книги / Теория вертолета. Кн. 1

Влияние этого преобразования на собственные значения и собственные векторы динамики несущего винта обсуждено в разд. 8.5. Дальнейшее решение будет рассмотрено в гл. 12, при введении аэродинамических сил.

9.2.4.ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ

Изгибающий момент на лопасти в плоскости взмаха был по­ лучен в разд. 9.2.2 в виде

R

М (г) = ^ [(Fz — mz)(р — г) — mQ2p (z (р) — 2 (г))] dr.

Подставляя разложение z по собственным формам и исполы зуя безразмерные величины, имеем

+ Яи \ щ>(% (р) — % (г)) dpj .

Далее разложим аэродинамическую нагрузку в ряд по изгибным формам F z = X F zktn4\k (г). Легко можно показать, что по-

о

Fz в выражение изгибающего момента, замечаем, что для k-ro

Таким образом, изгибающий момент может быть определен по реакциям тонов лопасти и по соответствующим формам и час­ тотам тонов. Его можно также определить по кривизне упругой линии лопасти:

м м

к

что эквивалентно предыдущему выражению (это можно пока­ зать двукратным интегрированием дифференциального уравне­ ния для r\k).

При учете большого числа тонов лопасти все упомянутые выше выражения для изгибающего момента должны дать

^ v^mdr

е

Как было отмечено в разд. 5.19, ВШ должен быть отнесен или иметь пружину для того, чтобы собственная частота не была нулевой. При равномерном распределении массы и отсут­

мент лопасти относительно оси ВШ. Полагая одинаковыми фор­ мы тонов и жесткости пружин для движений в плоскостях взма­ ха и вращения и учитывая выражения для собственных частот здесь и в разд. 9.2.1, имеем v^ = 1 -f- v Для лопасти с совме­

щенными ГШ и ВШ формы тонов действительно идентичны, и этот результат точен. Фактически это соотношение отражает су­ щественно различную роль центробежных сил в маховом дви­ жении и качании лопасти. Центробежная сила в маховом дви­ жении действует как пружина, обеспечивая собственную час­ тоту, близкую к частоте оборотов. При качании же лопасти жесткость аналогичной «пружины» зависит от относа ВШ.

Маховое движение и качание лопасти связаны между собой нелинейными членами, обусловленными кориолисовыми силами:

— /pt2PtB уравнении махового движения и /jjt2p|i в уравнении

В сопротивлении материалов изгибающий балку момент вы­ числяют по формуле Мг (г) = EIxxd2x/dr2, где Е — модуль упру­ гости, а 1Хх — момент инерции площади сечения относительной главной оси изгиба. Дифференциальное уравнение в частных производных для изгибных колебаний лопасти в плоскости вра­ щения можно получить, приравнивая изгибающий момент й се­ чении действующим инерционным и аэродинамическим момен­ там и дважды дифференцируя полученное равенство:

-£г ш хх S - - ^ [ S mQ2<>d? 4 г ] - Q2m* + т * = F*■

Граничные условия для шарнирной и бесшарнирной лопастей здесь те же, что и для случая изгиба в плоскости взмаха (разд. 9.2.2).

Уравнение формы получим, рассматривая свободные колеба­ ния вращающейся лопасти. Подстановка х = цем в однородное уравнение дает

-^ г - У — -5 7 J J т&Р dp J - Q2tm\ - \ 2тц = 0 .

Мы вновь пришли к стандартной задаче Штурма — Лиувилля, для которой существует ряд »тгогональных собственных ре­

разложение подставим в дифференциальное уравнение с част­ ными производными и, зная форму колебаний, заменим члены, учитывающие упругие и центробежные восстанавливающие силы,

ний лопасти в плоскости вращения. Собственная частота мо­ жет быть получена по форме тона с использованием энергети-

ческого соотношения Штурма — Лиувилля:

R Г R

[V (е)]2 + ^ ^£/т)"2 4- ^ mQ2p d p r \'2 — Q2m r\2J dr

S* m dr

Отметим, что предположение об одинаковом виде форм ко­ лебаний в плоскостях взмаха и вращения приводит к выраже­

формы тонов изгиба в плоскостях взмаха и вращения, вообще говоря, неодинаковы. Поэтому соотношение у2ш = J -f- фак­

тически применимо Только к основным тонам шарнирной ло­ пасти с совмещенными ГШ и ВШ. Аналогия задач об изгибе в плоскостях взмаха и вращения несколько облегчает числен­ ное определение собственных частот и форм колебаний.

9.3.3. СОВМЕСТНЫЙ ИЗГИБ В ПЛОСКОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ И ВЗМАХА

Ниже мы выведем уравнения движения лопасти при совмест­ ном изгибе в плоскостях вращения и взмаха. Это — обобщение уравнений совместных движений жесткой лопасти. Предполо­ жим, что отсутствует жесткостная взаимосвязь, т. е. перемеще­ ние г происходит только в плоскости взмаха, а перемещение х — только в плоскости вращения. Взаимосвязь движений обус­ ловлена лишь кориолисовыми силами, т. е. в уравнения разд. 9.2.2 и 9.3.2 нужно добавить только соответствующие члены.

При изгибе в плоскости взмаха кориолисова сила 2Qхгп на­ правлена радиально внутрь и создает в сечении г момент на плече 2 (р) — z(r). Изгибающий момент в сечении г становится равным

R

Мх (г) — ^ [(Fz — mz) (р — г) — (mQ2p — 2Qxm) (z (р) — z (г))] dp,

а дифференциальное уравнение в частных производных для из­ гиба в плоскости взмаха записывается в виде

(Е1ггг")" — ^ т й 2р dpz' j + m z + jV ^ 2Qjtm dp j = F,.

Если опустить члены с аэродинамической и кориолисовой си­ лами, то получим то же уравнение формы, что и в разд. 9.2.2,

разложение подставим в уравнение с частными производными и, зная форму колебаний, заменим члены, учитывающие упругие и центробежные восстанавливающие силы, соответствующими выражениями через собственную частоту v2ft. Применяя опера-

Последняя аппроксимация вытекает из линеаризации произведения ^'относительно средних значений х и г’ и предпо­ ложения о том, что упругая линия лопасти в среднем опреде­ ляется углом конусности роДля жестких тонов эти кориоли­

совы силы сводятся к предыдущему результату — 2poC/pj. Мно­

При рассмотрении изгиба в плоскости вращения нужно учесть две составляющие кориолисовой силы. Одну из них, равную 2QJcm, дают скорость х и угловая скорость вращения винта Q; она направлена радиально вовнутрь. Эта составляющая создает изгибающий момент в плоскости взмаха. Она же создает мо­ мент в плоскости вращения на плече х(р) — х(г) в сечении г. Отклонения в плоскостях вращения и взмаха дают вторую со­ ставляющую, вызываемую нелинейным «укорочением» лопасти, равным

- Т \ ( x n + znW -

о

Соответствующая скорость перемещения сечения лопасти к оси вращения равна

Вторая составляющая кориолисовой силы лежит в плоскости вращения и создает относительно сечения лопасти на радиусе г момент на плече (р — г) (см. рис. 9.2). Суммарный изгибающий момент в плоскости вращения описывается выражением

ауравнение в частных производных для изгибных деформаций

вплоскости вращения имеет вид

m Хх")" — ^ mQ2p dpx'j — Q2mx -f mx +

После представления отклонений в плоскости вращения в виде

ряда х — Yj г)хм х. уже известным способом можно получить k k k

обыкновенное дифференциальное уравнение изгибных колебаний лопасти в плоскости вращения по k- щ тону:

Составляющие кориолисовой силы можно записать в виде