Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

3 6 4

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ г л . VIII

Третье уравнение получим, если приравняем нулю следующее выра жение:

+ т а г -

+ ° * } cos ”»(' - г > = 0

или

2д£3Л0— 2 (со3— а — abaT) Лi — * V rBi + b3e~bTBz + 264Dt = 0. (8.105)

Наконец, четвертое уравнение получим из условия

е - а (г-О sin со0(t — Г) [ —	ш0— 2аш0—
	Biebr“o	Вле~ьтшо 1	п
или	2ft (ft — a)	2ft (а + ft) J	U
или

2щЬ2А0+ 2щ (2а + Ь*Т) Лх + Ь*(а +■ Ь) еь1В х Ь%ф - а) е~ьт В2 = 0. (8.106)

Остальные два уравнения получим из условий (8.77)

J" А (т) =

= J" [Ло -(—Лit -j- Si? -j—B%e -)-Ci 8(т)-(-Dj 8(т— 7’)]йт==1

или		Л1Г3
		Л1Г3		Вгеьт	Вг		Вое~ьт		В,	■Ci -J- Dt 1 ,
	Л°1 "I	2	I	6	ft			ft		■Ci -J- Dt 1 ,
	Л°1 "I	2	I	6	ft			ft
J zk (t) <2t =
0	т
	т
=	J* т [Ло -(- Л1Т -\|-				-J—Bae		Ч- Ci 0(t) -j—D\ 8 (t — T)\dz — Ct
или										(8.107)
или
ЛоГ3 , A J* ,			BiebT fUrr		n	,	B-t	,
О	I	3 ~I	£3	У '	o	i	A3	1
						B tfbT		(— b T — 1)		DlT = Cl.
							ft3

И ]	ТАБЛИЦЫ И ПРИМЕРЫ	3 6 5
Окончательно	для определения шести неизвестных,	входящих
в (8.94), получим	шесть уравнений:

1) 2ab3A0— 2 (д2— и$ 4 4~ b3Bt — b3Ba — 2b*C[ = О,

2)2ш06 Ао— 4au)0/4i -]-b ф — ci)Bi —|—b ф —)—д) Ва= О,

3)2 вй % — 2 (сво — а2— abaT) At — Ь3еьтВх+

+b3e~bTBa — 2biDl = О,

4) 2щЬ"Ао 4~ 2и>о (2д 4~ b Т) Ах-j—

(8. 108)

4 - b3 (а + b) еьтВ1 +

Ь3ф — а) е~ьтВ 2= О,

2ЬТАо + ЬТ3А1 + (еьт — l)2 В 1 — ( е ' ьт— l ) 22**4-

4 - 2ЬС[ 4 - 2bDl = 2b,

гЬ3Т3А04 - 2Ь3Т3Аг 4 - 6В , [еът фТ — 1) 4

1 ] —

— 6В 2 [е~ьт фТ 4- 1) — 1] 4 - 6b3TDi_ = 6Ь2СХ.

Передаточная

функция Ф (s)

определяется

соотношением

Ф (s) =

(1 -

e~sT) +

4 " (7 ~ Т e~sT ~ Te~sT) +

^ L

[ l - e- ( ^ ) 4 4 - - ^ [ 1 - e

- (s+b)T]+

c[ + D,e-sT.

(8.109)

Решая

уравнения

(8.108)

относительно

неизвестных постоян

ных А0, Ai,

В х,

Ba,

Ci,

Di и подставляя найденные значения для них

в (8.109), получим выражение для Ф($).

Величина

е2,

так

же

как и в

первом

примере, зависит

только

от

А0 и А 1 и на основании (8.73)

может

быть представлена

в виде

Р = |5 - ( л 04 - с и !).

Составляющая ошибки от функции времени

П р и м е р

Предположим,

что

1) £ (0 =

&о + &4 + V 2- причем коэффициенты k0, k v ka являются

случайными

и известно,

что

^„0=

00, р01 =

0, ри = оо,

{302= 0,

о*

Р12= 0, (322= -^-;

2) « » < » > = 4 р г г » я . М = « - | Ч ;

3) Н ( р ) = 1.

