книги / Теория вертолета. Кн. 1

3 3 2 Глава в

Суммируя уравнения по N лопастям, получаем N дифферен­ циальных уравнений движения в невращающейся системе ко­ ординат. Заметим, что те же операции использовались при преобразовании параметров движения. Преобразование уравне­ ний, однако, этим не заканчивается. Следующим шагом является применение такой же процедуры, как и в способе подста­ новки, упомянутом ранее. Периодические коэффициенты урав­ нений движения во вращающейся системе координат записы­ ваются в виде рядов Фурье, а для параметров движения и их производных по времени применяется фурье-преобразование координат. Затем произведения гармоник сводятся к их суммам с использованием тригонометрических соотношений. Далее при­ равниваются коэффициенты при 1, соэфш, эшфт, ... , cos/гфш, sin /гфш, (—l) m в правых и левых частях уравнений для полу­ чения требуемых дифференциальных уравнений. При этом воз­ никает некоторое затруднение, поскольку в отличие от преды­ дущего случая с рядом Фурье здесь нужно получить только N

щуюся в уравнениях для трехлопастного несущего винта. Из соотношений

и sin фш составляющие с частотой 3Q. Предпочтительнее приме­ нить операцию суммирования, описанную выше, вместо под­ бора коэффициентов при одинаковых гармониках. Далее, по­ скольку суммирование по всем лопастям влияет только на гар моники, для завершения составления уравнений необходимо определить лишь члены вида

N N N N

С учетом результатов разд. 8.2 первые две суммы дают гармо­ ники с частотой Л/Q, если I кратно N, а суммы, содержащие (—1)т , дают гармоники с частотой (1/2)М2, если / — нечетное число, кратное N/2.

Используем далее операционный способ, требующий меньше выкладок с гармониками. Вновь периодические коэффициенты уравнений во вращающейся системе координат записываются в виде рядов Фурье, и к уравнениям применяются операторы суммирования. Произведения гармоник сводятся к их суммам,

как обычно. Поскольку все еще присутствуют параметры дви­ жения во вращающейся системе координат, необходимо вычис­ лить члены вида

параметрами движения р*с и P/s в невращающейся системе ко­ ординат. Пусть в общем случае 1 = п-\- pN, где р — целое чис­ ло, а п — номер гармоники, такой, что t i < . N / 2. Тогда, исполь­ зуя определения параметров движения в невращающейся си­ стеме координат (при изменении п в надлежащих пределах), получим в комплексной форме:

= е~ipm ~ Y Р(т)е“ '*•» = e~ipN\ ,

т =1

поскольку’ e~ipNm ^ = е - 2п1рт= 1. Если Л/ — четное число, то необходимо рассмотреть случай l — n-\- pN при п = N/2, для которого

т = 1

Действительная форма при / = п + рЛ/, где п < JV/2, имеет вид

N

334 Глава 8

Аналогично для сумм, включающих (—1)т при 1=п-\-{р — где п < N /2, имеем

N

Дальнейшее составление дифференциальных уравнений в невращающейся системе координат не вызывает затруднений.

В описанном способе преобразования уравнений сделаны два допущения: во-первых, количество степеней свободы невелико, что не приводит к чрезмерному усложнению аналитических вы­ ражений, во-вторых, для периодических коэффициентов из­ вестны аналитические выражения, например, в- виде ряда Фурье. При детальном анализе динамики ни одно из этих допущений неверно, и необходим способ, более удобный для численного интегрирования. Пусть параметры движения записаны в форме

P(m' = Ро + Z (Pnc cos пфт + p„s sin лфJ + Рлг/2 (— 1Г

И

и над ними проделаны операции суммирования. Затем выпол­ няется суммирование по всем N лопастям, при котором перио­

sinfopm или (—1)т , входящих в операторы суммирования. Та­ кой способ получения уравнений в невращающейся системе ко­ ординат проще и легко реализуется в виде программы. Цен­ ность аналитического подхода заключается в сильном упроще­ нии уравнений движения в невращающейся системе координат, так как многие члены в процессе суммирования обращаются в нуль.

Переход к невращающейся системе координат, если диффе­ ренциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, эле­ ментарно прост. Операции суммирования выполняются только над параметрами движения, а не над коэффициентами уравне­

ния, и переход к параметрам движения и их производным вы­ полняется непосредственно. Рассмотрим в качестве примера уравнение движения динамической системы, состоящей из мас­ сы, пружины и демпфера:

+_j_vy"> = £0<».>

(уравнение махового движения лопасти на режиме висения). Уравнения в невращающейся системе координат имеют вид

Ро + 8 Рэ "Ь v'2Po — 7

P v /2 + РлГ/2 + V2P M /2 = -g- 0 MI .

