книги / Теория вертолета. Кн. 1

4 0 2 Глава 9

периодических коэффициентов, так как оно задано в невращающейся системе координат.

Дополнительными ускорениями в плоскости вращения, по­ рождающими моменты относительно оси ВШ, являются 1) угло­

ную силу в плоскости вращения в направлении отставания ло­ пасти, а линейное ускорение — силу противоположного направ­ ления; обе действуют на плече (г — е) относительно оси ВШ. Интегрирование по радиусу дает момент в плоскости вращения:

у гщт dr'j аг + ^ т ] (хвт sin фт — уВТcos ф„

Таким образом, уравнение качания приобретает вид

h (£ + V&) + — llahz -f Si (ХВТ sin фт — увтCOS фт ) =

гГ

Запишем уравнения движения лопасти в плоскостях взмаха и вращения в невращающейся системе координат. Ускорение и скорость втулки не зависят от номера лопасти, так что опера­ тор суммирования воздействует только на множители sin фт и cos фт . Отсюда следует, что движение втулки влияет только, на уравнения общего и циклического шагов в невращающейся си­ стеме координат (по крайней мере для инерционных сил). В ре­ зультате получаем следующие уравнения для коэффициентов махового движения:

h (Ро + vpPo) — ^ 3 ^ 2 р бал4о + S ijZ hT = у М Р„

/sK ls — 2£IC+ (v; — 1)C.J + /рс^Рбал (Pi, — Pic) + S^XBT — yMLls.

В невращающихся осях инерционная взаимосвязь между движениями несущего винта и его вала сильно ограничена. Угол конусности реагирует на вертикальное ускорение, цикли­ ческий шаг — на движения тангажа и крена, угол качания — на угловое ускорение рыскания, а циклические составляющие угла •качания — на продольное и поперечное ускорения втулки. Во­ обще отсутствует влияние движения вала на безреакционные

инерционные силы, которые создают моменты в плоскости взма­ ха, следует включить в выражение для вертикальной перерезы­ вающей силы у комля, так что

R ■ R R

Здесь можно использовать и выражение NP= /л02(vj( — 1) р.

Радиальное ускорение (хвтcos + ijBTsin фт ) из-за движения втулки в плоскости вращения следует учесть в выражении для радиальной перерезывающей силы:

Вызванные движением вала инерционные силы в плоскости вра­ щения, которые создают моменты относительно оси ВШ, необхо­ димо учесть в выражениях для перерезывающей силы в

Продольная и поперечная силы несущего винта описываются выражениями

m—1

Наконец, крутящий момент равен

т-1

Единственными инерционными добавлениями к тяге и продоль­ ной и поперечной силам являются реакции общей массы винта на линейные ускорения. Моменты на втулке представляют со­ бой реакции всего винта на угловые ускорения.

Связь между несущим винтом и невращающейся системой координат осуществляется посредством фурье-преобразования координат. Во вращающейся системе движение вала винта про­ является в виде периодических коэффициентов в уравнениях движения, которые исчезают при переходе к невращающейся системе координат. Суммирование сил у комля лопасти для по­ лучения суммарных реакций втулки, естественно, ведет к рас­ смотрению степеней свободы винта в невращающихся осях. Связь между винтом и невращающейся системой ограничена, по­ скольку степени свободы винта в невращающихся осях опреде­ ляют движение винта в целом; в отдельных случаях это выра­ жается в связи только некоторых параметров движения вала и сил на втулке. В частности, наклон плоскости концов лопа­ стей происходит только при движениях вала по тангажу и кре­ ну и связан с моментами тангажа и крена на втулке. Цикли­ ческие изменения углов отставания лопастей, вызывающие смещение центра масс винта в плоскости вращения, связаны с перемещениями втулки и силами на ней в плоскости вращения. Изменение угла конусности появляется при вертикальном пере­ мещении вала и изменении силы тяги, а общий угол отстава­ ния— при изменениях угла рыскания и крутящего момента винта. Наконец, безреакционные тоны винта вообще не связаны с движением вала и силами на втулке. В условиях осевого по­ тока имеются некоторые дополнительные взаимосвязи из-за аэродинамических сил, но движение все же разделяется на

и безреакционные тоны. При полете вперед аэродинамические силы связывают все степени свободы вертолета, но возмож­ ность разделения движений остается важнейшей характеристи­ кой анализа.

