книги / Теория вертолета. Кн. 1

складывается из концевого момента Мк, момента от концевой силы FK на плече {R— г) и момента от распределенной на­ грузки (р — mz), определяемого интегралом по внешней отно­ сительно г части лопасти:

балки и дважды дифференцируя, получаем искомое дифферен­ циальное уравнение в частных производных для изгиба:

{EIz")" + mz = p.

Для полной постановки задачи нужны еще граничные усло­ вия. Оценка величин М(г) и М'(г) на конце дает условия EIz" = Мк и {EIz")' = —FK при г = R. При г = 0 для кон­ сольной балки г = г' = 0.

9.9.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОДХОД ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ УРАВНЕНИЙ НЬЮТОНА

Уравнение движения также может быть получено из условий равновесия сил и моментов, действующих на элемент балки, лежащий между сечениями г и r + dr. Пусть S и М — перере­ зывающая сила и момент в сечении г, а 5 + dS = S + S'dr н М + dM = М + M'dr — реакции в сечении г + dr. Условие равновесия сил на элементе балки записывается в виде

р dr + (S + S'dr) — S = mz dr,

или p + S' = mz.

Для равновесия моментов имеем

(M + M'dr) - M + 5 dr = 0,

или М' + S = 0.

Исключение силы 5 дает уравнение в частных производных

М" + mz = p,

которое при М == EIz" приобретает вид

{EIz")" + mz = p.

9.9.3.МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ТОНАМ КОЛЕБАНИЙ

Внастоящей главе для получения обыкновенных дифферен­ циальных уравнений движения использовалось разложение де­ формации изгиба в ряд собственных форм и частот. Рассмотрим консольную балку без силы и момента на конце. Дифференци­

альное уравнение ее свободных колебаний записывается в виде

Лиувилля, приводящая к ряду собственных форм т1* и соб­

о

также собственные значения:

R R

v2 = ^ £7г)"2й?г/^ гfm dr.

оо

Наконец, теория Штурма — Лиувилля показывает, что ряд по формам т)*, в который разлагается решение, сходится.

Деформацию изгиба также можно представить в виде ряда по формам свободных колебаний:

г (г, 0 = Z TIk(r)qk (t),

6—1

где qk — степень свободы k-то тона. Подстановка этого разло­ жения в дифференциальное уравнение в частных производных дает

L [(ШцкТйк + ПГЦкЧк] р-

6—1

Используя уравнение, которому удовлетворяет г)*, заменяем член, учитывающий упругость, его выражением через собствен*

ную частоту:

оо

S [mr\k(h + -vtqk)] = p.

6=1

о

форм, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение изгибных колебаний по k-му тону:

Далее, дважды интегрируя по частям и учитывая граничные условия, можно записать

мальным формам дает аналогичный результат. В методе Галеркина матрицы масс и жесткостей не являются диагональ­ ными, поскольку не обязательно использование тонов свобод­ ных колебаний, но зато можно учесть силу и момент на конце лопасти. Метод Галеркина эквивалентен методу Рэлея — Ритца, рассматриваемому ниже, при надлежащем выборе весовой функции в интеграле невязки (тр в данном случае). Метод Рэ­ лея — Ритца имеет более строгую физическую и математиче­ скую основу, зато метод Галеркина допускает использование уравнений Ньютона для получения уравнений движения. '

Отметим, что если в методе Галеркина используются формы свободных колебаний, то матрицы масс и жесткостей диагональны, и уравнения движения приобретают вид

Этот же результат был получен методом разложения по нор­ мальным формам, но без учета нагрузок на конце лопасти. Та­ ким образом, уравнения движения несущего винта могут быть получены методом разложения по нормальным формам, а за­ тем могут быть учтены сосредоточенные нагрузки на лопасти

методом Галеркина. Такой подход полезен, например, при ис-. следовании влияния демпфера ВШ или силы и момента от си­ стемы управления в ОШ.