Эти уравнения иллюстрируют, как изменяются члены, представ­ ляющие инерцию, демпфирование и упругость. При преобразо­ вании в уравнения для и prtS входят члены, учитывающие кориолисово и центростремительное ускорения. Следует отме­ тить, что из-за кориолисова ускорения оказываются взаимосвя­ занными только уравнения для и p„s. На количество степе­ ней свободы и уравнений влияет также число лопастей.

Уравнения движения и способ их получения сильно услож­ няются при наличии периодических коэффициентов. Рассмот­ рим дифференциальное уравнение махового движения лопасти в горизонтальном полете:

(см. разд. 5.5). Члены, учитывающие инерцию и упругость за

счет центростремительных сил (Р<т) + v2p(m>). преобразуются как было указано выше для режима висения. Преобразование членов, учитывающих аэродинамические силы, к невращаю­ щейся системе координат дано в разд. 11.4 для случаев двух, трех и четырех лопастей. По мере увеличения числа лопастей из низших гармоник движения в этих случаях исчезают перио­ дические коэффициенты. В полной системе уравнений, однако, периодические коэффициенты всегда присутствуют независимо от числа лопастей. Нужно отметить также, что высшие гармоники

дят в средние значения коэффициентов в невращающейся си­ стеме (см. разд. 11.4). Только гармоники с лопастной частотой (NQ), а точнее — с кратными NQ частотами присутствуют в уравнениях для Л/-лопастного винта. Это следует из выраже­ ний для сумм

приведенных выше. Периоду 2я во вращающейся системе коор­ динат соответствует при одинаковых лопастях период Т = 2n/N

связывающих параметр Рдг/2 с другими степенями свободы. Та­ ким образом, для несущего винта с четным числом лопастей, когда добавляется параметр Рдг/2, период равен Т = 4л /N. Пе­ риод увеличился вдвое, поскольку лопасти уже не одинаковы; параметр |}/у/2 выделяет лопасти, следующие через одну (ампли­ туда гармоники умножается на (—1)ш). Период 4n/N полу­ чается из математического описания движения несущего винта; с физической точки зрения решение должно иметь период 2n/N.

Уравнения движения несущего винта при полете вперед как во вращающейся, так и в невращающейся системе координат всегда имеют периодические коэффициенты. Решения таких уравнений имеют специфические особенности, и их получение связано с большими трудностями, чем в случае постоянных коэффициентов (разд. 8.6). Если периодичность слабая, то мо­ жет найтись некоторая система с постоянными коэффициен­ тами, близкая по поведению к исходной. Примером этого могут служить периодические коэффициенты, возникающие вследствие аэродинамических причин при полете вперед. Амплитуды выс­ ших гармоник при этом имеют величину порядка р и менее. Не­ обходимо найти наилучшие пути построения такой аппроксима­ ции с постоянными коэффициентами и определить область ее правомерности. Система с постоянными коэффициентами может быть построена путем замены исходных периодических коэффи­ циентов их средними значениями. Лучше, если такая замена будет выполнена в невращающейся системе координат, по­ скольку высшие гармоники во вращающейся системе переходят в постоянные коэффициенты в невращающейся. Использование невращающейся системы координат, однако, требует решения большего количества уравнений. Аппроксимация с постоянными коэффициентами — мощный инструмент исследования дина­ мики несущего винта, она будет обсуждена в последующих главах.

338 Глава 8

кориолисовым ускорениями, которые связывают уравнения для Р„с и prtS. Характеристическое уравнение

и сопряженные с ними. Следовательно, собственные значения для рпс и p„s в невращающейся системе координат являются корнями во вращающейся системе, сдвинутыми вдоль мнимой

ному движению рпс и p „ s , представляющему собой затухающие

ние рпс опережает движение p„s на фазовый угол 90° [т. е. на одну четверть периода колебаний, равного 2я/(1т(з/?)+ /г)].

|Im (sR) — п |. Если Im (sR)>>n, то равенство'Рпс = —г'Рns озна­ чает, что движение рпс отстает от движения p„s на 90°. Если же

ственная частота Im (sR) обычно несколько ниже частоты обо­ ротов для шарнирных и несколько выше ее для бесшарнирных винтов. Тогда в высокочастотном (s = sR + *’) движении р,с опережает pis; это означает, что нормаль к плоскости концов лопастей описывает конус, вращаясь в том же направлении, что

также в направлении вращения винта, если собственная частота

для бесшарнирного винта с лопастями малой жесткости ниже Й. При высокочастотном собственном движении лопасти в

плоскости вращения центр масс несущего винта вращается во­ круг оси винта с частотой, превышающей частоту оборотов, в направлении вращения винта; при низкочастотном собственном движении центр масс вращается в том же направлении, но с низкой частотой. Для бесшарнирного винта с лопастями боль­ шой жесткости низшая собственная частота движения лопасти в плоскости вращения выше частоты оборотов, и центр масс винта вращается в направлении, противоположном вращению винта.