В этом

случае &(т) имеет вид

А (т) =

Aq4~ Ахх 4~ Аах 4~ Ci о(т) 4

2)i 8(т — Т).

(8.110)

3 6 6	СИНТЕЗ	ОПТИМАЛЬНЫХ	СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ»	[ г л . VIII
Подставляя (8.110) в (8.80),			найдем, что
г
/ e " “ \|/" T\|[i4o +		i41T + J4 ^ ’ +	£/18(x) + D18(x — 7’)]dx =
О			= s0	“Ь ^ 2
или			= s0	“Ь ^ 2
или

2.4()	л 0	p — a t	e - a ( T - t )
а	а		а
1 А г c - a t		1 ^	I 4 А 2	(
Д3	6	+	Д ^ я3	\

2А, e~af +

,	2 A xt	1 М Т		1	"‘М
'	а	1	а	1	я3 )
А . Т Ъ ,		2А 2 Т .		™f Аj eС- a ( T - n —
а	'	а3	1	Я3	)

C[e~at+ Die- * (r“° = so+ sx/ + s / .

Так как эти равенства удовлетворяются тождественно, то

					A _ A _ i _ 2i k _ c i = 0,
					а	а3	1	я3		(8. 1 1 1 )
	л, г	I	j4oT3 I				[	2^4g	D1 = 0	(8. 1 1 1 )
	л, г	I	j4oT3 I				[	2^4g
	а	1 а3 1		д		д3	1 д°
	а	1 а3 1		д		д3	1 д°
	2j40 j		4.А 2			2 А г			2 А Я	(8. 112)
	2j40 j		4.А 2		---- ----------1			I		(8. 112)
	»о ■	а	д3	’		д
С другой стороны, из уравнения (8.80)							следует,		что
s0 =	(— 1)° I M — 1)°+		Рю (—1Э1 +			020 (— 1)2] \|			/ 8(x)rfT-ix0j,
s1 =	( - l ) 4 Po1( - l) ° +		P n ( - l)1 +			P 2i(-l)2] \|			/ x 8 (x )d x - ^ \|,
52=	( - 1)2[Po2(	- 1)° +	Pi2(		- 1)1 +	P22( -		1)2] \|	/ W j r f x - K , \|
или										(8.113)
			so =		PooO	t^o)»
			« i = P n ( —							(8 .1 1 4 )

S2= P22( Н-2)-

Приравнивая выражения (8.112) и (8.113), находим, что

12]

ОБОБЩЕНИЕ

ДЛЯ .ВОЗДЕЙСТВИЙ

П ТОЧКАХ

зет

Кроме того,

из

(8.80)

следует,

что

1* =

1 =

— T)\dx,

Н-1 =

о = J х [Дэ + А±х 4 - Л3т3+

с[ 8(т) +

Di 8(т — Г)] dx.

(8.116)

i.2 =

— ^ 4 г

/" т а [у4 0 - f -

Ч -

-^ат3 —]—C i 3 (х)

-ф-

\>г

D1 8 ( T - 7 ’)]dx.

Таким образом, для определения неизвестных А0, Аь

Л3, С±, Dx

из (8.1 1 1 ) и (8.116) мы

получим

систему

пяти уравнений

а2 1

2аА3.3 — Ci = 0,

АлТ

А г

Л3Г2*

2 4 3Г

— Dl = 0,

а2 1

а 1

а2

А0Т

Д Г 2

. А.2Т*

Ci -]- Di — 1 ,

(8.117)

^40Га

ДДЗ

42Г^

■DjT =

О,

Д73

Д 7 4

4,ГВ

DjT2

- ^ - =

Решая эту систему и подставляя результат в (8.110), найдем импульсную переходную функцию оптимальной системы.

12.Обобщение на случай, когда воздействия приложены

кп точкам следящей системы *)

Выше	рассматривался	случай, когда все воздействия приложены
к одной	и той же точке	системы. Задача этого параграфа состоит

в том, чтобы обобщить эти результаты на случай, когда воздействия


приложены к		нескольким		различным		точкам следящей системы2).
В М а т в е е в			П. С., Определение оптимальной импульсной переходной
акции	при	наличии внутренних			шумов,	Автоматика и телемеханика, т.
Й1, № з,	i960.
2) П е л е г р э н			М., Статистический расчет следящих систем,					ИЛ, 1957;
М а т в е е в П .		С., Методика синтеза корректирующих устройств						следящих
систем по заданным требованиям к					качеству и		динамической точности при
наличии помех, Диссертация,				1958;	М а т в е е в		П. С., Синтез корректирую

щих устройств следящих систем при наличии внутренних шумов, Автоматика и телемеханика, т. XX, № 6, 1959.

