книги / Теория вертолета. Кн. 1
.pdfДинамика несущего винта I |
383 |
Выражение, |
содержащее 0, |
можно |
преобразовать к виду |
||
R |
г |
R |
|
R |
г |
^ 4k -%р\ |
^ xiQ2mdp |
dr = |
— jj x,Q2m jj y\'k(p0)' dp dr. |
||
о |
L |
г |
-I |
r |
a |
Для махового и установочного движений жесткой лопасти (г| =
= г и 0 не зависят от г) |
это уравнение сводится к полученному |
в разд. 9.4.1. |
лопасти относительно ОШ получаются |
Уравнения движения |
из условий равновесия крутящих моментов относительно оси
жесткости. В сечении лопасти р действуют |
следующие |
силы: |
1) инерционный момент /о0и сила инерции |
т(г — Х/0), |
прило |
женная в центре масс на плече X/ относительно оси жесткости; 2) пропеллерный момент / 00Q2 — XiQ.2m [ z — z(r)J, уменьшаю щий угол установки, и противоположный ему центробежный мо мент mQ2xirz'(г); 3) аэродинамический шарнирный момент Ма, увеличивающий угол установки. Пропеллерный момент создает составляющая центробежной силы xQ2dm. в плоскости вращения (см. рис. 9.5), действующая на плече z(r) —(г — *0) относи тельно оси жесткости в сечении г. Поэтому он равен
^ [z (г) — (г — Д))] xQ2 dm = /„0Q2 — x,Q2m [z — z (г)].
сечение
Центробежный момент mQ2x/rz' (г) создается изгибающим мо ментом в плоскости вращения mQ.2x\r, рассмотренным при вы воде уравнения махового движения (см. рис. 9.6). При взмахе лопасти вверх на угол z'(r) этот момент имеет составляющую относительно оси жесткости в сечении г. Полный момент круче ния (увеличивающий угол установки) в сечении г равен
R
Мг = ^ [Ма — /е0 — /e0Q2 + mx,z + x,Q2m (z — z (г) + rz' (r))] dp.
Г
Уравнение движения жесткой лопасти относительно ОШ по лучается из условия равновесия моментов относительно ОШ в комлевом сечении (г = 0). Инерционный и аэродинамический моменты относительно ОШ уравновешиваются моментом со стороны проводки управления:
Л4Г(0) = KQ[0(0) — 0упр],
где Кв— жесткость |
проводки |
управления, 0упр — угол уста |
|||
новки комлевого |
сечения, |
задаваемый |
системой управления, |
||
а 0(0) — фактический |
угол |
установки комлевого сечения. |
|||
Положим упругую деформацию кручения лопасти у комля |
|||||
равной нулю, 0е(О) = |
0; при этом угол установки у комля соот |
||||
ветствует жесткой |
лопасти, |
т. е. |
0(0) = |
ро. Дифференциальное |
|
3 8 4 Глава 9
уравнение для жесткой на кручение лопасти имеет вид
а |
|
|
|
|
|
|
« |
j [/09 + |
/ е0й2 — mx,z.— mx,zQ2] dr + |
Кв(р0 — 0упр) = |
^ Ма dr. |
||||
ь |
|
|
|
- |
|
|
О |
Для лопасти, жесткой на |
изгиб |
и |
кручение, |
оно |
сводится |
||
к результату разд. 9.4.1. |
|
|
|
|
|
||
Теория упругой балки связывает крутящий момент с дефор |
|||||||
мацией кручения |
соотношением |
М, = GJ (dQe/dr ), |
где GJ — |
||||
жесткость |
сечения |
лопасти |
на кручение. После |
подстановки |
|||
выражения для упругого момента в сечении, приравнивания ему действующих инерционного и аэродинамического моментов и дифференцирования по радиусу получаем следующее диффе ренциальное уравнение движения в частных производных для крутильных деформаций вращающейся лопасти:
- 4 г Ш Ч Г + |
- тхё + |
|
|
|
+ |
mQ2*' rfp] = |
М«- |
Граничными условиями |
являются |
dQe/dr = 0 при r = R |
(на |
конце лопасти) и ве = |
0 при г — 0 (фиксированное комлевое |
||
сечение). |
|
|
|
Рассмотрим свободные крутильные колебания невращающейся лопасти, описываемые однородным уравнением
dQe |
/ А |
= 0. |
|
dr |
|
||
|
|
|
|
Решим это уравнение методом разделения |
переменных, для |
