книги / Теория вертолета. Кн. 1

К моменту Мг здесь добавлен момент G/0' от упругих касатель­

ных сил. При рассмотрении изгиба удобно ввести моменты от­ носительно центра растяжения хс:

М х = — J zarrdA, М г = ^ (х — хс) orrd A .

После подстановки выражения для агг и интегрирования полу­

чаем моменты изгиба и кручения в виде

Поскольку растягивающая сила T приложена в центре растя­ жения, изгибающие моменты относительно оси жесткости можно определить из их выражений относительно этого центра:

( М 2)е а — М г -{- хсТ, ( М Х)Ё А = М Х.

Этот результат более удобно выразить с помощью вектор­ ного представления изгиба лопасти. Определим векторы изги­ бающего момента в сечении М и деформации в плоскостях взмаха и вращения и следующим образом:

Л1 = М х i + М гk, u = z0i — х0к.

Производные вектора и равны

и'= (z0i — Xokf = (z6 — XQ0O i — (х'о+ Zo0')k = ф^ + ф2к,

и"= (z0i — Хок)" = У + 0'фг) И - (ф * —0'фг) к.

Тогда моменты изгиба и кручения можно записать в виде

“Ь 0кр (ElXpk Elzpi) (ZQ! — Xok)"-

следующее дифференциальное уравнение в частных производ­ ных для изгиба:

(£/„")" _ (Ти'У + q ' - p = 0,

где EI — диада жесткости на изгиб, а и = z0i — -«ok — вектор перемещения. Теперь необходимо определить центробежную и инерционную составляющие растягивающей силы и распре­ деленные нагрузки на лопасть. В уравнение собственных коле­ баний входят только члены, связанные с деформациями изгиба.

Рис. 9.15. Составляющая центробежной силы в плоскости вращения, вызы­ вающая появление в сечении лопасти момента в плоскости вращения.

R

Растяжение обусловлено центробежной силой Т — й2 ^ pm dp.

Г

Ускорения в плоскостях взмаха и вращения создают инерцион­ ную силу р = —mu, действующую в сечении. Центробежная сила тЙ 2р имеет в плоскости вращения составляющую т Й 2р(Ъ/р) вследствие смещения v (рис. 9.15). Таким образом, полный момент в плоскости вращения в сечении на радиусе г

равен qz = — ^ тЙ 2о dp. Отсюда q' = — kJ1Q2mkJ1w = — QmQw,

Г

где Q = Йкл. Теперь дифференциальное уравнение в частных производных для вращающейся лопасти запишем в виде

№ гг\\ + £ /„k k ) (z0i - *„k)T -

Г^

—й2 ^ р т ф (z0i — *0k)'

— Я т й (z0i — x0k) + m (z0i —x0k)“ = 0. Для более детального ознакомления с выводом этого уравне­

которое представляет собой уравнение свободных совместных изгибных колебаний вращающейся лопасти в плоскостях взмаха и вращения. Для лопасти с нулевым углом установки и без крутки это векторное уравнение распадается на два уравнения для отклонений только в плоскости взмаха (т|г) и только в пло­ скости вращения (TI* ):

которые были получены в разд. 9.2.2 и 9.3.2. Имеем следующие

очень жесткой втулки) отклонение и угол поворота равны нулю, т] = т)' = 0.

Задача решения уравнений свободных колебаний при ука­ занных граничных условиях представляет собой стандартную

ствующие собственные значения v|. Тоны ортогональны с весом ■

R

т, так что ^ Л; ■Tl*m dr = 0, если \ ф к . Собственные частоты

е

Vk могут быть найдены по фортиам тонов с использованием энергетического соотношения

Эта формула дает оценки собственных частот по приближен­ ным формам тонов. Заметим, что для учета относа ГШ е можно заменить переменную г таким образом, чтобы она равнялась нулю в ГШ, а не в центре втулки. Тогда центробежная растя-

14 Зак. 587

размерная (отнесенная к частоте вращения) собственная час­ тота лопасти при высоких оборотах винта, обусловленная цент­ робежными силами. В действительности, поскольку формы то­ нов сами зависят от частоты вращения, коэффициенты Саутвелла, строго говоря, не являются постоянными. Тем не менее формула Саутвелла отражает относительное влияние упругих и центробежных сил.

Рассмотрим предельный случай нулевой собственной жест­ кости, которому соответствует минимально возможное значение собственной частоты лопасти, обусловленное только жесткостью от центробежных сил. При £У = 0 уравнение собственных ко­ лебаний приобретает вид

и разделяется на два уравнения изгиба в плоскости взмаха и в плоскости вращения:

Видно, что без собственной жесткости взаимосвязь движений изгиба исчезает. Движения в плоскостях взмаха и вращения приобретают одинаковую форму, а собственные частоты опре­ деляются зависимостью ^. ш = 1 -f v ^ . Это особый случай, по­

скольку отбрасывание собственной жесткости понижает поря­ док уравнений. Для малого Е1 граничные условия удовлетво­

При равномерном распределении масс уравнение для т) сво­ дится к уравнению Лежандра

[(1 — г 2) v \ '] ' + 2 V2T) = 0 .

Решения, удовлетворяющие граничным условиям и являющиеся конечными на конце лопасти, суть полиномы Лежандра нечет­ ных порядков, т. е. ,п*(г) = P2k-\(r), с собственными значениями v | = £(2 &— 1). Эти полиномы можно получить из выражения

14*

9.9. К ВЫВОДУ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

При выведении уравнений движения лопасти несущего винта в этой главе использовались интегральные уравнения Ньютона; на их основе получены дифференциальные уравнения в частных производных для изгиба или кручения лопасти, которые далее разлагались по собственным формам и частотам с целью полу­ чения обыкновенных дифференциальных уравнений в нормаль­ ных координатах. Выбор такого подхода обусловлен большей его наглядностью, поскольку он требует непосредственного учета сил и ускорений на ло­

уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа доста­ точно прост (хотя довольно трудоемок). Он часто используется при анализе наиболее сложных моделей винта, встречающихся в литературе.

Для иллюстрации различных методов вывода уравнений рассмотрим консольно закрепленную балку (рис. 9.17),. нагру­ женную распределенной нагрузкой р{г), а также силой FK и моментом Мк на конце. Продольная координата обозначена г, деформация изгиба — г. Принято, что балка не вращается, по­ скольку здесь рассматриваются методы анализа, а не поведение лопасти. Поставим задачу получения системы обыкновенных

9.9.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПОДХОД ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ УРАВНЕНИЙ НЬЮТОНА

Уравнения движения по этому методу получаются из усло­ вий равновесия сил, действующих на тело. Момент в сечении г