368 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [гл. VIII

Итак, предположим, что следящая система имеет п точек прило жения воздействий, причем на один основной элемент поступает упра вляющий сигнал

y { t ) = g { t ) + m ( t) ,

(8.118)

где g ( t ) — заданная функция времени, причем

Г
g{t) = H g lti,	1 = 0 , 1 , 2 .........	г,	(8.119)
/=о

и m.(t) — стационарная случайная функция. Кроме того, на управляю щий сигнал накладывается помеха ti(t) в виде стационарной случай ной функции. На остальные а — 1 элемент следящей системы посту пают возмущения в виде стационарных случайных функций (рис. 8.3)

		Рис. 8.3.
“i(0 . «2(О.........	“n- i( 0 - Для простоты предполагается,		что m(t),
n(t), ul {t), u2(t).........		имеют нулевые средние значения и не
коррелированы	между собой.
Предполагается также, что передаточные функции W 1 (р), W2(p), ...
• • •. Wn_x (р ) (импульсные переходные функции bl (t), b2(t)........			bn_x(t))

Рис. 8.4.

известны. Неизвестной является передаточная функция WK(p) (импульс ная переходная функция bK(t)) корректирующего устройства.

Сначала определяется оптимальная импульсная переходная функ ция k(t) замкнутой системы, по которой, пользуясь известными методами, легко определить передаточную функцию корректирую щего устройства. Задача может быть сформулирована следующим образом. По заданным корреляционным функциям /?т (т), R n(т), /?и1 (т), Яи2 (т), ..., Ru („_!) (х) (спектральным плоскостям Sm(со), Sn(со), 5а1 (со). Su2(ш)......... S u (л-1) (со)), заданному времени переходного процесса Т,

1 2 ] ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ В П ТОЧКАХ 369

заданному оператору воспроизведения Н(р), коэффициентам ошибки Сг и передаточным функциям W 1(р), W2 (р), . . . . 1^п_1 (р ) найти импульс ную переходную функцию k ( t ) так, чтобы среднеквадратическое зна чение ошибки имело минимум.

Легко показать, что схема, представленная на рис. 8.4, экви

валентна

схеме рис.

8.3,

которой

будем

пользоваться

при даль

нейших

рассуждениях.

Тогда *) выходную величину системы можно

записать

следующим

образом

(при /г =

для

простоты

записи):

х (0 =

[g(t — т) 4 - m (t — т) -)- п (t — т)] k (т) dx —

со

— J b ( x ) d x J bt (о) do

J а х (t — х — о — р.) b2(jx) dp, —

—со

оо

— J k (т) dx J и2 (t — х — о) Ь2(т) do -f-

— с о

С О

+ / h(x)dx f

u ^ t — т — a)b2(a) do 4 -

J и2 (t — т) b2 (х) dx,

— СО

— с о

где

k(x) =

N (() +

С; 8(Л (0 +

D, 5(л (1 -

Г)?

О <

1 <

Т.

у=о

(8.12U)

Л ( ( 0 .

Пусть идеальная система должна на выходе воспроизводить сигнал

где

h (0 =

Hg(p) g (О - ь я (/>) I» (0,

(8.121)

"w=S1-0 4

',‘-

(8. 122)

» , ( / > )

=н

р "

т = п

Тогда ошибку воспроизведения можно записать в виде

			&(t) =	h (t) — х (t).
Если теперь		потребовать,		чтобы среднее значение ошибки вос
произведения равнялось			нулю,	то это приведет к ограничивающим
!) М а т в е е в		П. С., Методика определения оптимальной импульсной
переходной	функции для		одного	класса воздействий, Автоматика и теле
механика, т.	XX,	№~1, 1959.

