книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf60 |
ГЛ . 2, Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Весовая функция, как мы видели, является полной, исчерпы вающей характеристикой линейной системы. Частотная характе ристика и характеристика реакции системы на показательное воз мущение также являются исчерпывающими характеристиками линейной системы. Естественно возникает мысль, что между весо вой функцией и частотной характеристикой или характеристикой реакции системы на показательное возмущение должна существо вать связь. Чтобы найти эту связь, достаточно вычислить реакцию системы на показательное возмущение с помощью весовой функ ции по формуле (2.2.3):
оо |
|
A test = J g(t, т)esxdx. |
(2.3.14) |
—ОО |
|
Чтобы получить характеристику реакции системы на показатель ное возмущение, нужно полученный интеграл разделить на вход ное возмущение ен . Тогда получим
00 |
оо |
|
z (^ s) = lir j |
T)eazdx= j g(t, t ) е~^~хЫх. |
(2.3.15) |
—oo —oo
Для физически возможной системы формула (2.3.15) приобретает
вид
1
z(t,s)=: j g(t, х)е-^г~хЫх. |
(2.3.16) |
—оо
Полагая в формулах (2.3.15) и (2.3.16) s — газ, получим выраже ние частотной характеристики через весовую функцию. В резуль тате частотная характеристика физически возможной линейной системы выразится формулой
і |
|
z(t, газ) = j g(t, х)е-™«-хЫх. |
(2.3.17) |
— ОО
Выразим теперь весовую функцию линейной системы через частотную характеристику.Для этого нужно разложить 6-функцию на элементарные гармонические колебания. Согласно формуле
(2.1.24)
'оо
6 (і— т) = -7^ j еі<0(*~х) da. |
(2.3.18) |
—оо
Сравнивая эту формулу с общей формулой (2.3.1) интеграла Фурье, приходим к заключению, что преобразование Фурье 6-функции определяется формулой
—ісот |
(2.3.19) |
§ 2.4. С ТА Ц И О Н А РН Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
61 |
Подставляя это выражение в формулу (2.3.13), выразим реакцию системы на б-функцию, т. е. ее весовую функцию, через частотную характеристику:
СО
g(t, т) = 2 ^- j z(t, т) |
t) do). |
(2.3.20) |
—00 |
|
|
Таким образом, зная весовую функцию системы, можно опре делить ее характеристику реакции на показательное возмущение и частотную характеристику, и, наоборот, зная частотную харак теристику системы, можно определить ее весовую функцию.
Заметим, что установившийся режим колебаний под действием гармонических входных колебаний существует не для всех линей ных систем, а только для устойчивых систем (определение устой чивости см. в гл. 6). Вследствие этого формулы (2.3.13) и (2.3.20) применимы только к устойчивым линейным системам.
Совершенно так же определяются характеристики реакции многомерной линейной системы на показательные возмущения, действующие на различных входах, и ее частотные характеристики. При этом характеристики реакции системы на показательные воз мущения и частотные характеристики связаны с соответствующими весовыми функциями теми же формулами (2.3.16), (2.3.17)
и (2.3.20).