||
чего положим 0e = | (г)еш , что дает |
|
|
|
Т г 0 1 % - + *1& = о |
|
||
с граничными условиями £ ( 0 ) = 0 |
и |
£'(/?) = |
0. Это стандарт |
ная задача Штурма — Лиувилля |
на |
нахождение собственных |
|
значений, для которой существует ряд собственных решений
1*(г) и соответствующих |
собственных значений со|. Поскольку |
|||
формы тонов |
ортогональны с весовой функцией / е, то |
|||
R |
|
если k Ф |
i. Собственные значения |
нумеруются |
^lkiiledr = |
0, |
|||
о |
возрастания |
(coi — низшая собственная |
крутильная |
|
в порядке |
||||
частота), а формы тонов нормализуются так, что отклонение на
конце лопасти равно единице, |
т. е. £(fi)— 1. В соответствии |
с теорией Штурма — Лиувилля |
(разд. 9.1) собственные час- |
386 |
Глава 9 |
Затем подставим разложение 9* в дифференциальное уравнение с частными производными для деформации кручения, заменим
член с жесткостью на кручение собственной частотой сД с уче-
R
том gft и проделаем над уравнением операцию ^ (...)£* dr. С
о
учетом свойства ортогональности упругих тонов кручения (заме тим, что жесткий тон поворота в ОШ и упругие тоны кручения не ортогональны) получим следующее дифференциальное урав нение для fe-ro тона:
h k [Рк + К + Q2) Pit] + d r) (Po + Q2Po) - \ \kmxi* dr +
R |
r |
R |
I |
R |
|
+ 5 1 к Г |
L o |
$ Q 2 f n x l |
J |
\ d r = jj |
d r ’ |
0 |
|
0 |
|
где /pfc= |
r* |
|
|
масса |
тона. Член, соответ- |
|||
^ g |/0 dr — обобщенная |
||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
ствующий изгибу, можно записать в виде |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R |
|
г |
|
|
|
|
dr==~~\ х№2т^ г'(Pis/ dpdr. |
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
~ |
|
Подстановка |
разложения |
9 = £ |
%кРк |
в |
уравнение |
установоч- |
||
|
|
|
s=o |
|
|
|
|
|
ных колебаний жесткой лопасти дает |
|
|
|
|||||
>„[А> ■+ « |
+ |
1) О Ч | + Z |
( \ 'А * |
) f t |
+ «*»,) — |
|
||
|
|
1-1 чо |
|
г |
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
R |
|
|
|
— J mXjZ dr — J mx,zQ2dr = |
$ Ma dr + |
/^©*£2*9^, |
||||
|
я |
0 |
0 |
|
|
|
oJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где /р„ = |
^ / 0 dr — момент |
инерции |
лопасти относительно оси |
|||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОШ, а со0 — собственная частота установочных колебаний жест кой лопасти вследствие упругости проводки управления, tog =
Теперь подставим разложение для z в уравнения крутиль ных и установочных колебаний лопасти, а разложение для 9 — в уравнение изгибных колебаний. После деления на /л и пере хода к безразмерным величинам получим следующие уравнения движения для изгибных колебаний в плоскости взмаха, устано
Д инам ика несущ его винта I |
389 |
ливающий момент, создаваемый проводкой управления, связан с тонами невращающейся лопасти следующим соотношением:
м ^ = ^ о (0 о - е г > +
+ Е |
[Кпс ( б пс — С р) c o s m |)mКns+ ( 0 „ s — C p) s i n m |зт ] + |
n |
L |
|
+ K N /2 (0Л-/2 — ВлГ/г) (— l)m |
вместо соотношения M g — Кв(®— бупр), как в разд. 9.4.1. В при веденных выше выражениях (о0 — жесткость проводки управления общим шагом, a coic и сои— жесткости проводки управления циклическим шагом. Высшие тоны не создают усилий в не вращающейся проводке управления и вызваны только упру гостью поводка лопасти, тяги поводка и кольца автомата пере коса. Частоты безреакционных тонов согс, a>2s, • • •. солг/2 обычно намного выше, чем для тонов общего и циклического шагов.