24 Зак. 1083. В, В. Солодовников

370

СИНТЕЗ

ОПТИМАЛЬНЫХ

СИСТЕМ С

КОНЕЧНОЙ

«ПАМЯТЬЮ»

[ГЛ. VIII

условиям

вида *)

(— l)v / 'E'fcOOdx,

v = 0, 1,

2......... г,

(8.123)

или

Ну — (—l)v J*z',k(z)dz,

v =

1 . 2......... /1 — 1 ,

(8.124)

— Cv = (— 1) j

л —(—1 , . . . . r.

tv&(t )dz,

v =

«,

При выполнении условий (8.124) ошибку воспроизведения можно

записать

следующим

образом:

с о

е (/) — J

m {t — т) •/ (т) dz — J k (т) dz

m (t — т)

п (t — т) —

—со

со

СО

— J

bl (a)da

J* ul ( t — z —а — р.) Ь2(р) d p — J u2(t—z—a)b2(a)do

— СО

— 0 0

— с о

с о

b,{z)dz

u1( t — т — o)b2(o)da— J u2(t — т)b2(z) dz,

(8.125)

—oo

где

x (t) = ~

J H(jai) eJ'mtdu).

Возведя в квадрат выражение (8.125) и усредняя, получаем:

со

4с =

* (“О dz j

Rm(z — 6) х (0) d6 -)- j" k (x) dz

Я т ( ^ - 0) +

—oo

—со

со

(x —■0) +

*1 (a)da j ^ 2(p)dp

b1(X)dX

j Rul ( т + о + р —0—

— OO

—OO

—CO

со

—X— т])62(т|)йГт]-Ь J

b2(a) da

J Ru2 (z +

0—О— X) b2(X) dX

A(0)d0-f-

— oo

—со

0 0

}

b2(z)dz

/ Я в2(т — 0)*2(0) d 0—

со

— OO

—oo

— 2 J" x (t) dT J /?m(t — 0) A (0) d0 —

l) См. последнюю из работ в ссылке на стр. 367.

12]	ОБОБЩЕНИЕ		ДЛЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ		В П ТОЧКАХ	3 7 1
Т	СО	СО		ОО	СО
- 2 f	k(x)dx f bt (a)da	f	b2(p) dp	f b1(6)d0 f Rul (t+ o+ ji- 0 - X ) X
0	—00	— 00		—CO	—oo
	Г	со		со
X b 2( X )d X - 2 I k(x)dx J" b2(a)da J*						— 0) 62(0)d 0.(8.
	О	—со		—oo

Далее, пользуясь теми же рассуждениями, что и выше, получим необходимое и достаточное условие для минимума выражения (8.126) при выполнении условий (8.123) в виде интегрального уравнения:

Тг

/ Я т ( * - 0) + Я Л * - 0) +

	0 0			ОО			СО	СО
Ч-	f	bi (a) da		f b2(p)dp			f bl (X)dX J		(-c-J-a-l-fj.—0—X—Tfj) 62(д)
			j" b2 (a) da			J" Ru2(x-(- о— 0 — X) b2 (X) dX A(0)d 0=
	/	Дт С '-0)*(0И 0+					/	h {a) da J &aGi)d\|* /6t(0)d0		/	+
									— 0 0	— CO
+	v>-	0 -	X)b2 (X) dX +				J b2 (a) da f		Ra2(x + a — 0) ft2(0) dQ+		^ TЛ .
											»=o
											(8.127)
где f r — множители Лагранжа.
	Введем		обозначения:
£ ui(t— 0 )=				f	b1(a)da J			b2(p)dp J	b1(X)dXX
						OO
					X	J’	$ui( x Ч- 0H- ^ — 0— ^ — y) b2 C7])				(8.128)
						— o o
				CO			o o
Ru2(t — 9) =				J'	b2(a)da j '			Rn2(t -)—a — 0— X)b2(X)dX.			(8.129)

24*

3 7 2 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII

	С учетом обозначений (8.128) и (8.129) выражение (8.127) можно
представить		в следующей	форме:
	т
f	[Rm(т -	0) + Rn (т -	0) + /& (т — 0) +	/ 4 (т -	0)]й (0) d (0) =
О	со			г
О
-	/ /?m( x - 0 ) 4 ( 0 ) r f 0 + /? ; 1 (T )+ /? ;3( x ) + v Titii				о < х < г .
	—со			/ « О	(8.130)
					(8.130)

Интегральное уравнение (8.130) по виду не отличается от инте грального уравнения (8.23), и поэтому для определения k(t ) могут быть использованы те же способы решения.

