопастного винта на режиме висения при малых значениях общего шага (и, следо вательно, малых скоростях протекания) проведено в работе [S.110]. Измерялась реакция лопасти как на моменты относи тельно оси ГШ, так и на вертикальные колебания втулки. Демпфирование определялось по записямпереходных процес сов, возникающих при снятии внешних сил. Обнаружено обу словленное влиянием поперечных вихрей уменьшение аэродина мического демпфирования изгибных колебаний лопасти по второй гармонике до весьма малых значений. Наблюдается хорошее количественное соответствие теории Лоуи с экспери ментальными данными.
Дополнительную информацию о повторном влиянии следа несущего винта можно найти в работах: [А.51, А.52, В. 158, D.89, J.66, J.69, J.80, J.81, Н.ЗЗ, А.35, А.36, В.32, М.167, К.65].
10.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ АЭРОДИНАМИКИ ЛОПАСТИ
10.6.1. ТЕОРИЯ НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ
Применительно к описанию ближнего следа нестационарно движущегося плоского профиля теория несущей линии рассмат ривалась в разд, 10.3. Ниже в этот анализ включено влияние
468
Г лава tO
повторного приближения следа к лопасти, исследованное Мил лером [М.125, М.126]. Напомним, что в теории несущей линии распределение индуктивных скоростей по хорде не рассматри вается и расчет этой величины ведется лишь в одной точке на профиле. Учитывая, что проведенное выше исследование влия ния ближнего следа достаточно для применения этой теории, проведем более детальное исследование ближнего следа про филя, применяя указанную теорию лишь для построения вих ревых следов, расположенных под профилем. Воспользовавшись полученным в разд. 10.5 выражением для индуктивной скорости, индуцируемой вновь приблизившейся пеленой, будем иметь
AX = i±Vweia,te~ikx/bWi .
Определим отсюда значение ДА, в точке, отстоящей от носка профиля на четверть хорды (х= —Ь/2):
AX= i j y weia>teik/2W.
Поскольку теория несущей линии справедлива лишь при низ
ких приведенных частотах, можно принять eife/2~ 1. В этом слу чае приращения подъемной силы и циркуляции описываются выражениями
AL= — pU2nbyweta,tW —г,
ДГ = — 2nbywei,AtW ~ г, '
так что функция уменьшения подъемной силы определяется формулой
с,
"Г*W
н[2) (k) + iHf> (k) + 2iW '
Этот же результат можно получить по теории Лоуи, если при использовании бесселевых функций сохранить лишь члены ну левого порядка относительно k. Миллер показал, что такие ап проксимации достаточно хорошо описывают функцию Лоуи при k^ 0,5 для любых расстояний между вихревыми поверхно стями. Наибольшая погрешность имеет место в представлении мнимой части (т. е. в сдвиге фаз) при малых h/b. Отсюда был сделан вывод, что теория несущей линии удовлетворительно описывает влияние повторных приближений к лопасти как по перечных, так и продольных вихрей, и только ближний вихре вой след лопасти требует специального рассмотрения.
В работах [М.123, М.126] проведено дальнейшее упрощение
теории Лоуи, причем вихревые поверхности под лопастью опи
Аэродинамика несущего винта I
469
сываются непрерывно распределенными вихрями. Эта модель аналогична рассматриваемому в разд. 10.6.3 представлению винта активным диском и служит примером, иллюстрирующим связь плоской дискретной вихревой модели Лоуи и теории не сущего винта, основанной на непрерывном распределении вихрей.
Ограничимся случаем гармонического движения лопасти с частотами, кратными частоте вращения (ю/Q — целое число) При периодическом нагружении лопастей интенсивность вихрей в следах не зависит от вертикальной координаты. Учитывая, что приведенная частота мала, пренебрежем изменениями индук тивной скорости по хорде. В таком случае индуктивная ско рость на профиле в точке х= 0 описывается интегральным вы ражением
0
оо
к==~ аГ $
5 | 2 + г2 d^dz'
где y{£,,t)— интенсивность непрерывно распределенных под про филем вихрей. Поскольку каждый дискретный вихревой след с интенсивностью вихрей уштеперь должен быть распределен по полосе шириной А, получим у = yw/h. Интенсивность попереч ных вихрей определяется производной от циркуляции Г по вре мени. При синусоидальном движении с частотой со имеем
. . __ _}_ 1 ? l ! l \ __ ко р U ) __
---------iaAm
h / b е
При сносе пелены вниз со средней скоростью протекания Я,0 расстояние между вихрями h/b, как показано в разд. 10.5, равно
4Х0/о, так что имеем
i k T / b 2 -шЩ]
v = - - т а - 6'
После подстановки этого значения у получается следующее вы ражение для скорости, индуцируемой поперечными вихрями:
. kV/Ь2 1
оо
4е-1ЬЦЬ
4Яо/<Х
2зт
d&dz=
I2 + z2
_ kV/Ь2
1 _
по
L
4Я0/а
2k/b
4Я0
р!/2яй
Поскольку
из
равенства L = LQ— pU2nbh=LQ—(по/4k0)L
следует L —C'LQ,функция уменьшения подъемной силы приоб
ретает вид
С '= 1/(1 + лог/4Я0).
Это выражение совпадает с полученным выше предельным вы ражением функции Лоуи при низких частотах, кратных частоте
470
Глава 10
вращения винта (разд. 10.5). Такое приближение, согласно Мил леру, хорошо аппроксимирует функцию F', по крайней мере при k <; 0,5, но мнимая часть G' полностью игнорируется.
10.6.3. МОДЕЛЬ АКТИВНОГО ДИСКА
Исследование нестационарных аэродинамических сил ло пасти несущего винта затруднено сложностью структуры пе лены свободных вихрей, и проведенное выше рассмотрение дву мерных моделей вызвано именно этой причиной. Ниже на основе работ [М.123, М.126] проводится такой же анализ при менительно к вращающейся лопасти.
Для упрощения математической трактовки задачи прини маются следующие два допущения. Во-первых, используется мо дель активного диска, так что распределение вихрей в следе является непрерывным. Во-вторых, рассмотрены лишь режимы висения и вертикального полета, для которых вихревой след осесимметричен. Такое исследование позволяет распространить классические результаты вихревой теории винта на случай не стационарных нагрузок и получить приближенное выражение функции уменьшения подъемной силы для вращающегося винта.
Начнем со случая постоянной нагрузки на диск, что соот ветствует циркуляции, постоянной по длине лопасти, так что имеется лишь два продольных вихря — концевой и комлевый (см. разд. 2.7.2). Пренебрегая поджатием струи, будем считать, что система вихрей представляет собой круговой цилиндр, от ходящий вниз от диска винта. Спиралевидные концевые вихри образуют на цилиндре слой, который удобно представить непре рывно распределенными вихревыми кольцами, к которым из условия сохраняемости вихрей добавляют слой прямолинейных вихрей, располагающихся вдоль образующих цилиндра, а также комлевый вихрь на оси цилиндра. Параллельные оси цилиндра вихри не дают нормальной к плоскости диска индуктивной ско рости, которая, таким образом, определяется лишь вихревыми кольцами интенсивности у.
Воспользовавшись формулой Био — Савара и проведя интег
