Аэродинамика несущего винта I |
451 |
лопасти должно быть суперпозицией гармоник с частотами, кратными основной частоте Q изменения скорости набегаю щего потока. Период изменения течения тогда равен 2л/Й. Ин тенсивность вихрей в следе должна быть периодической функ цией | с длиной волны, равной расстоянию
2л
^Ud\|з = 2зхг,
.0
на которое переносится пелена за отрезок времени, равный периоду. Разлагая имеющую период 2пг функцию уц, в ряд Фурье по |, получим
со
Уш= Z |
|
|
пи= —оо |
|
|
Поскольку yw должна быть функцией лишь | — гф + |
цсовф, |
находим |
|
|
Z y me im |
^ lri cos ^ ~ im&r * |
|
— оо |
|
|
где ym— постоянные. При ц = |
0 это выражение дает, |
как и |
ранее, уш= yemi-^lu\ |
|
|
Выражение для интенсивности вихрей подставим в фор мулы для квазистационарной и циркуляционной составляющих подъемной силы и получим
LQ------рU £
—оо b
Поскольку
|
2л |
inГч>- ~ cos \|Л / |
|
|
( 1 при п = О, |
1 |
f |
м |
\ |
ш |
\ е |
к |
Ч |
1+ Т -sin^ ) ^ = |
| О при пфО, |
для коэффициентов |
гармоник ут получаем следующее выра» |
жение: |
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1+7 sin ф) s - ('Р- 7-с°аLQdф)$
О
452 |
Глава 10 |
Отсюда для циркуляционной подъемной силы находим |
L , - Ъч>иь £ |
»“ |
С (тЫ г)Х |
|
|
|
т=—оо |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
Здесь С (mb/ г )— функция |
Теодорсена |
приведенной |
частоты |
k = mb/г |
(что |
соответствует со = mQ, |
и средней |
скорости |
U = fir), |
а |
|
|
|
|
Q = W b = U a + h + b(l{ i - a)-
Представляя квазистационарную циркуляцию Q в виде ряда Фурье
Q = Z Qae1**.
можно записать выражение для подъемной силы в виде
00
La = 2npUb Е Q n ^ C ^ (п, ф),
П——00
аналогичном полученному ранее для случая обтекания про филя с постоянной скоростью. Через Сц (п, ф) здесь обозна чена модифицированная функция Теодорсена, соответствую щая скорости потока U = г ф- р sin ф и движению лопасти по п-й гармонике:
Сц (п, Ф) = 2_, е |
У |
' |
с (mb/r) х |
|
|
|
т — — оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Г |
/ |
ц |
. |
\ |
- » т Л|>—£ cos |
|
+ In * |
|
Х а Г ) |
I 1 + |
7 |
sin,|,J e |
v |
' |
d |
При постоянной |
скорости |
потока |
(р = |
0) |
в этом выражении |
не равен нулю лишь интеграл при т = п, так что Сц=0(я. Ф) = = C(nb/r). Можно также представить Lu в следующем виде:
|
|
, = |
2npUb Е Q„{ Е |
С1пе ^ \ , |
гд е |
|
|
« ■ - о о |
М * - о о |
) |
Г |
2,1 |
|
|
|
оо |
|
|
|
С,■ * -т £— °° |
[±L |
о |
lm № - — cos ф)— |
</ф IС {mb/г) X |
Аэродинамика несущего винта I |
453 |
т. е. Сщ— коэффициенты гармоник в разложении |
е1П^Сц(п, ф) |
в ряд Фурье. Из последнего выражения видно, что при измене нии скорости потока во времени возникают связи между гармо никами подъемной силы и циркуляции, обусловленные влиянием вихревого следа. Интегралы, входящие в функцию уменьшения подъемной силы, при переменной скорости потока могут быть выражены через бесселевы функции. В качестве типичного при мера на рис. 10.9 показаны графики СДп, ф) при п = 2 и b/г = = 0,04. В случае скорости потока, меняющейся с частотой вра щения винта, функция Сц имеет ту же основную частоту изме нения по ф. Сильнее всего нестационарность проявляется вблизи
Рис. 10.9. Функция уменьшения коэффициента подъемной силы профиля при изменяющейся по времени скорости набегающего потока.