§ 2.4. Стационарные линейные системы. Передаточная функция и частотная характеристика стационарной линейной системы
Изучим подробнее стационарные линейные системы. На основа нии определения стационарной системы реакция стационарной линейной системы на единичный импульс зависит только от интерва ла времени между моментом действия импульса т и данным момен том t. Иными словами, весовая функция стационарной линейной системы зависит только от разности аргументов t — т:
g (t, х) — w (t — т). |
(2.4.1) |
Вследствие этого формула (2.2.5) дает следующее выражение для реакции физически возможной стационарной линейной системы на любое возмущение х (і):
t |
|
y (t)~ j w (t — т) X (t) dx. |
(2.4.2) |
—oo
Для общности мы полагаем нижнийпредел интегрирования равным
— оо, чтобы охватить случай неограниченно долго действующих возмущений. В частном случае, когда возмущение начинает
62 |
ГЛ. 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
|
||
действовать |
на |
систему в |
момент t0, в формуле (2.4.2) |
следует |
положить X (т) = |
0 при т < |
t0. |
t — тг |
|
Производя в формуле (2.4.2) замену переменных £ = |
||||
приведем ее к виду |
|
|
||
|
|
оо |
|
|
|
|
y ( t ) = j |
w(Qx(t —|)d |. |
(2.4.3) |
о
Найдем характеристику реакции физически возможной стацио нарной линейной системы на показательное возмущение. Под ставляя выражение (2.4.1) в общую формулу (2.3.16), получим
( |
|
z (t, s) = j w{t — т) e-s(<-T>dT. |
(2.4.4) |
—оо
Замена £ = t — т приводит эту формулу к виду
ОО
z (t, s) = j w(l)e~sZdl. |
(2.4.5) |
о
Правая часть этой формулы не зависит от времени t. Следова тельно, для любой стационарной линейной системы характеристи ка реакции на показательное возмущение, и в частности, частот ная характеристика, не зависит от времени и представляет собой некоторую функцию параметра показательной функции s. Мы обозначим эту функцию через Ф (s). Тогда формула (2.4.5) примет вид
ОО |
|
Ф(*)= j w( l) e - *dl . |
(2.4.6) |
u |
|
В частном случае при s — гео получаем частотную характеристику стационарной линейной системы
ОО |
|
Ф (гео) = j w (I) е ~^ dl. |
(2.4.7) |
и |
|
Согласно определению характеристики реакции линейной системы на показательное возмущение установившаяся реакция ста ционарной линейной системы на показательное возмущение est представляет собой произведение
у (t) = Ф (*) ел . |
(2.4.8) |
Таким образом, показательные функции времени проходят через стационарную линейнун систему, не изменяя своей формы,.
§ 2.4. с т а ц и о н а р н ы е : л и н е й н ы е : с и с т е м ы |
63 |
а только умножаясь на постоянный коэффициент Ф (s), завися щий от параметра показательной функции. Функции, обладаю щие таким свойством, называются инвариантными функциями линейной системы. Формула (2.4.8) показывает, что показательныефункции являются инвариантными функциями для любой стацио нарной линейной системы. Множитель, на который умножается показательная функция est, проходя через стационарную линей ную систему, естественно назвать передаточной функцией системы. Вследствие того что семейство показательных функций является общим семейством инвариантных функций для всех стационарных линейных систем, передаточные функции особенно удобны для исследования стационарных линейных систем.
Заметим, что для некоторых классов нестационарных линей ных систем тоже можно определить инвариантные функции, кото рые при прохождении через систему не изменяют своей формы,, а лишь умножаются на соответствующие постоянные множители. Рассмотрим в качестве примера систему, поведение которой описы вается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами
2 |
ah(t)yM= |
2 |
bh(t)xW. |
h=0 |
|
4=0 |
|
Положив у — %х, где X — постоянный коэффициент, получим следующее уравнение для определения инвариантной функции X (t) рассматриваемой системы:
П
|
|
|
2 |
[kah( t ) - b k (t)]xm(t) = 0. |
|
||
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
По |
теореме |
существования решений дифференциальных уравне |
|||||
|
fc |
|
решение (и |
не одно), |
если функция |
||
ний |
это уравнение имеет |
||||||
Xan (t) — bn(t) |
нигде |
не |
обращается |
в нуль на |
действительной |
||
оси. Изменяя параметр X, мы получим семейство инвариантных функций рассматриваемой системы.
Однако, как легко понять, разные нестационарные линейные системы в общем случае имеют различные инвариантные функции, и пока еще не удалось найти достаточно широкого класса неста ционарных систем, которые имели бы общее семейство инвариант ных функций. Вследствие этого попытки распространения на неста ционарные линейные системы простых алгебраических методов, основанных на использовании передаточных функций, которые ока зались весьма плодотворными в теории стационарных линейных систем, пока еще не увенчались успехом.
