книги / Теория вертолета. Кн. 1

342 Глава 8

в виде взвешенной суммы собственных векторов матрицы А:

П

* (0 = £ < * /(0 и /. /=i

где а/ — скалярные функции времени. Такое представление воз­ можно потому, что собственные векторы и; образуют полную

шение дифференциального уравнения может быть выражено че­ рез собственные значения и собственные векторы:

Это выражение можно назвать нормальным модальным разло­ жением реакции. В матричной форме разложение вектора со­ стояния по собственным векторам выполняется посредством преобразования х = Mq, где М — модальная матрица, a q — век­ тор нормальных координат [эквивалентный a,-(f)]- Используя

ственных значений диагональна, получаем ряд отдельных урав­

чальными условиями относительно q(0) и подставляя q(0) в вышеприведенные выражения, получаем

х = Мем М_1х(0), или х = еЛ(х(0),

что и является искомым решением однородной системы диффе­ ренциальных уравнений.

При анализе линейной стационарной системы требуется в основном оценка собственных значений и собственных векторов матрицы А. Приведенное выше разложение показывает, что ре­ шение неустойчиво, если Re(>./)> 0 хотя бы для одного /. Соб­ ственные значения определяют устойчивость системы; часто она представляется графически в виде траекторий корней на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра. Система устойчива, если все корни находятся в левой полупло­ скости. Собственные векторы и/ описывают форму изменения параметра состояния х, соответствующую каждому собствен­ ному значению. Собственные значения действительной матрицы А могут быть действительными или комплексными. Комплекс­ ные корни обычно характеризуются частотой ю = 1т(Х) и от­

ние представляет собой затухающие колебания с частотой со. При £ = 0 корни лежат на мнимой оси (нейтральная устойчи­ вость), а при £ = 1 — на действительной оси. При £ < О имеют место неустойчивые колебания. Действительные корни харак­ теризуются постоянной времени т = —1Д или временем умень­ шения амплитуды вдвое / 0,5 = 0,693т. Собственные векторы, со­ ответствующие комплексным собственным значениям, также должны быть комплексными сопряженными величинами. Сле­ довательно, соответствующие начальные значения нормальных координат [q (0 )= М-1х(0)] — также комплексные сопряжен­ ные величины. Составляющая вектора состояния, соответствую­ щая паре комплексных корней, — действительная вёличина:

Первое слагаемое представляет переходный процесс и зави­ сит от начальных условий, а второе описывает реакцию на вход­ ной сигнал v после момента времени to- В устойчивой системе переходный процесс по мере увеличения t стремится к нулю. Решение можно выразить через вектор х:

t

x(t) = eA{t~h)x(t0) + ^ eA{t~x)Bvdx. t.

Матрица ф (/, t^ = eA{t~U) называется фундаментальной (или переходной) матрицей системы, она связывает состояние си­ стемы в момент времени I с состоянием при to- Рассмотрим ре­ акцию системы на синусоидальное воздействие v = voei<ot. Реак­ ция линейной стационарной системы будет также синусоидаль­ ной с частотой и, т. е. х = Хоеш . Интегрируя вышеприведен­ ное выражение при t0 = — оо или непосредственно решая диф­ ференциальное уравнение, имеем

матрица передаточных функций системы. Реакция на ступенча­ тый входной сигнал может быть определена путем интегрйро-

344 Глава 8

вания при условиях v =? О для t < О и v = v0 для t > 0:

х = Л-1 (eAt — /) fiv0.

Предел этого выражения при неограниченном увеличении времени соответствует, установившейся реакции х = —А~'Вхй.

8.6.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейную нестационарную динамическую си­ стему, описываемую обыкновенными дифференциальными урав­

нениями в форме х = A {t)x + B(t)v. Коэффициенты матриц А и В являются функциями времени. В частности, нас будут инте­ ресовать периодические системы, для которых справедливо со­

пени свободы в момент времени t должны быть линейной ком­ бинацией степеней, свободы в момент времени i0. По определе­

при воздействии входного сигнала v находится с помощью фун­

даментальной матрицы:

t

х (0 = Ф (t, t0) х (/„) + ^ ф (t, т) В (т) v (т) dx.

to

Таким образом, для анализа реакции линейной системы не­ обходимо определить ее фундаментальную матрицу. Для ста­ ционарной системы матрица ф зависит только от разности t — to

ной комбинацией ф(<, f0), поскольку обе матрицы являются ре­ шением одного и того же уравнения. Следовательно,

ф (t + Т, t0) = ф ( t, t0) а,

что можно сравнить с результатом для стационарной системы:

для периодической системы, а собственные значения Л опреде­ ляют основные частоты и демпфирование составляющих реше­

ui(t-\-T) = u,(T), что вытекает из периодичности Р. Применяя подстановку ср = Р е получаем дифференциальное уравнение для ср:

Р = АР — Рр.