Способ использования различных собственных частот в не вращающейся системе координат полезен и при рассмотрении движения лопасти относительно ГШ и ВШ. Для карданного
несущего винта можно принять v = |
1 для степеней свободы PJC |
и Pis взмаха жесткой лопасти и |
соответствующие частоты |
и формы колебаний для угла конусности и других степеней сво боды. Аналогично можно использовать угол отставания £о для учета возмущений частоты вращения несущего винта, полагая собственную частоту качания равной нулю.
9.5. РЕАКЦИЯ ВТУЛКИ
Суммарные силы и моменты у комля вращающейся лопасти передаются на фюзеляж вертолета. Постоянные составляющие этих реакций втулки в невращающейся системе координат пред ставляют силы и моменты, необходимые для балансировки вер толета. Высокочастотные составляющие вызывают вибрации вертолета. Если в модели винта учтено движение вала, то эти силы и моменты определяют характеристики устойчивости и управляемости вертолета. На рис. 9.7 показаны силы и мо менты, действующие на вращающуюся лопасть, а также силы и моменты, действующие на втулку в невращающейся системе координат. Вертикальная сила S« участвует в создании тяги, а силы в плоскости вращения S* и S r — в создании продольной и поперечной сил несущего винта. Момент в плоскости взмаха NF создает продольный и поперечный моменты несущего винта, а момент в плоскости вращения NL — крутящий момент на валу винта. Условимся, что положительные реакции втулки дей ствуют на вертолет, за исключением аэродинамического крутя щего момента Q, который по определению воздействует на винт (реактивный момент, передаваемый от винта на втулку, поло-
3 9 0 |
Г лава 9 |
жителей, если он действует в направлении, противоположном вращению винта). На рис. 9.7 показаны положительные на-
z
|
-------- - л . |
/ f t |
Jf |
/ |
|
« О ■)SL
SX,NF
6
Рис. 9.7. Силы и моменты, действующие на втулку несущего винта.
в — вращающаяся система координат; 6 —иевращающаяся система координат.
правления силы тяги несущего винта Т, продольной силы Н, поперечной силы Y, продольного момента Му и поперечного момента Мх.
9.5.1. ВРАЩАЮЩИЕСЯ НАГРУЗКИ
Суммарные силы и моменты в комлевом сечении вращаю щейся лопасти можно определить путем интегрирования инер ционных и аэродинамических сил, как при выводе уравнений движения лопасти. Рассмотрим шарнирный несущий, винт без относа ГШ, как в разд. 9.2.1. В сечении лопасти действуют по
вертикали инерционная сила mz — /пг|3 и аэродинамическая сила Fz. Центробежная сила всегда параллельна плоскости вра щения (рис. 9.8). Вертикальная перерезывающая сила у комля, следовательно, равна
R |
R |
Sz = ^ |
Fzdr — Р ^ гтп dr. |
оо
Момент в плоскости взмаха у комля лопасти, создаваемый инерционной, центробежной и аэродинамической силами, был получен в разд. 9.2.1 при выводе уравнения махового движения:
R |
к |
NF— ^ rFgdr — (Р + |
Й2Р) ^ r'm dr. |
о. о
Момент у комля, если нет относа ГШ, одновременно является И моментом в шарнире; он не равен нулю только при наличии пружины в шарнире. Момент, создаваемый на втулке пружиной
Д инам ика |
несущ его винта 1 |
391 |
в шарнире, равен |
— рконстр) или, |
поскольку |
= 1 ' + V ( W |
|
|
МР = 1ЛQ2 ( v | - i ) ( p - p K0HCTP).
В разд. 5.14 было показано, что это выражение справедливо и при относе ГШ.
Рассмотрим теперь общий случай изгибных колебаний ло пасти как шарнирного, так и бесшарнирного винта. Силы, дей ствующие в сечении лопасти, были рассмотрены в разд. 9.2.2,
Аэродинамическая
сила
Центробеж ная сипа.
Рис. 9.8. Силы в сечении лопасти, вызывающие появление вертикальной силы у комля и момента относительно ГШ.
там же было выведено уравнение движения для нормальных изгибных тонов. Вертикальную перерезывающую силу у комля можно определить интегрированием аэродинамических и инер ционных сил по лопасти:
R
Sj. = (/%. — mz) dr.
о
Подстановка разложения г = £k Л*?* по нормальным формам дает
ч\ь№ dr.
Момент у комля получается суммированием моментов в плоско сти взмаха от аэродинамических, инерционных и центробежных сил в сечении лопасти (см. рис. 9.8) или просто путем расчета изгибающего момента в плоскости взмаха по формуле-