книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

( детерминированными.] Так, например, токи и напряжения в эле­ ментах любой электрической цепи (если только число элементов не чрезмерно велико) при данном законе изменения входного напряжения изменяются практически всегда одинаково. Разбросом законов изменения токов и напряжений в элементах такой цепи можно пренебрегать. Поэтому электрическую цепь с не очень большим числом элементов можно считать детерминированной системой. Однако при очень большом числе элементов, измеряе­ мом тысячами, разброс токов и напряжений в элементах элек­ трической цепи вследствие флуктуаций их параметров может стать ощутимым, и тогда придется считать пепь стохастической системой.

і

В дальнейшем мы будем рассматривать только детерминиро­ ванные системы и о стохастических системах говорить не будем. Поэтому все дальнейшее относится только к детерминированным

j системам.

§ 1.4. Оператор системы

Выходной сигнал любой детерминированной системы зависит от входного сигнала, данному входному сигналу соответствует один вполне определенный выходной сигнал. Иными словами, выходной сигнал данной детерминированной системы является

■вполне определенной функцией ее входного сигнала. Однако функ­ цию надо в данном случае понимать не в том смысле, как она по­ нимается в элементарном математическом анализе, а в обобщенном смысле, так как аргументом функции в данном случае служит некоторая функция времени — входной сигнал системы, а зна­ чением функции при данном значении аргумента (входном сигнале) тоже служит некоторая функция времени — выходной сигнал системы.

Всовременной математике функцией называется в общем слу­

чае однозначное соответствие между любыми объектами — эле­ ментами некоторых множеств. А именно функцией называется такое соответствие между элементами двух множеств X и У, когда каждому элементу х множества X соответствует один вполне определенный элемент у множества У. При этом элементами мно­ жеств X и У могут быть любые объекты. В частности, ими могут быть скалярные или векторные функции любых переменных.

Функция, которая любому значению аргумента х ставит в соответствие некоторое вполне определенное число у, назы­ вается функционалом. Примером функционала может служить площадь, ограниченная замкнутой кривой. Каждому значению аргумента (данной замкнутой кривой) соответствует одно вполне определенное число — ограниченная кривой площадь.

Функция, которая любому значению аргумента х ставит в со­ ответствие некоторый элемент у множества У, не являющегося множеством чисел, называется оператором. Примером оператора может служить соответствие между функцией х (t) скалярной пере­ менной t и интегралом от нее с переменным верхним пределом (интеграл представляет собой определенную функцию верхнего предела). В данном случае аргументом и значением оператора служат функции одной и той же переменной.

Так как любая система осуществляет преобразование функ­ ций — каждой данной функции на входе ставит в соответствие определенную функцию на выходе, — то каждой детерминирован­ ной системе соответствует вполне определенный оператор. Этот оператор мы будем называть оператором системы. Оператор системы обычно коротко обозначают одной буквой. Тогда соот-

вѳтствиѳ между входной функцией системы х (t) и ее выходной функцией у (t) можно коротко записать в виде

совокупность математических действий, которые нужно произ­ вести, чтобы по данной входной функции х (t) найти соответствую­ щую выходную функцию системы у (t).

Оператор системы является полной, исчерпывающей ее ха­ рактеристикой. При этом понятием оператора объединяются любые математические действия: все алгебраические действия, дифференцирование, интегрирование, сдвиг во времени, решение дифференциальных, интегральных, алгебраических и любых дру­ гих функциональных уравнений, а также любые логические дей­ ствия. Задать оператор системы — это означает задать сово­ купность (программу) действий, которые надо осуществить над входной функцией, чтобы получить выходную функцию.

Оператор системы может быть задан в различных формах. В частности, оператор системы полностью определяется системой уравнений, описывающих работу всех элементов, из которых состоит данная система. Так, например, оператор системы управ­ ления полетом летательного аппарата (самолета или ракеты)

^можно задать в форме дифференциальных уравнений движения летательного аппарата и уравнений, описывающих все механи­ ческие, электрические, электромагнитные и другие процессы в элементах системы управления. Действительно, совокупность всех этих уравнений полностью определяет закон, по которому для любого данного входного возмущения можно найти соответствую­ щую выходную переменную системы. Например, по скорости дей­ ствующего на летательный аппарат ветра, заданной как функция времени, можно найти координаты центра массы летательного аппарата как функции времени. А это и означает, что совокуп­ ность дифференциальных уравнений движения летательного аппа­ рата и уравнений, описывающих процессы, протекающие в эле­ ментах системы управления, определяет оператор системы управ­ ления полетом.

В задачах практики поведение автоматической системы часто можно описать конечным числом обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений. В таких случаях оператор системы сводится к опе­ рации решения дифференциальных уравнений. Это дает возмож­ ность применить для исследования системы методы теории диффе­ ренциальных уравнений. Однако на практике встречаются и такие системы, поведение которых описывается уравнениями в част­ ных производных или даже более сложными видами уравнений. Поэтому аппарат теории дифференциальных уравнений недоста­ точен для построения общей теории автоматических систем.