Отсюда следует дифференциальное уравнение для собственных векторов и/, которые образуют столбцы матрицы PS :

и1 = (А — Xjl) Uj.

Требование периодичности и, достаточно для определения соб­ ственных значений А/. Для стационарного случая (матрица А постоянна) единственным «периодическим» решением является и/ = const, и уравнение сводится к (А — A//)u/ = 0.

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой ли­ нейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной мат­ рицы ф за время одного периода (от t = 0 до Т) путем интег­

рирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ц>(Т) и корни системы Л = (1/Т)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = фSe~At или и/ = е-х/*фу/ (где V/ — собственные векторы а ) . Система неустойчива, если |0 / |> 1 или R e(A /)> 0 для какойлибо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению соб­ ственных значений, поскольку переменные во времени собствен­ ные векторы периодической системы содержат много информа­ ции о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо­

Решение для х с учетом входного воздействия v может быть получено, как и ранее, при помощи фундаментальной матрицы. С другой стороны, используя соотношение х = PSq и интегри­ руя нормальные уравнения, можно получить

t

q (/) = еЛ (t-<o)q (/0) = ^ ех (t~x) (PS)~l В (т) v (т) dx.

и

Хотя результат формально подобен решению для стационар­ ного случая, следует помнить о том, что PS и, возможно, В — периодические матрицы. Периодичность, помимо того что она затрудняет оценку переходного процесса, серьезно влияет на его характер. Например, реакция на синусоидальное возмуще­ ние с частотой со включает не только составляющую, имеющую эту частоту, но и гармоники с частотами а>±п2п/Т всех цело­ численных значений п, где 2п/Т — основная частота системы. Таким образом, реакция периодической системы в частотной области описывается не единственной матрицей передаточных функций, а передаточными функциями Я„(со) для каждой гар­ моники со + п2я/Т, или периодической функцией времени

оо

£н п(co)1'2"nt/r.

п= — ОО

Рассмотрим более детально собственные значения периоди­ ческой системы. Собственные значения 0, матрицы а = <р(Т) являются либо действительными, либо комплексными сопряжен­

К ней может быть добавлена величина, кратная основной час­ тоте 2л/Т, в зависимости от ветви логарифмической функции, на которой находится корень. Пара комплексных сопряженных значений 0 дает пару комплексных корней Хр. Действительное положительное значение 0 дает главное значение корня Х р с ну­ левой мнимой частью, так что частота X кратна основной час­ тоте системы (т. е. пQ). Для действительного отрицательного значения 0 частота главной части корня Хр равна п/Т, или по­

ловине основной частоты; при X частота равна ( п -f-y ^Q . Для

интерпретации этих корней нужно ответить на два вопроса: как

комплексные, но они не имеют соответствующих сопряженных, если 0 — действительная величина). Как и при интерпретации комплексных корней стационарной системы, интересно рассмот­ реть реальную физическую реакцию х(£), а не отдельно соб­ ственные значения и собственные векторы. Главное значение Хр единственным образом определяется величиной 0; ей же со­ ответствует главное значение формы тона и. Физическая реак­ ция системы зависит от произведения иеи . Таким образом, до­ бавление к частоте корня частоты J'«2JT/T, кратной основной, со­ ответствует умножению тона на периодическую функцию e—i2nnt/T' Теория требует только того, чтобы форма тона и(£) была периодической, и не указывает распределения периодич­ ности между собственным значением и собственным вектором. Если анализируемая система в некотором предельном случае стационарна, то частоты корней определяются исходя из требо­ вания о непрерывности корней при введении периодичности. Например, периодические коэффициенты, определяемые аэроди­ намическими силами при полете вперед, исчезают в предельном

имело наибольшую величину; тогда наибольшая по величине гармоника собственного вектора, соответствующая главному собственному значению, дает частоту п2п/Т. Такой критерий дает правильные результаты в стационарном случае. Частоты корней могут также быть определены но известным несвязан­ ным собственным частотам системы или из других соображе­ ний, относящихся к физической природе переходного процесса.

Действительному положительному корню 0 соответствует единственный комплексный корень X, имеющий частоту, крат­ ную основной частоте системы. Главное значение Х р лежит на действительной оси; это означает, что составляющая х(^) и главное значение собственного вектора также должны быть действительными величинами. Прибавление к X частоты ш2я/Г

соответствует умножению формы моды на e~i2ltni/T без измене­ ния произведения иеи . Действительному отрицательному корню 0 соответствует главное значение Хр с частотой, равной поло­ вине основной частоты системы, Хр = (1/7) (In 10 1-+- i n ) . Требо­ вание о том, чтобы величина иеи была действительной, соответ­ ствует требованию, чтобы функция w(^) = \i(t)eint/T была дей­ ствительной, и, поскольку и — периодическая величина, w долж­ на быть антипериодической: w (^ + Т) = —w(^). Таким образом,

Плоскость в Плоскость Л

Рис. 8.2. Пример корневого годографа периодической системы.