Очевидно, что интегральное уравнение (8.130) нетрудно обобщить для п входов. В этом случае интегральное уравнение (8.130) можно записать в виде

f [Я/л (х — в) 4- R„ С1 — 0) 4 “ Rui (х — 0) +		Rus (х 4- 0) +	• • • 4~
0
4- Ruin-1) (х — 0)] k (0) dQ =	f /?т (т — 0) ч(0) dQ
	— CO
	T
4 - Я 01 (x) 4 - (x) 4- • • • - \ - R u ( n - i )	(x) 4 - 2 T	i x'-	( 8 . 1 3 1 )
	1-0

Рассмотрим решение уравнения (8.131) для класса стационарных случайных процессов, корреляционная функция которых

R (т) — Rm(х)4~ R„ СО 4 - Rui (О4~ Ruz (О4~ • • • 4 - Ru(л- d (О

известным образом связана с функцией Грина самосопряженной диф ференциальной системы. В частности, к этому классу принадлежат стационарные случайные процессы с дробно-рациональной спектраль ной плоскостью вида

5 (ш) = S m(Ш) -)-		(ш) -f- S ui (ш) 4- ^оз (ш) 4~ • • • 4~ S u(л-1) =
		__ Ьр4- biа? + . . ■ +		bkaflk _		М (<д) М* (<а) .g 132-
		До fljto2 - j - . . . - ) -		а ^	1	L	(ш) L * (ш)
Можно	показать1),		что корреляционная		функция стационарного
случайного	процесса со		спектральной	плотностью			вида	(8.132) свя-
') Б а т к о в А.		М.,	С о л о д о в н и к о в		В.	В.,	Метод	определения

оптимальных характеристик одного класса самонастраивающихся систем, Автоматика и телемеханика, т. XVIII, № 5, 1957. См. также работу, цити рованную на стр. 369.

1 2 ]

ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ В П ТОЧКАХ

3 7 3

зана с функцией Грина самосопряженной краевой задачи (более под робно см. гл. X и XI)

	L(p)L *(p)y(t) = 0,		'	1
lim y(n)(t) =	Иin yW (^) = 0,	n — 0,	1 , . . . .	I — 1 \| (8-133)
t + co	oo			J

соотношением
R (t — x) = M (p)M * (p )G (t — t),			(8.134)
где G (t — t) — функция	Грина	самосопряженной1) дифференциаль
ной системы (8.133), и является		решением уравнения
L (р) L* (р) G (Л— х) = 8(f — т).			(8.135)
Операторы М{р) и L(p)	могут быть определены из (8.132)		по спек
тральной плотности.
Учитывая выражение (8.134), интегральное уравнение (8.131)
можно записать следующим образом:
Т		со
f М (р) М* 0?) Q(t — x)k (т) dx =		J Rm(t — T)x(x)d x +
О		—со

			Ч- Rux (О Ч-		Rus(0 Ч-	• • •	Ч~ Ru(л-i) (0 Ч- ^ 7Ч*
или								/=0
или
М{р) М*{р)		f G ( t —		x)k(x)dx	= f Rm(t — x)x(x)dx-h
+	t i i ( Q +	R U ( f ) +			+	t=o		(8.1-36)
						t=o
	Таким образом мы получили неоднородное дифференциальное
уравнение порядка			2k	с постоянными параметрами.
	Общее решение		уравнения (8.136) имеет вид
г			2к					СО
								СО
J	G (t—х) k (х) dx		^ \ в [ е к>(+ М - 1{ р ) М ^ \ р )				/	Ят(*—x)'/ ('c) dT4 -
о			i =1
Ч-	R u i (t) Ч- R-иг(0 Ч- •			• • Ч~ Ru(л-i) (0 Ч~		т	,	0 < / < 7 \ (8.137)
					1=0

]) Если оператор /.* (р), комплексно-сопряженный оператору L (р), сов падает с ним, то оператор L (р) называется самосопряженным оператором.

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