Так как частотная характеристика стационарной линейной системы Ф (ісо) не зависит от времени, то и ее амплитудная и фазо вая частотные характеристики | Ф (ісо) | и arg Ф (гео) не зависят
64 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
от времени. Поэтому, как показывает формула (2.3.10), стацио нарная линейная система реагирует на бесконечно долго действую щие гармонические колебания входной переменной с амплитудой а и фазой ер гармоническими колебаниями выходной переменной с той же частотой, амплитудой
Ъ = а I Ф (ісо) I |
(2.4.9) |
и фазой |
(2.4.10) |
ф = ф + arg Ф (ісо). |
Таким образом, амплитудная частотная характеристика стацио нарной линейной системы представляет собой коэффициент изме нения амплитуды гармони-
щФ(Ш>0 |
ческих колебаний при про |
||
|
хождении их через данную |
||
|
систему, т. е. отношение |
||
|
амплитуды гармонических |
||
|
колебаний выходной пере |
||
argФ(Ш |
менной к амплитуде гар |
||
монических |
колебаний |
||
|
|||
Рис. 2.4.1.' |
входной переменной. Фа |
||
|
зовая частотная характери |
||
агдФ(іш)<0 |
стика стационарной линей |
||
|
ной системы |
представляет |
|
|
собой сдвиг фазы выход |
||
t |
ных гармонических колеба |
||
ний по отношению к вход |
|||
|
ным гармоническим коле |
||
Iarg Ф(іа»\ |
баниям. При этом, если |
||
Рис. 2.4.2. |
фазовая частотная харак |
||
теристика arg Ф (ісо) поло |
|||
|
жительна, то колебания на |
||
выходе системы опережают по фазе входные колебания на вели чину arg® (ісо) (рис. 2.4.1); если фазовая частотная характеристика отрицательна, то колебания на выходе системы отстают по фазе
от входных колебаний на величину |
| arg Ф (ію) | (рис. 2.4.2). |
|
Найдем передаточные функции идеальных систем, осуществляю |
||
щих |
основные операции анализа, рассмотренных в § 2.2. |
|
1. |
Идеальная следящая система |
при входной функции est |
дает на выходе ту же функцию est. Следовательно, передаточная функция идеальной следящей системы тождественно равна еди
нице: |
(2.4.11) |
Фс (s) = 1. |
2. Идеальный экстраполятор при входной функции est дает
на выходе е8й+а\ Следовательно, |
его передаточная функция равна |
|
Фэ (s) = eas |
(а > 0). |
(2.4.12) |
§ 2.4. |
С ТА Ц И О Н А РН Ы Е |
Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
65 |
3. Идеальное запаздывающее звено при входной функции est дает |
|||
на выходе eS(t~l>. |
Следовательно, его передаточная функция равна |
||
|
<D3(s) = e-'s |
(Z> 0). |
(2.4.13) |
Полагая в (2.4.12) и (2.4.13) |
s = іа, видим, что идеальные эк- |
||
страполятор и запаздывающее звено не изменяют амплитуду гармо нических колебаний. При этом экстраполятор дает опережение входных колебаний по фазе, пропорциональное частоте, а запазды вающее звено дает отставание от входных колебаний по фазе, так же пропорциональное частоте.
4. Безынерционный усилителъ с постоянным коэффициентом усиления к при входной функции est дает на выходе kest. Следо вательно, его передаточная функция равна коэффициенту усиле
ния к: |
(2.4.14) |
Фу (s) = к. |
Усилитель с переменным коэффициентом усиления, очевидно, не является стационарной системой. Предоставляем читателю само стоятельно найти для него характеристику реакции на показа тельную функцию z (t, s).
5. Идеальный дифференциатор при входной функции еѣ1 дает на выходе sesi. Следовательно, его передаточная функция равна
Фд (з) = s. |
(2.4.15) |
Отсюда находим частотную характеристику: |
|
іл |
|
Фд (ію) = гео = сое 2 . |
(2.4.16) |
Таким образом, идеальный дифференциатор дает усиление гармо нических колебаний, пропорциональное частоте, и опережение выходных колебаний по фазе я/2, независимое от частоты.
6. Идеальный интегратор при входной функции est при s > 0
дает на выходе |
Следовательно, |
его передаточная функция |
равна |
|
|
|
Фи(е) = | . |
(2.4.17) |
Полагая здесь s — ію, находим частотную характеристику инте гратора:
фи(йо) = 1^ = 4 - е" 2 - |
(2.4.18) |
Отсюда видно, что идеальный интегратор дает усиление гармони ческих колебаний, обратно пропорциональное частоте, и отстава ние выходных колебаний по фазе л/2, независимое от частоты.