На рис. 8.1 показано преобразование собственных значений системы уравнений движения несущего винта при переходе от

Im(s)

Рис. 8.1. Преобразование собственных значений системы уравнений движения несущего винта из вращающейся в невращающуюся систему координат

(Л' = 3).

а— вращающаяся система координат; б—невращающаяся система координат.

вращающейся системы координат к невращающейся. Пример относится к трехлопастному винту с собственной частотой дви­ жения лопастей несколько ниже частоты оборотов. Во вращаю­ щейся системе координат имеются соответствующие трем ло­ пастям три одинаковых комплексных корня S R и три сопряжен­ ных им; в общем случае для ^-лопастного винта будет N пар комплексных корней. В невращающейся системе координат также имеется N пар корней: sR и сопряженный ему для дви­ жений Ро и Рлг/2, и S R ± in и сопряженные им для связанных движений р„с и p„s. Таким образом, преобразование координат оставляет неизменными “действительные части корней и сме­ щает мнимые части на ±п. На рис. 8.1 показаны собственные значения тонов общего шага (высокочастотного и низкочастот­ ного) для трехлопастного несущего винта. Если отдельные ло­ пасти несущего винта не независимы, а связаны между собой через систему управления или движение вала, то при переходе

к невращающейся системе координат корни не обязательно бу­ дут иметь одинаковые действительные части, а мнимые не обя­ зательно будут точно отстоять на п друг от друга. Основной характер изменения корней, иллюстрируемый рис. 8.1, тем не менее сохранится.

8.6. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аэроупругое поведение несущего винта или вертолета во многих случа.ях описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Периодич­ ность коэффициентов обусловлена воздействием аэродинамиче­ ских сил при полете вперед, а также асимметрией, органически присущей несущему винту. Следовательно, необходимо иметь возможность оценить динамические характеристики периодиче­ ских систем, в частности их собственные значения, определяю­ щие устойчивость.

Рассмотрим физическую систему, описываемую обыкновен­ ными линейными дифференциальными уравнениями второго по­ рядка:

Л2х, + А,х 1 + А х, = B0v.

Здесь X] — вектор степеней свободы, v — вектор входных пере­ менных, А2, А , А и Во— матрицы коэффициентов уравнений движения. Для стационарной системы элементы матриц по­ стоянны. Нас будет интересовать более общий случай перемен­ ных (особенно периодических) коэффициентов. Приведем си­ стему к стандартной форме системы уравнений первого поряд­

ка. Пусть хг = Х|, тогда

х2 = х, = — A_'(A xi + А0х, — B0v),

и уравнения движения можно записать в виде

V ,

или, в стандартной форме,

х = Ах + Bv,

где

есть вектор параметров состояния, включающий перемещения и скорости степеней свободы. При переходе от второго порядка к первому размерность вектора х удваивается. Естественно, что

для некоторых переменных состояния отсутствуют члены, опре­ деляющие восстанавливающую силу (нулевой столбец в А0). Такие переменные низших порядков следует представить от­ дельно, чтобы избежать фиктивных нулевых собственных зна­ чений. Поменяем местами степени свободы так, чтобы перемен­ ные второго порядка Xi были в начале вектора, а за ними сле­ довали переменные второго порядка х0. Тогда, поскольку по­ следние столбцы А0, соответствующие х0, равны нулю, можно записать А0 = [А0 : 0]. Система дифференциальных уравнений приобретает вид

или х = Ах + Вх, т. е. вновь имеет стандартную форму. В даль­ нейшем будем использовать эту матричную форму уравнений.

8.6.1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Сначала с целью создания основы для анализа периодиче­ ской системы будет выполнен анализ линейной стационарной системы. Хотя основным объектом исследования в настоящей главе являются периодическая система и особенности ее пове­ дения, решение стационарных систем проще, и они более ши­ роко используются. Рассмотрим систему, описываемую обыкно­

размерность п. Динамические характеристики этой системы оп­ ределяются собственными значениями и собственными векто­ рами матрицы А. Система порядка п имеет п собственных зна­ чений X,- ( / = 1, ..., п) и соответствующих им собственных векторов и/, являющихся решениями системы алгебраических

— 0. Последнее равенство определяет алгебраическое уравне­ ние порядка п относительно X, называемое характеристическим уравнением системы. Его решения и являются собственными значениями. Определим диагональную матрицу Л собственных значений и модальную матрицу М, столбцы которой представ­ ляют собой собственные векторы, расположенные в порядке, со­ ответствующем порядку расположения собственных значений в А. Тогда уравнение для собственных значений приобретает вид AM — МЛ. = 0, или А = МАМ-'.

Для выяснения роли собственных значений рассмотрим од-

•

нородное уравнение х = Ах. Представим вектор состояния