книги / Теория вертолета. Кн. 1

Поставим задачу определения собственных значений К при соот­ ветствующих граничных условиях в крайних точках х — а и

х= Ь ..

Рассмотрим два различных собственных значения Ад и Яг и соответствующие им собственные функции cpi и ср2. Используя дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют эти функции, и интегрируя дважды по частям, получаем

ьь

аа

Правая часть равна нулю для граничных условий следующего класса:

классу относятся следующие граничные условия: а) свободный

и dy/dx = 0 (что является пределом при /С-»-оо для пружины).

Таким образом, для рассматриваемых случаев изгиба и кру­ чения граничные условия удовлетворяются, и задача Штурма — Лиувилля поставлена правильно при R и Р, противоположных по знаку S и Q. Отсюда следует, что собственные решения орто­ гональны, собственные значения % действительны и положи­

тС12г, направленная горизонтально, на плече z = гр; 3) аэроди­ намическая сила Fz на плече г. Здесь т — погонная масса ло­ пасти. Из условия равновесия моментов относительно ГШ имеем

А э р о д и н а м и ч е с к а я с а л а

V

Центробежная

сила

Рис. 9.1. Маховое движение жесткой лопасти.

обусловливает собственную частоту v движения, равную 1 во

пасти, то р — угол, который образует линия, соединяющая центр втулки и конец лопасти, с плоскостью вращения. В этом слу­

Если в ГШ имеется пружина, определяющая конструктивный угол конусности Рконстр, то условие равновесия моментов отно-

так и бесшарнирной лопасти. В гл. 5 была рассмотрена дина­ мика бесшарнирного несущего винта с учетом первого тона изгибных колебаний; в настоящем анализе появляется возмож­ ность определения частоты и формы тона и дается строгий вы­ вод дифференциального уравнения движения. Уравнение дви­ жения получается из условия равновесия аэродинамических, инерционных и упругих моментов, действующих на часть ло­ пасти, внешнюю относительно сечения, расположенного на ра­ диусе г. Пусть z (г) — отклонение элемента лопасти от плоскости вращения. Выпишем силы, действующие в сечении лопасти на радиусе г, и плечи, на которых они создают моменты относи­ тельно сечения, расположенного на радиусе г: 1) сила инерции mz(p), плечо (р — г); 2 )^центробежная сила mQ2p, плечо z(p) —

— z (г); 3) аэродинамическая сила Fz, плечо (р — г). Момент, действующий в сечении на радиусе г, от сил, приложенных к внешней по отношению к сечению части лопасти, равен

*к

м (г) = $ [(Fz — tnz) (р — г) — mQ2p (z(p) — z (г))] dp.

Г

Из теории упругой балки имеем соотношение между изгибаю­ щим моментом и кривизной балки M(r) = EI(d2z/dr2), где Е — модуль упругости материала,/ — момент инерции сечения. Урав­ нение равновесия моментов записывается в виде

Двукратное его дифференцирование по радиусу дает следую­ щее дифференциальное уравнение в частных производных для изгиба лопасти в плоскости взмаха;

- i []■"*Г<>Р§ ] + m i - F r

Рассмотрим граничные условия. Конец лопасти свободен, на

является наличие в ГШ пружины с характеристикой /Ср, так что для r — е имеем El (d2z/dr2) = K$(dz/dr). Таким образом, шарнирная и бесшарнирная лопасти представляют частные слу­ чаи /(р = 0 и /Ср = оо соответственно.

Дифференциальное уравнение движения лопасти в частных производных решается методом разделения переменных, при­ водящим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (аргумент — время) для ряда степеней свободы, подобных урав­ нению махового движения жесткой лопасти. Таким образом, отклонение z(r,t) элемента лопасти от плоскости вращения мо­ жет быть представлено в виде разложения деформации изгиба по собственным формам. Каждое уравнение движения соответ­ ствует своему тону собственных колебаний. Сначала необходимо найти подходящие собственные формы для вращающихся ло­ пастей. Когда формы выбраны таким образом, что реакция ло­ пасти на возмущение хорошо описывается несколькими пер­ выми тонами, задачи динамики несущего винта могут быть ре­ шены с использованием минимального количества степеней свободы. -

Рассмотрим свободные колебания вращающейся лопасти с частотой v. Тогда в однородном дифференциальном уравнении в частных производных, описывающих изгиб лопасти в отсут­

скольку в нем опущены аэродинамические силы) описывает 'колебания лопасти в вакууме под действием только упругих и инерционных моментов. Решением данного уравнения с гра­ ничными условиями являются собственные частоты v и формы

мам является сходящимся рядом. Уравнение колебаний ли­ нейно, так что решения определяются с точностью до постоян- ,'ного множителя, поэтому собственные формы нормализуют,

уменьшения амплитуды, так что основной тон имеет низшую частоту viМожно показать, что если тоны пронумерованы в таком порядке, то форма А-го тона включает в себя А — 1 форм,

Функции qk(t) можно назвать степенями свободы движения изгиба. Если формы нормализованы, то qk представляет собой угол между линией, проведенной из центра втулки к концу А-й формы, и плоскостью вращения. Ввиду ортогональности соб­ ственных форм для qk может быть получена простая система уравнений. Подставим разложение для z в дифференциальное уравнение изгиба в частных производных:

(£ /% ;)"- [ j mQ2pdprift]}Як + Е тЦкЯк = Fz

Если собственная форма т\к удовлетворяет дифференциальному уравнению, то член в скобках равен v\mnft, откуда имеем

Использование собственных форм колебаний вращающейся ло­ пасти позволяет выразить члены от упругих и центробежных сил через собственную частоту vk, а поскольку эти формы орто­ гональны, получаем, что дифференциальное уравнение для А-го тона не связано с другими тонами (кроме как через аэродина­ мическую силу). Поделив на /л и введя безразмерные величины,

получим

Лиувилля является получение собственных частот по формуле Рэлея:

(безразмерная частота получается делением на Q2). Это соот­ ношение может быть истолковано как уравнение энергетиче­

ского баланса: v2 ^ r f m d r — максимальная кинетическая энер­

гия колеблющейся лопасти, ^EIr\"2d r — максимальная потен­

циальная энергия изгиба, /Ср['П, (е)]2 — потенциальная энергия

пружины в ГШ и ^ mQ2p dpr\'2— потенциальная энергия цен

тробежных сил. Отметим, что приведенная выше формула Рэ­ лея может быть записана в виде v2 = /Ci -+- КъО? (формула Саутвелла). Коэффициенты Саутвелла Ki и Кг, представляющие жесткость, создаваемую соответственно упругими и центробеж­ ными силами, суть константы, включающие интегралы от соб­ ственной формы колебаний. Последняя, вообще говоря, несколь­ ко зависит от угловой скорости вращения винта £2, но формула Саутвелла дает основную зависимость изгибных собственных частот лопасти от й (более подробное обсуждение приведено в разд. 9.8.3). Указанное энергетическое соотношение дает точ­ ное значение частоты при точной форме колебаний, которая может быть получена из решения характеристического уравне­ ния. Оно может быть также использовано для получения оце­ нок собственных частот с применением приближенных выраже­ ний для собственных форм.

Основным тоном махового движения называют решение ха­ рактеристического уравнения, имеющее наинизшую частоту. Для шарнирного несущего винта без относа ГШ и без пружин, как легко показать, выражение т) = г удовлетворяет характе­ ристическому уравнению при собственной частоте, равной v = 1;

360 Глава 9

гиба в основном тоне шарнирной лопасти крайне мала. Лопасть бесшарнирного винта должна изгибаться у комля, так как вид закрепления требует нулевого наклона, однако жесткость, об­ условленная центробежными силами, определяет основной тон даже для бесшарнирной лопасти, на что указывает тот факт, что собственная частота лишь ненамного превышает частоту оборотов (обычно v = 1,1 -г 1,2). Форма тона бесшарнирной ло­ пасти, не считая участка, близкого к комлю, незначительно от­ личается от формы тона шарнирной лопасти. Определяющим

.фактором в изгибных колебаниях является собственная частота,

а не форма тона. Даже небольшое превышение собственной час­ тоты над частотой оборотов в случае бесшарнирного винта сильно влияет на нагрузки у комля лопасти и на характери­ стики винта в целом.

Второй тон изгибных колебаний обычно имеет собственную частоту, в 2,6 ~ 2,8 раза превышающую частоту оборотов. По мере увеличения номера тона увеличиваются число узлов и кри­ визна формы. Высшие гармоники, таким образом, важны с точ­ ки зрения нагрузок на лопасть и их вычисления. Для шарнир­ ной лопасти второй тон махового движения часто называют первым тоном изгибных колебаний, поскольку основной тон ма­ хового движения не связан с упругими деформациями. Для формы второго тона изгибных колебаний шарнирной лопасти можно использовать приближение т] = 4г2 — Зг, если нет более точных данных. Оно ортогонально первому тону ц = г, однако не удовлетворяет граничным условиям нулевых моментов на конце и у комля лопасти. Можно предложить также выражение Т1 = г —(n/3)sin пг, удовлетворяющее всем условиям, кроме ну­ левой перерезывающей силы на конце лопасти. Эти приближен­ ные формулы полезны при оценке инерционных и аэродинами­ ческих коэффициентов в процессе анализа динамики несущего винта и особенно при оценке собственной частоты второго тона с помощью энергетического соотношения.

Польза разложения движения лопасти по собственным фор­ мам определяется тем, насколько малым количеством гармоник можно ограничиться при решении большинства задач динамики винта. Частотный состав сил, действующих на лопасть, хорошо определяет число тонов, подлежащих учету. Во многих слу­ чаях основной тон достаточно хорошо представляет движение как шарнирной, так и бесшарнирной лопасти. Задачи определе­ ния переменных нагрузок на несущем винте или вибраций вертолета требуют учета 3—5 тонов изгибных колебаний ло­ пасти.

9.2.3. НЕВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Параметры движения и уравнения движения в невращающейся системе координат получаются путем применения фурьепреобразования координат (разд. 8.4). Уравнения движения лопасти в плоскости взмаха выведены для каждой лопасти N-лопастного несущего винта во вращающейся системе коорди­ нат. При фурье-преобразовании координат вводится N степеней

свободы (ро, Pic, Ри, • • •, ряс, ряс, рлг/г) Для описания движения несущего винта в невращающейся системе координат. Соот­ ветствующие /V уравнений движения получаются путем приме­ нения к уравнениям во вращающейся системе координат