и только тогда, когда линейной комбинации любых входных воз­ мущений соответствует та же линейная комбинация соответствую­ щих выходных функций. Это свойство линейных систем, выра­ женное формулой (1.5.1), обычно называется принципом супер­ позиции. Поэтому линейные системы можно определить как такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции.

Для того чтобы система была линейной, необходимо и доста­ точно выполнение следующих двух условий:

1)сумме любых двух входных возмущений соответствует сумма соответствующих двух выходных переменных;

2)при любом усилении входного возмущения без изменения его формы выходная переменная претерпевает точно такое же

усиление, также не изменяя своей формы.

Необходимость этих условий очевидна. Так как формула

Для доказательства достаточности условий (1.5.2) и (1.5.3) заме­ тим, что из этих условий вытекают формулы

ций Хі (t), . . ., хп (t). Формула (1.5.4) показывает, что из усло­ вий (1.5.2) и (1.5.3) следует справедливость принципа суперпози­ ции для случая двух слагаемых. Формула (1.5.5) показывает, что принцип суперпозиции выполняется для п слагаемых, если он выполняется для п — 1 слагаемых. Из этой формулы по индук­ ции следует справедливость принципа суперпозиции при любом числе п слагаемых, поскольку он справедлив для случая двух слагаемых. Таким образом, принцип суперпозиции является след­ ствием условий (1.5.2) и (1.5.3), что и доказывает достаточность этих условий.

Подчеркнем, что для линейности системы необходимо, чтобы принцип суперпозиции соблюдался при любом числе слагаемых, при любом выборе постоянных сѵ и функций х ѵ (t).

К линейному интегральному оператору или к линейному интегродпфференциальному оператору приводится оператор решения произвольного обыкновенного линейного дифференциального уравнения

Нелинейным называется любой оператор, для которого прин­ цип суперпозиции не имеет места или справедлив только при

to

где ф (х, т, t) — данная функция, нелинейная относительно пере­ менной X, и оператор решения нелинейного дифференциального уравнения

Принцип суперпозиции значительно облегчает исследование линейных систем по сравнению с нелинейными. Благодаря прин­ ципу суперпозиции теория линейных дифференциальных уравне­ ний разработана в самом общем виде для уравнений любого по­ рядка, в то время как теория нелинейных дифференциальных уравнений по существу отсутствует, и мы можем решать в анали-

3*

36 ГЛ. 1. ОСН О ВН Ы Е п он я ти я

тической форме только нелинейные дифференциальные уравнения частных видов невысокого порядка. Вот почему для решения всех математических вопросов, возникающих в приложениях, обращаются в первую очередь к линейным методам. При этом даже нелинейные системы стараются приближенно рассматривать как линейные. В результате появились различные методы линеа­ ризации нелинейных систем, т. е. приближенной замены нелиней­ ных систем практически равноценными линейными.

Из справедливости принципа суперпозиции для линейных систем при любом числе слагаемых и любом выборе функций х ѵ (t) и чисел сѵ следует, что он применим не только к суммам, но и к ин­ тегралам. Другими словами, если входное возмущение системы представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных возмущений, то выходная переменная линей­ ной системы представляет собой сумму соответствующих беско­ нечно малых реакций на эти элементарные возмущения. Матема­

где индекс t у оператора А показывает, что этот оператор дейст­ вует над функцией аргумента t, а X при этом рассматривается как фиксированный параметр. Эта формула выражает принцип супер­ позиции в интегральной форме. Для доказательства достаточно представить интеграл в виде предела последовательности сумм. Для каждой суммы принцип суперпозиции справедлив. Таким образом, для любого члена этой последовательности справедлива формула (1.5.1). Следовательно, при переходе к пределу полу­ чится формула (1.5.12), если интеграл в правой части существует.

Принцип суперпозиции дает возможность выразить реакцию линейной системы на любое возмущение через ее реакцию на опре­ деленный вид элементарных возмущений. Для этого достаточно разложить произвольное возмущение х (t) на элементарные воз­ мущения выбранного типа. Тогда, зная реакцию линейной системы на элементарные возмущения этого типа, мы можем при помощи принципа суперпозиции определить ее реакцию на произвольное возмущение х (t). Таким образом, для определения реакции линей­ ной системы на произвольное возмущение достаточно знать ее реакцию на выбранный стандартный тип элементарных возмуще­ ний. Иными словами, любая линейная система полностью харак­ теризуется ее реакцией на какой-нибудь стандартный тип возму­ щений. В зависимости от выбора стандартного типа возмущений мы получим разные характеристики линейной системы. Каждая такая характеристика будет исчерпывающей, так как знания ее

достаточно для нахождения реакции линейной системы на любое

возмущение.

Уравнения, описывающие поведение линейной системы, всегда линейны. И наоборот, если все уравнения, описывающие поведе­ ние системы, линейны, то данная система линейна. Если среди уравнений, описывающих поведение объекта управления и про­ цессы в элементах системы управления, имеется хотя бы одно нелинейное, то система нелинейна.

