книги / Теория вертолета. Кн. 1

где у = 0,5772156 — постоянная Эйлера.

Если лопасть несущего винта совершает п колебаний за оборот, то частота ее колебаний со равна nQ, где Q — угловая

скорость вращения винта. Поскольку при этом скорость набе­ гающего на сечение потока равна Qг, а полухорда — с/2, для приведенной частоты получаем выражение k= пс/2г. В случае винтов с лопастями большого удлинения приближенно можно принять £ ~ 0 ,0 5 п. Для низких гармоник, когда приведенная частота мала, функция уменьшения подъемной силы близка к 1. Так, для первой гармоники вихревой след уменьшает подъем­ ную силу примерно на 5%. Поэтому пренебрежение влиянием следа и другими нестационарными эффектами при выполненном в предыдущих главах анализе аэродинамических коэффициен­ тов несущего винта и махового движения вполне оправдано. Однако для высших гармоник приведенная частота довольно велика, и влияние следа поперечных вихрей необходимо при­ нимать во внимание при точном расчете нагрузок.

Чикала разработал еще одну форму представления резуль­ татов решения задачи о нестационарном обтекании профиля, которая связана с разложением Ар в ряд Глауэрта. Разность давлений на профиле определяется в виде

— Ap = pt/Vffl,£ anfn(Q), n=0

где х= b cos 0. При этом скорость протекания, обусловленная

движением профиля, должна быть представлена рядом Фурье по косинусам:

При заданных коэффициентах этого ряда коэффициенты ряда для Ар, определяющего решение задачи, находятся по следую­

щим формулам:

aQ— 2(А0-f- A\)C(k) —2А\,

« * = - - ^ И „ + 1 - Л |1_ 1) + 4 Л „ .

Тогда подъемная сила и момент равны

L = рU2bn (а0+ jai)eit0<,

MQ = - p U 2b2J(e,+ Os)в™.

a MQ = 0. Поскольку порыв любой формы может быть пред­ ставлен суперпозицией гармонических порывов, возникающая при вхождении в порыв аэродинамическая сила профиля всегда приложена в точке на четверти хорды. При k= 0 функция Сирса S(k) равна 1. При высоких частотах справедливо при-

ближенное представление так что при увеличении k модуль функции S(k) в отличие от функции Теодорсена стремится к нулю, а аргумент линейно возрастает.

10.3.ПЕЛЕНА БЛИЖНЕГО ВИХРЕВОГО СЛЕДА

Из теории профиля следует, что пелена поперечных вихрей является важным фактором при определении нестационарных нагрузок, связанных с колебательным движением лопасти. В от­ личие от рассмотренной плоской пелены вихревой след лопасти винта представляет собой идущую 3d ней спиральную поверх­ ность. Однако наиболее существенное влияние оказывает часть этой поверхности, расположенная вблизи задней кромки ло­ пасти. Одним из возникающих в этой связи вопросов является следующий: каким способом элемент вихревой поверхности, со­ шедший при повороте лопасти на угол 15—45°, следует учиты­ вать в численных методах расчета индуктивных скоростей и на­ грузок? Для ответа на этот вопрос и рассматривалась в преды­ дущем разделе плоская вихревая пелена.

При расчете нагрузок индуктивные скорости в месте распо­ ложения лопасти обычно определяются по теории несущей ли­ нии, т. е. в одной точке по хорде профиля.. При этом из-за сложности формы вихревой пелены для определения индуктив­ ных скоростей требуется весьма большой объем вычислений. При использовании же нестационарной теории обтекания про­ филя требуется знать распределение индуктивных скоростей по

вразложении индуктивной скорости в ряд по косинусам. При этом для уменьшения объема вычислений желательно обойтись без расчета индуктивной скорости в нескольких точках по хорде. Ниже строится такая модель ближнего вихревого следа,

врамках которой для приемлемого расчета нестационарных нагрузок достаточно вычислить индуктивную скорость по тео­ рии несущей линии лишь в одной точке по хорде.

Аппроксимация ближнего вихревого следа по теории несу­ щей линии выполнена в 1964 г. Миллером [М.126, М.127]. По­ скольку приближение несущей линии в теории крыла большого удлинения соответствует малым приведенным частотам, полу­ чаемые результаты, по-видимому, эквивалентны низкочастотной аппроксимации. Решение заключалось в построении такого

Отсюда индуктивная скорость равна

(в предположении, что при данной аппроксимации eI(3/2)* « 1)) Интеграл с косинусом в этом выражении расходится. Отбра­ сывая его, т. е. оставляя в выражении для Я только действи­ тельную часть, получим

муле.

Таким образом, схема несущей линии давала бы удовлет­ ворительные результаты, если бы этому не мешало то обстоя­ тельство, что определяющий индуктивную скорость интеграл по пелене вихрей расходится. Расходимость интеграла связана с тем, что индуктивная скорость имеет особенность на краю пелены, доходящем до линии четвертей хорд профилей лопа­ сти. Чтобы избежать появления такой особенности, примем, что пелена не доходит до линии четвертей хорд (для точек которой вычисляется скорость) на расстояние гЬ. Это дает

следующее выражение:

г-1а>(Ъ-Ъ)/и

АТА 1

Этой модели соответствует аппроксимация функции Теодора сена по формуле

с М ™ т Ь г

Требование о том, чтобы это приближенное выражение точно совпадало с функцией Теодорсена, позволяет найти параметр е.