Влияние движения вала имеет отличия в случае двухлопаст­

уравнением для угла поворота в общем ГЩ, которое с учетом движения вала имеет вид

/р (Pi + бал£, +

+[(a* -f 2ау) sin ф — (ау — 2а*) cos ф] = уMPl.

Аналогично уравнение для полуразности gi углов качания заме­ няет уравнения для gic и gis:

/{; (L + v^i) + /в;2рбалр, + Si (хвт sin ф — увтcos ф) = уMLl.

Уравнения движения для Ро и go. приведенные выше, справед­ ливы и в случае N ^ 3, и для двухлопастного винта, как и результаты для тяги и крутящего момента винта. В выражения сил на втулке в плоскости вращения (разд. 9.5.2) необходимо добавить инерционную реакцию на ускорение вала:

Моменты тангажа и крена на двухлопастном несущем винте были выражены, через углы поворота плоскости концов лопастей и поэтому не изменяются; движение вала влияет на моменты на втулке через решение для Рь Наиболее важная особенность двухлопастного винта — появление периодических коэффициен­ тов в уравнениях в невращающейся системе координат для сил на втулке при движениях вала в связи с отсутствием осевой симметрии этого винта. В результате анализ динамики двухло­ пастного винта существенно отличается от такового для винтов с тремя или более лопастями.

При анализе устойчивости и управляемости вертолетов (как и самолетов) наиболее часто применяется связанная система координат. В связанной системе координатные оси жестко свя­ заны с фюзеляжем при его возмущенном движении, тогда как инерциальная система координат неподвижна в пространстве. Поскольку установившаяся скорость вертолета определена отно­ сительно связанных осей, при их повороте будет менять направ­ ление и вектор скорости, что приводит к появлению центробеж­

Чтобы использовать результаты, полученные в этом разделе для движения вала, нужно знать ускорения втулки в инерци­ альном пространстве. Составляющие скорости несущего винта в установившемся полете равны ц в плоскости диска и jitg a в плоскости, нормальной к диску. Инерциальные ускорения, вы­ раженные через параметры движения вертолета в связанной системе координат, равны:

(•^ат)ин (^вт Ч- а )сь>

(Увт)ин = (у вт — сух — а хц tg а)св,

(^вт)ин (^вт Ч” ^//Ц)св*

На режиме висения, когда установившаяся скорость верто­ лета равна нулю, между инерциальными и связанными осями нет разницы с точки зрения учета инерционных сил. Выражения для аэродинамических сил, вызванных движением вала винта, зависят от выбора системы координат (см. разд. 11.6).

9.7. СВЯЗАННЫЕ МАХОВОЕ, ВРАЩАТЕЛЬНОЕ И КРУТИЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ЛОПАСТИ

Задачей настоящей главы является исследование основ ди­ намики вращающейся лопасти, и модели, рассмотренные здесь, не более сложны, чем необходимо для решения этой задачи. Однако имеются несущие винты и проблемы, для анализа кото­ рых полученных здесь уравнений недостаточно.

В настоящей главе уже был приведен ряд замечаний, ка­ сающихся потребности в более совершенном анализе; соответ­ ствующие указания будут даны и ниже. В частности, необхо­ димо дальнейшее развитие анализа в направлении учета пол­ ностью взаимосвязанного движения изгиба в двух плоскостях, установочного движения и кручения лопасти. Имеются и другие степени свободы, учет которых может потребоваться, например поворот двухлопастного винта в общем ГШ и изменение час­ тоты вращения винта. Во многих случаях необходим учет де­ тальных геометрических, инерционных и упругих характеристик несущего винта, например упругости участка лопасти, внутрен­ него относительно ОШ, или стреловидности части лопасти, внеш­ ней относительно ОШ. Наиболее часто потребность в более со­ вершенном анализе динамики появляется при проектировании бесшарнирных несущих винтов.

Вывод уравнений связанного движения лопасти с учетом из­ гиба в двух плоскостях и кручения является длительным и

сложным. Количество взаимосвязей, подлежащих учету, увели­ чивается по меньшей мере пропорционально квадрату числа степеней свободы, а многие из этих взаимосвязей существенно нелинейны. Более того, динамика вертолета все еще является объектом исследования с точки зрения полного определения того, какие силы следует учитывать и какие аппроксимации еще могут быть приняты. Вопросы, связанные с более полными уравнениями движения, здесь не рассматриваются; с ними мож­ но ознакомиться по литературе [А.43, P.66, Н.100, J.50] и ссыл­ кам в гл. 12 и 14.