5 Под ред. В . С. П угачева
66 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
П р и м е р 2.4.1. Формулы (2.2.15) и (2.2.18) показывают, что весовые функции двигателя, рассмотренного в примерах 2.2.1 и 2.2.2, зависят только от t — т. Следовательно, этот двигатель является стационарной линейной системой. Для определения его передаточной функции Ф (s) возьмем пока зательный входной сигнал М = est. Тогда на выходе будем иметь по опре делению со = Ф (s) est. Подставляя эти выражения в (2.2.13) и решая полу ченное уравнение, найдем передаточную функцию двигателя:
1 |
(2.4.19) |
Ф(*) = Js-\-h |
Аналогично находим передаточную функцию двигателя Ф4 (s) для случая, когда за его выходной сигнал принимается угол поворота вала:
ф-<!> -7 (7 Г Р Г |
<2А20> |
Те же результаты получаются, если воспользоваться формулой (2.4.6), подставив в нее найденные в примерах 2.2.1 и 2.2.2 выражения весовых
функций W (t — т) = g (г, т) И Wt (г — т) |
= gl (t, т). |
П р и м е р 2.4.2. Формула (2.2.28) |
показывает, что рассмотренный |
в примере 2.2.3 нагреватель является стационарной линейной системой. Для определения его передаточной функции зададим входной сигнал д (г) = est
и будем искать решение |
уравнения |
(2.2.19) в |
виде О (г, х) = Ѳ(х, s) esi. |
|
Подставив это выражение в (2.2.19), получим после сокращения на est |
||||
Ѳ (X, |
s) s = а2Ѳ" (ж, |
s) |
(а2 = |
к/cp) |
Qx(x’ s)— |
s)= °- |
|
|
||
Общий интеграл этого уравнения |
выражается |
формулой |
|
||
Ѳ(х, |
УГ— |
-УГ— |
(2.4.21) |
||
s) = Cie |
а |
сге |
“ . |
|
|
Граничные условия (2.2.20) |
при |
д (t) = |
esi, О (t, х) = Ѳ (х, s) est |
прини |
|
мают вид |
|
|
|
|
|
■ѳ (г, s).
Подставляя сюда выражение (2.4.21), получим уравнения для определения ПОСТОЯННЫХ Сі И Сч'.
l/s (Ci —c2)= ■
_ |
y r 4 |
-ѴіГ^ч |
ha . V7± |
- I |
|
- y ; |
|||||
l / s |
(cie " — c2e |
a)= — j r {cie |
-с2е |
||
Решая эти уравнения, |
находим |
|
|
|
|
|
k l / s —ah - V sv |
|
k ^ /s + a h V |
||
cl = ~,—,'n / - e |
> |
c2 = |
j=— e |
||
- |
|||||
|
kq> (s) |
у s |
|
|
|
§ 2.4. СТА Ц И О Н А РН Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е |
СИСТЕМ Ы |
67 |
||||
где ф (s) — функция, определяемая |
формулой (2.2.25) |
с заменой ш на s. |
||||
Подставляя полученные |
выражения |
с1 и с2 в (2.4.21), |
получим |
|||
(к ф/s |
Vs---- |
/— |
|
У;•—X—1 |
||
— ah) е |
а + (к |
у s + ah) е |
|
|
||
Ѳ (x,s) = |
/сф (s) Л/s |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
Наконец, полагая х — I, находим |
передаточную |
функцию |
нагревателя: |
|||
|
|
2 |
|
|
|
(2.4.22) |
|
<£(s) = 0(i, s) |
|
|
|
||
Ф (*)
Формулы (2.4.9) и (2.4.10) показывают, что коэффициент изме нения амплитуды и сдвиг фазы колебаний при прохождении через систему в общем случае зависят от частоты колебаний со.
Обычные механические и электромеханические системы (вооб ще любые системы, содержащие механические элементы) обладают инерцией, вследствие чего под действием колебаний очень высо кой частоты такие системы практически остаются в покое. Грубо говоря, при большой частоте колебаний такая система не успевает еще начать движение в одном направлении, как входное возмуще ние уже начинает «толкать» ее в противоположную сторону. Это свойство реальных физических систем дает основание ввести чисто практическое понятие полосы пропускания системы. Полосой пропускания системы называется диапазон частот гармонических колебаний, «пропускаемых» системой, т. е. проходящих через систему с практически заметными колебаниями выходной пере менной. Гармонические колебания частот, лежащих вне полосы пропускания системы, практически не проходят через систему, т. е. колебания выходной переменной для этих частот имеют столь малую амплитуду по сравнению с амплитудой входных колебаний, что их можно не принимать во внимание и с достаточной для практики точностью считать, что они отсутствуют.