9.9.5.МЕТОД ЛАГРАНЖА

Вметоде Лагранжа уравнения движения получают из энер­ гетических соображений, а не из условия равновесия сил. Со­

гласно принципу Гамильтона, движение динамической системы определяется условием

$ (6Т — 6U + № ) dt = О, t,

а виртуальная работа распределенных сил и нагрузок на конце дается выражением

+ ((EIz")' + FK) 6Z (R)jd / = 0.

(Члены, соответствующие кинетической энергии, необходимо интегрировать по частям во времени, а соответствующие потен­ циальной энергии — дважды по частям по радиусу.) Поскольку вариация бг произвольна, можно записать

{EIz")" + mz = p, {EIz") М = Мк, {EIz")' |r=* = - F K.

9.9.7.МЕТОДЫ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ

Вметодах сосредоточенных параметров или конечных эле­ ментов реальная физическая система с распределенными пара­ метрами заменяется ее моделью в виде совокупности дискрет­ ных элементов. Например, рассмотренная здесь консольная балка представляется в виде конечного числа сосредоточенных масс, расположенных в ряде точек и соединенных между собой невесомыми упругими элементами с одинаковыми свойствами. При этом уравнения движения обычно получают методом Ла­ гранжа. Важнейшим преимуществом методов конечных эле­ ментов является их гибкость, позволяющая применять их при анализе сложных конструкций. Таким образом, при исследова­ нии новой системы проблема заключается в выборе для нее наиболее подходящей модели с сосредоточенными параметрами, а не в разработке совершенно нового метода анализа.

Аэродинамика несущего винта I

В настоящей главе на основе сочетания теории несущей ли­ нии и теории профиля рассматриваются вопросы нестационар­ ной аэродинамики несущего винта. Вращение лопасти вносит в это исследование ряд моментов, требующих особого рассмот­ рения, таких, как повторное влияние вихревой пелены, измене­ ние скорости набегающего на лопасть потока во времени, ра­ диальное течение и, конечно, весьма сложная картина течения, допускающая лишь приближенные или численные решения.

10.1. ТЕОРИЯ НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ

Когда крыло конечного размаха создает подъемную силу, на нем возникает система присоединенных вихрей, условие со­ храняемости которых определяет появление продольных и попе­ речных свободных вихрей. Продольные вихри параллельны скорости набегающего потока, а их интенсивность определяется изменением циркуляции присоединенных вихрей по размаху крыла. Поперечные свободные вихри параллельны размаху крыла и возникают вследствие изменения циркуляции присо­ единенных вихрей во времени. После схождения с крыла эле­ менты свободных вихрей перемещаются со скоростью набегаю­ щего потока, образуя отходящую от задней кромки крыла пе­ лену вихрей.

В классической теории несущей линии рассматривается плос­ кое неподвижное крыло большого удлинения в установившемся потоке. Применяется линеаризация, состоящая в том, что крыло и пелена описываются плоскими слоями вихрей. Допущение большого удлинения позволяет разделить задачу на две. Пер­ вая (внутренняя) задача касается аэродинамики сечения крыла. Обтекание принимается локально двумерным, а влияние осталь­ ных частей крыла и пелены описывается постоянной по сече­ нию ■индуктивной скоростью, вызывающей изменение его угла атаки. Для определения аэродинамических нагрузок сечения (подъемной силы, сопротивления и момента) используются либо теория профиля, либо экспериментальные данные. Вторая (внешняя) задача состоит в определении индуктивных скоро­ стей. Крыло изображается присоединенным вихрем, с которого

Аэродинамика несущего винта I

В настоящей главе на основе сочетания теории несущей ли­ нии и теории профиля рассматриваются вопросы нестационар­ ной аэродинамики несущего винта. Вращение лопасти вносит в это исследование ряд моментов, требующих особого рассмот­ рения, таких, как повторное влияние вихревой пелены, измене­ ние скорости набегающего на лопасть потока во времени, ра­ диальное течение и, конечно, весьма сложная картина течения, допускающая лишь приближенные или численные решения.