Вторая гармоника. 6/г==0,04.
зоны обратного обтекания, при ф == 270°. Диапазоны представ ляющих наибольший интерес значений радиусов сечений и ско ростей полета соответствуют изменению р/r в пределах от 0 до 0,7. Для значений p/r > 1 модель непригодна, так как сече ние лопасти попадает в зону обратного обтекания. При малых значениях р/r функция уменьшения подъемной силы прибли женно описывается выражением
|
оо |
|
С,Дп, ф) = |
£ |
— г'т (p/r) cos ф] С (mb/r)X |
т = |
—оо |
|
|
2л |
|
|
о |
-j- ~ (sin ф -f- im cos ф)^^ф = |
|
|
— С„ + -у- |
|
[cos ф(Сп+1 + С„_j — 2Сп) -f i sin ф(Св+1 Cn-t)]» |
454 |
Глава 10 |
|
где Сп = С(пЬ/г). Если |
отношение b/г также мало, |
это выра |
жение дает |
|
|
Сц (п, i|))« С (nb/r) — |
-у sin 'tj С' (nb/r) = С [nb/(r + |
р sin ф)]. |
Таким образом, при малых изменениях скорости потока (малая величина пЬц/r2) модифицированная функция уменьшения подъемной силы С^ близка к функции Теодорсена C(k), причем входящую в нее приведенную частоту следует определять по мгновенному значению скорости потока (k = <ab/U). Такое при ближение достаточно точно при умеренных п. Приведенные на рис. 10.9 графики построены именно таким образом. На стороне наступающей лопасти большие скорости уменьшают приведен ную частоту, и функция уменьшения подъемной силы прибли жается к 1. На стороне отстающей лопасти вблизи задней кром ки образуется интенсивный след из поперечных вихрей, что вы зывает значительное снижение подъемной силы.
Итак, изменение скорости потока следующим образом влияет на нестационарные аэродинамические силы профиля: появляют ся дополнительные бесциркуляционные составляющие подъем ной силы и момента, связанные с производной d(Ua)/dt\ воз никает связь между гармониками квазистационарной и неста ционарной циркуляции, вызванная влиянием вихревого следа; функция уменьшения подъемной силы существенно изменяется вследствие разрежения и сгущения завихренности в следе. В со ответствии с изменением скорости обтекания сечений лопасти при полете вперед все три эффекта имеют периодический харак тер с основной частотой, равной частоте вращения винта. Выра- „жения членов, соответствующих бесциркуляционным подъемной силе и моменту, справедливы для любых изменений U. Простая аппроксимация С^(п, ф )« C(k) при приведенной частоте, оп ределяемой по местной скорости, дает хорошие результаты до значений р/г = 0,7. При малых значениях р/r можно восполь зоваться более грубой аппроксимацией Сц(п, ф) = C(nb/r), в Которой приведенная частота построена по средней скорости. Эта аппроксимация не учитывает влияния переменной скорости потока при построении вихревого следа.
Другие подходы к нестационарной теории профиля при из меняющейся скорости потока описаны в работах [1.3, 1.4, G.108].
10.5. ПЛОСКАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ ОБТЕКАНИЯ СЕЧЕНИЯ ЛОПАСТИ ВИНТА
На режиме висения или полета по вертикали система вихрей винта состоит из вихревых винтовых поверхностей, отходящих -вкиз по потоку от каждой из лопастей. При нестационарном
Аэродинамика несущего винта I |
455 |
движении лопастей на этих поверхностях находятся и попереч ные свободные вихри. У слабонагруженного винта вихревые поверхности располагаются вблизи диска винта, и лопасти дви жутся рядом с ними. Таким образом, в этом случае не все вихри уносятся вниз по потоку, как это имеет место в случае профиля крыла, и для уточнения расчетов нестационарных нагрузок должны приниматься во внимание поверхности из поперечных вихрей, находящиеся под винтом. Так как при больших скоро стях протекания или при полете вперед вихри быстро уносятся от лопастей, повторное влияние пелены вихрей на лопасть в пер вую очередь относится к вертикальному полету. Поскольку ло пасти винта вертолета имеют большое удлинение, расчет нагру зок можно вести по схеме несущей линии, причем повторное
J U |
t |
|
|
Профиль |
|
^ |
Г |
\h |
|
|
h |
|
|
h |
|
|
h |
Рис. 10.10. Двумерная нестационарная модель вихревого следа вращающейся лопасти (однолопастный винт).