функция. Следовательно, если собственные значения действи­ тельной матрицы а, т. е. корни 0, могут быть либо действитель­ ными, либо парами комплексных сопряженных, то на корни X не наложено таких ограничений. Действительному 0 соответ­ ствует единственный корень X с частотой, кратной половине основной частоты системы. Указанные свойства решения объ­ ясняются периодичностью собственных векторов.

На рис. 8.2 показан пример корневого годографа периодиче­ ской системы. Он типичен для систем с ярко выраженной пе­ риодичностью коэффициентов. Пусть параметром служит, на­ пример, характеристика режима р. При р = 0 система стацио­ нарна и имеет пару комплексных сопряженных корней на плоскостях 0 и А, (точка Л). При увеличении р возрастает перио­ дичность системы и корни изменяются. Корни X остаются комп­ лексными сопряженными, пока корни 0 — комплексные. Если корни 0 становятся действительными (точка В), то один из них

один в сторону увеличения, а другой в сторону уменьшения при

устойчивости, когда годограф выходит из единичной окружности на плоскости 0 или переходит в правую полуплоскость к. В ста­ ционарной системе возможны два типа неустойчивости: пара комплексных сопряженных корней пересекает мнимую ось пло­ скости к при положительной частоте или единственный действи­ тельный корень переходит через начало координат в правую полуплоскость. Для периодической системы характерен третий тип неустойчивости, наблюдающийся при ярко выраженной пе­ риодичности. На рис. 8.2 показан этот тип неустойчивости. После того как корни 0 становятся действительными, один из них делается более, а другой — менее устойчивым. Наконец, менее устойчивый корень пересекает границу устойчивости. В случае стационарной системы такое разделение ветвей кор­ невого годографа в плоскости к возможно только на действи­ тельной оси. Для периодической системы это свойство обоб­ щается так, что неустойчивость может возникнуть на любой частоте, кратной половине основной частоты системы. Таким образом, неустойчивым становится периодическое движение, привязанное к основной частоте системы.

Фурье-преобразование координат, описанное в разд. 8.4, часто рассматривают вместе с обобщенным анализом Флоке ли­ нейных дифференциальных уравнений с периодическими коэф­ фициентами. Действительно, эти направления анализа связаны между собой общим фактором — вращением системы. Однако, поскольку любое из них может потребоваться при анализе не­ сущего винта без использования другого, они различны по су­ ществу. Например, фурье-преобразование координат необхо­ димо для представления движения лопасти несущего винта в осевом потоке при возникновении связи с невращающейся си­ стемой (движение вала или отклонение управления), но несу­ щий винт при этом остается стационарной системой. С другой стороны, при полете вперед и неподвижном вале винта прием­ лемо представление движения лопасти во вращающейся системе координат, однако в уравнениях движения появляются перио­ дические коэффициенты, и для оценки устойчивости системы требуется применение анализа Флоке.

9

Диномика несущего винта I

В этой главе выводятся дифференциальные уравнения дви­ жения лопасти несущего винта. Рассматриваются в основном инерционные и упругие силы на лопасти. Аэродинамика несу­ щего винта учитывается силами и моментами, воздействующими на сечение лопасти. В гл. И уравнения движения дополнены более детальным учетом аэродинамических сил, а решение этих уравнений в гл. 12 позволяет выяснить ряд важных для несу­ щего винта проблем. В гл. 5 рассматривалось движение абсо­ лютно жесткой шарнирно подвешенной лопасти в плоскости взмаха и в плоскости вращения, причем возможен учет пру­ жины в ГШ или относа ГШ. В настоящей главе вывод уравне­ ний движения выполняется с учетом изгибных и крутильных деформаций; он применим к анализу бесшарнирного винта. При этом определяются реакции втулки и нагрузки на лопасти, а также учитывается движение вала винта.

Уравнения движения лопасти выводятся методами классиче­ ской механики; обсуждаются также другие возможные подходы к анализу. Определяются собственные частоты и формы изгиб­ ных колебаний лопасти. В анализе почти повсеместно исполь­ зуется инженерная теория упругой балки. Предполагается, что сечение лопасти абсолютно жестко; таким образом, моделью лопасти является тонкая балка, упругая на изгиб и кручение. Это очень хорошая модель, хотя для решения некоторых задач, например для определения параметров комлевого сечения, мо­ жет потребоваться более детальное рассмотрение конструкции.

9.1. ТЕОРИЯ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

Для анализа собственных изгибных и крутильных колебаний лопасти потребуются результаты теории Штурма — Лиувилля. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида Ly + XRy = 0, где L — линейный дифференциальный оператор:

Здесь S, P, Q и R — симметричные операторы (оператор S сим­ метричен, если (piS<p2 = Фг5ф1 для всех функций <pi и <р2).