9.8. ИЗГИБНЫЕ ТОНЫ ЛОПАСТИ НЕСУЩЕГО ВИНТА

9.8.1. ТЕОРИЯ УПРУГОЙ БАЛКИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАКРУЧЕННОЙ ЛОПАСТИ

Изменение угла установки и крутка лопасти вводят упругую связь между изгибом в плоскостях взмаха и вращения. Свобод­ ные колебания вращающейся лопасти в поле центробежных сил происходят одновременно в плоскостях взмаха и вращения, что существенно влияет на динамику несущего винта. В связи с этим в теории упругой балки применительно к лопасти несущего винта необходимо учесть влияние изменения углов установки и крутки. Задача состоит в определении связи изгибающих мо­ ментов, действующих в сечении лопасти, с изгибными деформа­ циями. В модели будет включено и упругое кручение лопасти. Этот анализ основан на работе [Н.159].

Предположим, что упругая линия недеформированной ло­ пасти является прямой и что лопасть имеет большое удлинение, позволяющее применить теорию упругой балки. На рис. 9.11 показана рассматриваемая схема лопасти. Координата г отсчи­ тывается вдоль радиуса лопасти от оси вращения. Сечение ло­ пасти имеет главные оси х и z с началом координат, совпадаю­

щим с осью жесткости. Тогда по определению ^ x z E d A = 0.

Заметим, что весовой функцией в этом интеграле служит модуль упругости. Назовем центром растяжения точку, лежащую на оси х, на расстоянии Хс от оси жесткости, определяемом интег­

ралами ^zE d A = 0 и ^xE dA = xc ^E dA . Угол между главной

осью сечения х и плоскостью вращения представляет собой угол установки лопасти 8. Существование оси жесткости означает, что кручение относительно этой оси происходит без изгиба ло­ пасти. Таким образом, составляющими угла установки являются угол установки комлевого сечения 0о, конструктивная крутка 0Кр и упругий поворот сечения 0е : 0 = 0О+ 0к? + 0е. Крутка 0кр изменяется с радиусом г и равна нулю у комля. Касательные

напряжения в лопасти обусловлены только деформацией 0е. Предполагается, что 0е мало, хотя балансировочный угол 0О и крутка 0кр могут быть большими.

Единичными векторами в системе координат, вращающейся вместе со втулкой, являются 1Л, \л и кл (рис. 9.1 Г). Единичные

X/

Рис. 9.11. Геометрия лопасти несущего винта, имеющей конструктивную крут­ ку (деформации изгиба отсутствуют).

векторы в главных осях сечения i, j и к повернуты на угол 0 относительно плоскости вращения, т. е.

i = 1л cos 0 — кл sin 0, j = j j , к = 1Л sin 0 + кл cos0.

Отметим, что кручение в отличие от изгиба входит в определе­ ние i и к. Из определения следует, что <91/дг = —0'к и <3к/дг =

=0'i.

Деформация лопасти описывается отклонением оси жест­

кости, имеющим составляющие Хо, го и z0 (рис. 9.12). Изгиб оси жесткости приводит к повороту сечения на углы <р* и <рг. Круче­ ние 0е уже вошло в 0. В теории упругой балки предполагается, что сечения лопасти, нормальные к оси жесткости, остаются нормальными к ней и после изгиба. Это предположение доста­ точно для определения деформаций всех элементов сечения. Предположим еще, что величины Хо, го, го, <р*, Фг и 0е малы. Еди­ ничные векторы i*s, jjcs й k*s деформированного сечения

(рис. 9.12) повернуты на углы ф* и <рг относительно недеформированного сечения, так что

i*s = i + <P2j> J« — J — Фг' + ф Л k,, — k — q>J.

Вектор )xs направлен по касательной к деформированной оси жесткости. Тогда по определению j*s = dr/ds, где г = *0i + + (г + Го) j + 2 0к — радиус-вектор отклонения, a s — длина дуги

Рис. 9.12. Деформация лопасти.

вдоль деформированной оси жесткости, и в первом приближе­ нии имеем

Сравнение двух выражений для j*s показывает, что углы по­

Положение элемента лопасти до деформации определяется век­

Теперь мы пренебрежем упругим растяжением г0. Анализ на­ пряжений при этом упрощается, поскольку в первом приближе­ нии s = г. Растяжение го дает лишь равномерно распределен­ ные напряжения в сечении, которые легко учесть впоследствии.

Фундаментальный метрический тензор gmn недеформированнрй лопасти записывается в виде