влияние пелены может быть включено в нестационарную тео рию профиля. Части пелены, достаточно удаленные от сечения лопасти, оказывают на него незначительное влияние. Поэтому можно ограничиться моделированием расположенных вблизи лопасти вихрей, которые при малых скоростях протекания ле жат, на поверхностях, почти параллельных плоскости диска. Это делает возможным построение двумерной нестационарной модели.
Такая модель нестационарного обтекания сечений винта на режиме висения, учитывающая повторное влияние пелены вих рей, развита в работе [L.113]. Плоская система вихрей, аппрок симирующая соответствующие винтовые поверхности, показана на рис. 10.10. Сначала рассмотрим однолопастный винт, счи тая, что вся завихренность сходит с единственной его лопасти. Сечение лопасти представлено тонким профилем, с задней кром ки которого сходит (и простирается до бесконечности) след, со стоящий из поперечных вихрей. Остальные винтовые вихревые поверхности, проходящие под лопастью, моделируются серией плоских параллельных вихревых слоев с расстоянием h между ними, причем каждый слой тянется до бесконечности вверх и
456 Глава 10
вниз по потоку. Все вихревые слои параллельны скорости набе гающего потока U, которая здесь принимается постоянной. Если не касаться определения индуктивной скорости, то такая модель ничем не отличается от рассмотренной в разд. 10.2.
В предположении о гармоническом движении лопасти с час тотой со интенсивность слоя вихрей непосредственно за ло
пастью (п = |
0), как и ранее, определяется выражением ут= |
= уа,еш<(-х/и) |
(рис. 10.10). Поскольку слои вихрей под профи |
лем описывают последовательные витки одной и той же винто вой поверхности, их интенсивность изменяется так же, как у первого слоя. Выберем некоторую точку на первом слое с коор динатой х. Продвижение на один оборот по винтовой поверх ности соответствует переходу в расположенную на нижележа щем слое точку также с координатой х. Таким образом, интен
сивность вихрей |
является функцией величины (лс + пАх), где |
л — номер слоя, |
а Ах— расстояние, |
на которое |
переносятся |
вихри пелены за один оборот: |
|
|
|
Ах — 2яг = 2л (Qr)/Q = |
2nU/Q. |
|
В этом случае увеличение х на Ах эквивалентно |
возрастанию |
о на 1. |
Поскольку все вихри переносятся вниз по потоку со ско |
ростью |
U, интенсивность вихревых слоев также является функ |
цией t— x/U. В случае гармонического движения интенсивность |
сходящих вихрей изменяется во времени как еш, что приводит |
к выражению |
УшП |
Vw0. |
( t- x /U - n 2 n /Q ) |
ywemie"ikxfbQ- *я2яй>/й^ |
|
г, p i (0 |
|
где Ya>„ — интенсивность n-го вихревого слоя. При целочислен
ном значении отношения w/Q нагрузка меняется с частотой, кратной оборотам винта. Так как при этом е~‘п2пы/а= 1, ин
тенсивность вихрей во всех слоях находится в одной и той же фазе.