10.1. ТЕОРИЯ НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ

Когда крыло конечного размаха создает подъемную силу, на нем возникает система присоединенных вихрей, условие со­ храняемости которых определяет появление продольных и попе­ речных свободных вихрей. Продольные вихри параллельны скорости набегающего потока, а их интенсивность определяется изменением циркуляции присоединенных вихрей по размаху крыла. Поперечные свободные вихри параллельны размаху крыла и возникают вследствие изменения циркуляции присо­ единенных вихрей во времени. После схождения с крыла эле­ менты свободных вихрей перемещаются со скоростью набегаю­ щего потока, образуя отходящую от задней кромки крыла пе­ лену вихрей.

В классической теории несущей линии рассматривается плос­ кое неподвижное крыло большого удлинения в установившемся потоке. Применяется линеаризация, состоящая в том, что крыло и пелена описываются плоскими слоями вихрей. Допущение большого удлинения позволяет разделить задачу на две. Пер­ вая (внутренняя) задача касается аэродинамики сечения крыла. Обтекание принимается локально двумерным, а влияние осталь­ ных частей крыла и пелены описывается постоянной по сече­ нию ■индуктивной скоростью, вызывающей изменение его угла атаки. Для определения аэродинамических нагрузок сечения (подъемной силы, сопротивления и момента) используются либо теория профиля, либо экспериментальные данные. Вторая (внешняя) задача состоит в определении индуктивных скоро­ стей. Крыло изображается присоединенным вихрем, с которого

430 Глава i0

сходят, продольные свободные вихри, образующие тянущуюся за крылом пелену. Индуктивные скорости вычисляются в точ­ ках присоединенного вихря. Внутренняя задача состоит в уста­ новлении связи между нагрузкой в сечении крыла и индуктив­ ной скоростью, а внешняя — в определении зависимости индук­ тивной скорости от распределения нагрузки по размаху крыла, поскольку оно определяет интенсивность свободных вих­ рей. В результате совместного решения этих двух задач тео­ рии несущей линии определяется нагрузка на крыле.

Для крыла конечного размаха характерно сопротивление, связанное с образованием подъемной силы; оно называется индуктивным и возникает вследствие затрат энергии на образо­ вание вихревой пелены, отходящей от крыла вниз по потоку. Для крыльев большого удлинения индуктивное сопротивление зависит от распределения индуктивных скоростей, причем тео­ рия несущей линии позволяет при заданных распределениях углов атаки и хорд сечений находить как нагрузки, так и индук­ тивные скорости.

Теория элемента лопасти представляет собой распростране­ ние теории несущей линии на вращающееся крыло. В линеари­ зованной вихревой модели пелена вихрей состоит из спираль­ ных продольных вихрей, тянущихся за каждой лопастью. В слу­ чае невращающегося крыла деформациями вихревой пелены и сворачиванием концевых вихрей обычно можно пренебречь, поскольку элементы вихрей уносятся вниз по потоку и уда­ ляются от крыла. Вращающаяся же лопасть, напротив, по­ стоянно приближается к элементам пелены вихрей, сходящих с лопасти винта, идущей впереди рассматриваемой. Поэтому модель пелены вихрей, используемая для расчета индуктивных скоростей на лопасти, должна быть более детальной и точной, чем в случае крыла. Сходящие с концов лопастей участки вих­ ревой пелены быстро сворачиваются в концевые вихревые жгуты, которые лучше описываются вихревой нитью, чем пеле­ ной вихрей. Для многих режимов полета требуется учитывать деформации концевых вихревых жгутов, вызываемые создан­ ными этими жгутами индуктивными скоростями, так как без этого не удается произвести достаточно точный расчет нагрузок. В излагаемых далее простых способах расчета индуктивной скорости используется схема активного диска. Это позволяет определять среднюю индуктивную скорость по закону сохране* ния количества движения.

Вследствие того что сходящие с лопасти вихри имеют форму винтовых линий, аналитическое решение задачи, как в случае крыла, оказывается невозможным. Исключение составляет лишь частный случай непрерывно распределенных вихрей в схеме активного диска. При численном решении пелену обычно за­