§ 1.6. Стационарные и нестационарные системы

Система называется стационарной, если ее реакция на любое данное возмущение зависит только от интервала времени между данным моментом и моментом начала действия возмущения. Пусть

зом, стационарную систему можно определить как та­

кую систему, у которой при любом сдвиге во времени входного возмущения без изменения его формы выходная переменная претерпевает такой же сдвиг во времени без изменения своей формы (рис. 1.6.1, а и б). Нестационарные системы характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без измене­ ния формы их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и изменяют форму (1.6.1, в).

Стационарные системы могут быть как линейными, так и нели­ нейными. Нестационарные системы также могут быть как линей­ ными, так и нелинейными. Линейные системы могут быть как стационарными, так и нестационарными.

38 ГЛ. 1. ОСН О ВН Ы Е п он я ти я

Примером стационарной системы может служить обычный неизменяемый маятник (математический или физический). Неза­ висимо от того, в какой момент на маятник, находящийся в покое, начнет действовать возмущение (сила) заданной формы, например синусоидальное возмущение заданной амплитуды и частоты, маят­ ник будет совершать одни и те же колебания.

Примером нестационарной системы может служить математи­ ческий маятник, длина которого изменяется в зависимости от времени по заданному закону. Такой маятник можно представить как материальную точку, подвешенную на нерастяжимой неве­ сомой нити, перекинутой через ось и наматываемой на барабан

часовым механизмом (рис. 1.6.2). Длина такого маятника в момент начала действия на него возмущения будет зависеть от мо­ мента начала действия возмущения. Следо­ вательно, и характер колебаний (в частно­ сти, частота) такого маятника под действием возмущения заданной формы будет зависеть от момента начала действия возмущения.

Из теоретической механики известно, что колебания маятника точно описываются не­ линейным дифференциальным уравнением

второго порядка (1.5.11). Следовательно, математический маят­ ник постоянной длины является стационарной нелинейной систе­ мой, а математический маятник переменной длины является не­ стационарной нелинейной системой.

Если ограничиться изучением только малых колебаний матема­ тического маятника, т. е. таких его колебаний, при которых ли­ нейные перемещения его конца малы по сравнению с его длиной, то колебания маятника можно приближенно описать линейным

Следовательно, при малых колебаниях математический маятник постоянной длины можно приближенно рассматривать как ста­ ционарную линейную систему, а маятник переменной длины — как нестационарную линейную систему.

§ 1.7. Непрерывные и дискретные (импульсные) системы

Входные сигналы в автоматических системах могут действовать непрерывно в течение всего времени работы системы или только в определенные моменты времени (точнее, в течение коротких ин­ тервалов времени), разделенные промежутками времени, в течение которых они не действуют на систему. Системы первого типа назы­ ваются непрерывными, а системы второго типа — дискретными

§ 1.7. Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Е И Д И С К Р Е Т Н Ы Е (И М П У Л ЬСН Ы Е ) СИСТЕМ Ы 39

или импульсными. Примерами непрерывных систем могут служить

урегулятор Уатта, схематически изображенный на рис. 1.1.1, простейший автопилот, предназначенный для управления поло­ жением осей самолета в пространстве, или система управления пушечной установкой на самолете. Примерами дискретных систем являются импульсная система телеуправления полетом ракеты, передающая сигналы управления на ракету дискретно, в течение коротких промежутков времени, а также цифровая вычислитель­ ная машина. В последнем случае не только входные сигналы вво­ дятся в машину дискретно, но и выходные переменные (результаты решения задачи) изменяются дискретно в определенные моменты

времени. Ракета с дискретной системой управления может слу­ жить примером дискретной системы с дискретным вводом входных сигналов и с непрерывно изменяющимися выходными перемен­ ными.

Дискретное управление приходится неизбежно применять в сложных системах, содержащих вычислительные машины со сложной программой математических и логических операций. В таких системах высокую точность вычислений, связанных с обра­ боткой поступающей в систему информации и выработкой реше­ ния об управляющих сигналах, можно получить только с помо­ щью цифровых машин. Поэтому система неизбежно получается дискретной. В частности, без применения цифровых машин и дис­ кретного управления невозможно обойтись в таких системах, как системы управления большим количеством объектов.

Дискретное управление иногда применяется также с целью повысить помехозащищенность автоматических систем, что имеет особенно важное значение для управления военной техникой. Так как в любой автоматической или автоматизированной системе управления объектами военной техники целью управления яв­ ляется поражение объектов противника, то информация о зада­ чах управления в таких системах представляет собой информа­ цию о состоянии и действиях противника. Используя для полу­ чения этой информации различные физические явления (например, электромагнитные волны в радиолокации или инфракрасное излучение военных объектов противника), мы всегда даем про­ тивнику возможность использовать те же самые физические явле­ ния для передачи ложных сигналов и помех, нарушающих работу наших систем управления. Дискретное управление дает возмож­ ность добывать и вводить в систему управления информацию о противнике лишь в течение коротких промежутков времени, разделенных относительно длинными интервалами времени, в те­ чение которых система управления остается «закрытой» для внеш­ них сигналов. Этим во многих случаях можно несколько умень­ шить возможность для противника мешать работе системы управ­ ления, вводить в нее помехи.