Дальнейший анализ можно вести аналогично выполненному в разд. 10.2. Индуктивная скорость для рассматриваемой модели описывается выражением
1 |
Г |
4wdl |
Y 1 |
г- |
У ш „(х - £ ) |
2я |
J |
x — t ~ T ~ Z j 2 n |
) |
(* — g)2 + h 2n2 й |
|
Ь |
|
1 |
-00 |
|
второе слагаемое в правой части которого отражает повторное Влияние пелены вихрей. Подставляя в это слагаемое выражение
|
|
|
Аэродинамика несущего винта I |
457 |
для |
yWn, получим |
|
|
|
|
= |
У _ |
f _J^n |
|
|
|
a i - v -2п |
ГJ |
2 i ь2_2^ |
|
|
|
|
|
= v eto*Y |
2n |
e - ik*f b ( x - i ) d |
|
|
|
yme |
2_je |
) (x - g)2+ AV |
|
|
|
|
n-1 |
|
|
|
|
= |
Ya)6ia,< |
j_ Q-lkx/bg-n КШМ+1Й ua/atl----- L |
piatg-ikx/bTfflг |
где |
|
|
n—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = = E |
g-л {(kh!b)+l2n |
_ xj(ekhlbel2iualQ _ |
|
|
|
n-1 |
|
|
|
Для определения нестационарных нагрузок на профиле разло жим индуцируемую пеленой скорость в ряд
оо
Л = £ Ав cos «0,
п—О
где х = 6 cos 0. Используя представление бесселевой функции
|
|
Л |
|
|
|
Jn {k)= —^^ e~ikCOs 0 cos tiQdQ, |
получим |
n |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 = |
J 5 ДМВ = |
Y ywe l^ W J 0(ft), |
|
0 |
|
|
|
|
л |
|
|
|
M i = |
„ J АЛ cos 0d0 = |
ywe m W ] x(ft), |
|
0 |
|
|
|
М2 = |
л |
|
|
iywe^tWj2(ft), |
f J АЛ cos 20d0 = |
- |
откуда |
|
|
|
|
A ( h |
+ Y К ) = |
ywe iatW i |
(/, (ft) + 7/0 (ft)), |
1 Г W Л ( Я° - T Ч |
) --------| ( / , |
(ft) + |
|
|
+ ^o№)------ymet^tW]l(ft).
458 Глава 10
Добавки к циркуляции и подъемной силе профиля определяют ся формулами
АГ = |
- 2я&Д (Ло + Y ^I) = - |
2nbywe^W j |
(/, (k) + UQ(k)), |
M = - |
pU2nb[A ( A,0 + j h) + |
j -jj -ft A (A* - |
j *2)] = |
= - p^/2яftY.e'“,^' (i/2)JQ(k).
В результате полная подъемная сила равна
ОО
L — LQ+ L6ll + pU ^ ь~уwd%— pU2nbywei<atW -Lj0,
где LQ и LOU в ы ч и с л я ю т с я п о формулам разд. 10,2. Для полной
циркуляций получим выражение
Г = |
+ S( |
V |
~ |
0 |
~ 2nbywem W -I(У, + Ц0) =. |
|
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
— J уwd%, |
что дает |
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L Q= — |
ь |
^ |
Л / |
Т = |
Т |
U2nbyweMW+ р |
^ (Ji + |
/У 0). |
|
|
|
|
|
|
~ * |
|
Подставляя сюда |
|
уш— ywem^ £/&>, можно выразить |
yw через |
L Q , |
ч т о позволяет |
|
выразить |
через |
Q |
|
|
емную силу: |
|
|
|
|
La и циркуляционную подъ- |
|
|
|
L = C LQ+ L6a, |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C'{k, co/Q, h)= |
1 + |
: |
ypnzrf |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
g^Tf |
+//o) r |
|
p===-e-Ife^ |_ „ y 1H7
И2)
# Г (*) + 2/, (А) Г
Я 12) (A) + iH$> (A) + 2 ( /, (A) + i/ 0 (A)) «7
Аэродинамика несущего винта I |
459 |
представляет собой введенную Лоуи функцию уменьшения подъ емной силы. Таким образом, в рамках рассмотренной плоской модели учет повторного влияния пелены поперечных свободных вихрей сводится к замене функции Теодорсена в формулах для нестационарных аэродинамических нагрузок профиля функцией Лоуи. Модификация функции уменьшения подъемной силы свя зана с появлением множителя W, который для однолопастного винта определяется формулой
W (kh/b, ю/Q) = l/(eWbel2n(<e/Q) — 1).