кривые (особенно ту, которая соответствует косинусному интег­ ралу). Таким образом, из полученных Миллером результатов можно заключить, что начало вихревой пелены, соответствую­ щей модели несущей линии, должно располагаться на линии, находящейся ниже по потоку от линии вычисления скоростей на четверть хорды (e b « Ь/2 « с /4).

Влияние дискретности аппроксимации пелены поперечных вихрей исследовано в работе [Р.65]. Винтовую вихревую пе­ лену лопасти можно представить решеткой из прямолинейных отрезков вихрей конечной интенсивности. В теории профиля

свободных вихрей (рис. 10.7), причем расстояние между вих­

течение оборота винта. Дискретная система свободных вихрей следа физически соответствовала ступенчатому изменению циркуляции присоединенных вихрей. Расстояние D от первого свободного вихря следа до задней кромки варьировалось. Выли определены отношения нестационарной подъемной силы и момента к их квазистационарным Составляющим для данной модели и сопоставлены с аналогичными отношениями, опреде­

Рис. 10.7. Дискретная вихревая модель следа в теории тонкого профиля.

вертикали и по углу атаки с различными частотами. Выясни­ лось, что при D= d нельзя достичь хороших результатов даже при большом числе точек на период колебаний. Однако если приблизить все вихри к задней кромке, приняв D — d/З, то в представляющем интерес диапазоне частот получаются впол­ не удовлетворительные результаты. В связи с этим было сде­ лано заключение, что при моделировании пелены вихрей несущего винта сеткой прямолинейных вихревых отрезков сле­ дует сместить поперечные свободные вихри к лопасти пример­ но на 70% расстояния между ними с тем, чтобы первый такой вихрь оказался ближе к задней кромке лопасти. Интенсив­ ность присоединенных вихрей обычно определяется через ин­ тервалы времени, соответствующие прохождению профилем пути d. Вихри модельной пелены помещаются в точках, распо­

ложенных посередине между точками определения циркуля­ ции. При этом расстояние между присоединенным и ближай­ шим свободным вихрями составляет d/2, что дает D= d/2—

—3 Ь.

Вработе [D.14] показано, что расчет подъемной силы и

момента при высоких частотах может быть уточнен, если вих­ ревой след, соответствующий нескольким первым дискретным элементам сетки, представить в виде непрерывного слоя вих­ рей (рис. 10.8). Были подсчитаны нагрузки для такой модели и проведено их сравнение с теоретическими нагрузками, опре­ деляемыми функцией Теодорсена. Этот расчет не соответствовал

схеме несущей линии, поскольку учитывалось распределение индуктивных скоростей по хорде. Однако след был пред­ ставлен приближенной моделью. Первые два дискретных вих­ ря заменялись непрерывным слоем вихрей (рис. 10.8). Распре­ деление завихренности yw пелены было задано в виде поли­ нома, полученного по распределению нагрузки. Найдено, что подъемная сила и момент приближаются к определяемым функцией Теодорсена, если использовать от 5 до 8 точек на период колебаний. Повышение точности по сравнению с ме­ тодом дискретных вихрей в чистом виде (даже с упомянутым

Рис. 10.8. Модель вихревого следа, состоящего из непрерывных и дискретных вихревых элементов.

выше смещением вихрей к задней кромке) весьма значитель­ но, так что та же точность достигается с существенно мень­ шим числом точек.

Итак, расчет нагрузок на лопасти несущего винта по тео­ рии несущей линии связан с определением -индуктивных ско­ ростей в сечениях от продольных и поперечных вихрей следа. Для определения скорости притекания потока к сечению ло­ пасть заменяется присоединенным вихрем, расположенным вдоль линии четвертей хорд, а продольные свободные вихри, образующиеся вследствие изменения подъемной силы по раз­ маху, продлеваются до присоединенного вихря. Индуктивная скорость подсчитывается в месте расположения присоединен­ ного вихря. Простейшим и экономным в вычислительном от­ ношении представлением сложной системы свободных вихрей лопасти является сетка из вихревых элементов конечной дли­ ны. Свернувшиеся концевые вихревые жгуты лопастей хорошо описываются сосредоточенным вихрем. На основе проведенного выше исследования обтекания профиля можно заключить, что модель несущей линии применима и при наличии в следе по­ перечных вихрей. При адекватном представлении расположен­ ного близ лопасти участка пелены вихрей нестационарные аэродинамические эффекты могут быть рассчитаны достаточно верно, несмотря на то, что индуктивная скорость определяется лишь в одной точке по хорде (на присоединенном вихре). Для повышения точности результатов расчета пелену поперечных вихрей следует обрывать, не доходя до присоединенного вихря, на четверть хорды. Непрерывное распределение вихрей еле-

450 Глава 10

венное изменение в этих формулах состоит в появлении члена Оа в выражениях для бесциркуляционных составляющих подъемной силы и момента. Квазистационарная подъемная сила и циркуляционная составляющая подъемной силы попрежнему описываются формулами

0 0 ______

LQ= - PUjj b

oo

\ Y|2 _ fri b b

Для того чтобы выразить LQ и La, через функцию уменьшения подъемной силы, нужно знать зависимость у® от g. Условие отсутствия перепада давлений на пелене дает

- Д р - р ( | - + и | ) Д ф - 0,

что может быть переписано в виде

В случае постоянной скорости набегающего потока вихри педены переносятся с постоянной скоростью, и, как и ранее, yw