Подчеркнем, что понятие полосы пропускания системы является чисто инженерным понятием и не имеет строгого математического определения. Физически любая система пропускает колебания всех частот. Однако для одних частот выходная переменная си стемы совершает заметные колебания, а для других частот выход ная переменная колеблется с едва заметной амплитудой. Поэтому в зависимости от того, какой величиной амплитуды выходных колебаний по сравнению с амплитудой входных колебаний мы усло вимся пренебрегать, полоса пропускания одной и той же системы будет иметь различные значения. Обычно считают возможным пре небрегать амплитудой выходных колебаний, меньшей чем 5% амплитуды входных колебаний. В соответствии с этим полосой пропускания системы считают диапазон частот, за пределами кото рого амплитудная частотная характеристика системы меньше чем 0,05.
5*
68 |
Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Частота, сор, для которой амплитудная частотная характеристи ка имеет максимум, называется резонансной частотой системы,
так как при этой частоте гармонические колебания, проходящие через систему, получают наибольшее усиление. В зависимости от характера частотпой характери стики стационарная линейная система может совсем не иметь резонансной частоты (рис. 2.4.3), иметь одну резонансную часто ту (рис. 2.4.4) или несколько резонансных частот (рис. 2.4.5).
Частота (ос, при которой амплитудная частотная характе ристика, уменьшаясь, перехо дит от значений, больших еди ницы, к значениям, меньшим единицы, и при дальнейшем увеличении частоты остается
меньше единицы, называется частотой среза системы (рис. 2.4.3, 2.4.4 и 2.4.5).
Формула (2.3.20) дает следующее выражение весовой функции стационарной линейной системы через ее частотную характери
стику: |
|
оо |
|
w(t — т) = 2 ^- J Ф (гео) eltü<<-T)d(ö. |
(2.4.23) |
Из этой формулы следует, что не существует нестационарной линейной системы, для которой показательные функции были бы инвариантными, так как правая часть этой формулы зависит только от разности t — т, если первый множитель не зависит от t.
§ 2.4. С ТА Ц И О Н А РН Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
69 |
Формулу (2.4.23) можно переписать также в виде
оо
w (t— т )=- ^- j Ф (гео) |
da, |
(2.4.24) |
—оо
так как весовая функция w (t — т) действительна и, следователь но, совпадает со своей сопряженной величиной.
Производя замену переменных £ = t — т, можно переписать формулу (2.4.23) в виде
|
|
ОО |
|
|
(2.4.25) |
П р и м е р |
2.4.3. Полагая в формуле (2.2.28) примера 2.2.3 g (f, т) = |
|
= w (t —т), |
t — т и |
сравнивая полученное равенство с (2.4.25), снова |
получим для передаточной функции нагревателя формулу (2.4.22). |
||
Весовая функция |
w (£) физически возможной стационарной |
|
линейной системы равна нулю при отрицательных значениях аргумента £. Формула (2.4.6) показывает, что передаточная функ ция стационарной линейной системы Ф (s) представляет собой пре образование Лапласа ее весовой функции. Пользуясь терминами операционного исчисления, можно сказать, что передаточная функция стационарной линейной системы представляет собой изо бражение ее весовой функции. Это обстоятельство дает возмож ность пользоваться для определения передаточных функций ста ционарных линейных систем по их весовым функциям и наоборот готовыми таблицами формул операционного исчисления и таким образом избежать вычисления интегралов (2.4.6) и (2.4.25) *).
При практическом применении частотных характеристик их часто изображают в логарифмическом масштабе, откладывая по оси абсцисс величину lg о), а по оси ординат величину lg | Ф (£<о) | для амплитудной характеристики и величину arg Ф (ісо) для фазовой характеристики. Построенные таким образом частотные характеристики обычно называются логарифмическими частотны ми характеристиками системы.
Величина lg | Ф (іа) | характеризует усиление амплитуды колебаний данной системой. Для измерения усиления пользуются особыми единицами. За единицу усиления принимают такое уси ление, при котором мощность сигнала увеличивается в 10 раз. Эта единица называется белом. Таким образом, усиление системы равно 2 белам, если она усиливает мощность сигнала в 100 раз, 3 белам, если она усиливает мощность сигнала в 1000 раз и т. д. В соответствии с основным правилом десятичной системы для
*) Читатель может найти таблицу преобразований Лапласа, например,
в [17].