При увеличении h до бесконечности величина W стремится к нулю и функция С' превращается в обычную функцию Теодор-
|
П р о ф и л ь |
__________ п - 0 , т = 0 |
. . |
1 1 |
' |
т~/ |
|
|
h |
ю*2 |
|
|
b |
л=1,т~0 |
|
|
л |
т=! |
|
|
h |
т=2 |
|
|
Ь |
/7=2 /77=0 |
|
|
•h |
т=1 |
|
|
h |
/77=2 |
Рис. 10.11. Двумерная нестационарная модель вихревого следа ^-лопастного винта.
сена C(k). Помимо приведенной частоты k построенная модель
обтекания характеризуется параметрами h/b и ю/Q. Величина h / b задает расстояние между вихревыми поверхностями, a co/Q определяет сдвиг фаз завихренности последовательных вихре вых слоев. При целочисленном значении отношения ю/Q интен сивность вихрей всех слоев изменяется с одинаковой фазой. На сдвиг фаз влияет лишь дробная часть отношения ю/Q.
Рассмотрим теперь случай N-лопастного винта. Как и ранее, двумерная модель пелены вихрей будет состоять из ряда пло ских параллельных вихревых слоев, расположенных под ло пастью на расстоянии h друг от друга. Но теперь пелене, со шедшей с рассматриваемой лопасти, соответствует лишь каждый N-й слой. Пусть, как и ранее, п обозначает номер оборота вин
та, а |
через |
т= 0, 1, |
2, ..., N— 1 обозначим номер лопасти |
(рис. |
10.11). |
Заметим, |
что при п = 0 каждая из вихревых по |
верхностей начинается выше по потоку от лопасти, что в плоской
460 Глава 10
модели отображается продолжением вихревого слоя до бесконечности. Интенсивность поперечных вихрей пелены дан ной лопасти (для фиксированного т) по-прежнему является функцией (х -f пАх) = (х + n2nU/Q). При определении связей между интенсивностями свободных вихрей; соответствующих разным лопастям, примем, что все лопасти движутся одинаково, но каждая лопасть повторяет движение предыдущей с запазды ванием на время Дt = Лф/Й. При этом переход по вертикали вниз в следующий вихревой слой соответствует смещению вниз
по потоку на расстояние |
A x /N — UAt, где |
Ax/N — расстояние |
между соответствующими сечениями лопастей. |
Интенсивность вихрей, |
как и ранее, должна быть функцией |
х + m(Ax/N — UAt). При |
гармоническом |
движении лопасти |
с частотой а> интенсивность слоев вихрей описывается выраже нием
yw |
= |
ywel0(t ~ТГ ~ n2n,Q + mW/Q-bim/NQ) _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
y ^ g l a t g —ik x /b g — i2n (ш/Q) tn+ (m /N ) (l —ЛМ1£/2 я). |
Тогда индуктивная скорость |
/V-лопастного винта равна |
1 __ |
' |
f |
Уа4% |
, |
.v-i |
Г |
Уш0т (х |
I) |
,£ , |
V* t |
|
2я J |
х — | |
' Г |
L a 2я |
J |
(X — |) 2 + |
Л4т 2 |
|
|
b |
|
|
m — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo N — \ |
1 |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
n=> l rn —0 |
|
(Jt — 6)2 H- Л2 (JV« -4— ->2 |
|
|
|
|
|
|
|
—oo |
Подставляя сюда выражение для уш„щ, получим
ooW=1
да= ZZ*
и— 0 т = 0
|
f 1 |
+ |
|
Г |
eiW(x - t)dl |
) |
|
|
- ^ я ) | J |
■( x - ^ |
- i(J{rn + m)aJ - |
|
|
|
|
|
, |
|
“ |
e-W* |
|
|
|
|
|
~ И п У а,еШ J |
* — £ |
или |
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
где обозначено |
ДА= t - |
ya)em e~ikxib W, |
|
|
|
|
|
ДГдф/2п)1е - |
kh (N n + m)/b , |
v |
—*+zzg - 12л (ш/й) [re + (т/ЛГ) (1 - |
|
то |
N ~ \ |
|
|
|
|
|
|
|
re—0rre—0 |
W-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(i>kN hlbe I2n to/Q)J 1 - |
mWgimAiito/b |
|
|
|
1 + ^ |
|
|
|
m-l |
|
ekNH!bel2n«bIU) _ |
| |
|
|
|
|
|
|
|
