книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

70 Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

измерения усиления применяются также более крупные единицы:

декабелы, гектобелы, килобелы и т. д. — и более мелкие единицы: децибелы, сантибелы, миллибелы и т. д. В автоматике и радиотех­ нике принято измерять усиление в децибелах (дБ).

Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды (например, мощность электрического тока пропорцио­ нальна квадрату силы тока), то при усилении амплитуды колебаний данной

единице, при усилении, равном 2 бе­ лам, эта величина равна 2 и т. д. Сле­ довательно, усиление амплитуды коле­

а усиление, выраженное в децибелах, численно равно 20 lg | Ф (гео) |. Поэтому при практическом построении логариф­

мических частотных характеристик обычно откладывают по оси ординат прямо величину 20 lg | Ф (г со) |, которая выражает уси­ ление в децибелах.

Изменение частоты в 2 раза обычно называется, согласно при­ нятой в акустике терминологии, изменением частоты на октаву. Изменение частоты в 10 раз называют изменением на декаду.

рассматриваемая как функция величины lg со, называется лога­ рифмической амплитудной частотной характеристикой системы.

Величина

рассматриваемая как функция величины lg со, называется лога­ рифмической фазовой частотной характеристикой системы.

В §§ 4.5 и 4.7 читателю станет ясно, почему логарифмические частотные характеристики особенно удобны для исследования ста­ ционарных линейных систем.

Комплексное число Ф (ісо) при каждом данном значении частоты со можно изобразить вектором на комплексной числовой плоскости (рис. 2.4.6). При изменении частоты со конец этого век­ тора опишет кривую, которая называется годографом частотной характеристики или амплитудно-фазовой характеристикой си­ стемы.

Амплитудно-фазовая характеристика системы представляет собой графическое изображение зависимости между амплитудной частотной и фазовой частотной характеристиками системы | Ф(ссо) | и ф (со) в полярной системе координат.

в декартовых координатах, откладывая по осям координат вели­

системы.

Подставляя выражение (2.4.28) в (2.4.25) и пользуясь известной формулой Эйлера, получим

оо

Но весовая функция w (g) действительна. Следовательно, ее мни­ мая часть равна нулю, и мы можем переписать полученную фор­ мулу в виде

—оо

Заметим теперь, что для физически возможной системы w (g) = = 0 при I < 0. Следовательно, полагая g > 0 и заменяя в (2.4.30) g на — I, можем написать

72 Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Складывая эту формулу с (2.4.30), получим

—oo

Совершенно таким же образом, вычитая (2.4.31) из (2.4.30), полу­ чим

Формулы (2.4.32) и (2.4.33) показывают, что физически воз­ можная стационарная линейная система полностью характери­ зуется одной своей действительной частотной характеристикой или одной мнимой частотной характеристикой. Зная действитель­ ную или мнимую частотную характеристику такой системы, можно найти по формуле (2.4.32) или (2.4.33) ее весовую функ­ цию, а следовательно, и любые другие характеристики.

Действительная и мнимая частотные характеристики системы связаны с ее амплитудной и фазовой частотными характеристика­ ми очевидными соотношениями (рис. 2.4.6):

Р (со) = I Ф (іа) I cos ф (со), Q (со) = I Ф (ісо) I sin г[з (со), (2.4.34) 1Ф (гео) \Z = P2(ю) + <?2 (ю), Ф (со) = a r c t g • (2.4.35)

При этом следует иметь в виду, что во второй формуле (2.4.35) сле­ дует взять значение арктангенса в первой четверти, если Р (со) >

ственно из рис. 2.4.6.

Многомерная стационарная линейная система полностью харак­ теризуется частотными характеристиками, определяющими про­ хождение гармонических колебаний от различных входов к раз­ личным выходам. При этом частотная характеристика многомер­ ной системы, соответствующая h-жу входу и к-му выходу, опреде­ ляет изменение амплитуды (усиление) гармонических колебаний и сдвиг фазы при прохождении их от h-го входа к к-му выходу при отсутствии возмущений на всех остальных входах.

§ 2.5. Определение характеристик стационарных линейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями

Рассмотрим подробнее стационарные линейные системы, пове­ дение которых описывается обыкновенными дифференциальны­ ми уравнениями. Сначала докажем, что любая система, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением

§ 2.5. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц . У РА В Н ЕН И Я М И 75

Формула (2.5.11) показывает, что характеристика реакции систе­ мы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с по­ стоянными коэффициентами, на показательное возмущение est не зависит от времени t. Это еще раз доказывает, что система стацио­ нарна.

Изложенное показывает, что для определения передаточной функции стационарной линейной системы, описываемой обыкновен­ ным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, следует заменить в этом уравнении оператор диф­ ференцирования dldt параметром s, входное возмущение х едини­ цей, а выходную переменную у неизвестной передаточной функ­ цией Ф (s) и решить полученное уравнение относительно Ф (s).

Формула (2.5.12) показывает, что передаточная функция стационарной линейной системы, описываемой обыкновенным диф­ ференциальным уравнением, представляет собой дробно-рацио­ нальную функцию параметра s. Корни характеристического уравнения (2.5.6) являются значениями параметра s, при которых знаменатель передаточной функции системы (2.5.12) обращается в нуль. Такие значения аргумента, при которых знаменатель дробно-рациональной функции обращается в нуль, называются полюсами этой функции. Таким образом, корни характеристиче­ ского уравнения (2.5.6) являются полюсами передаточной функции системы, описываемой уравнением (2.5.1). При значениях s, являю­ щихся полюсами передаточной функции, уравнение (2.5.5) не имеет решения вида (2.5.7).

Итак, мы доказали, что любая система, поведение которой опи­ сывается линейным дифференциальным уравнением с постоянны­ ми коэффициентами, линейна и стационарна, и нашли ее переда­ точную функцию.

Можно доказать и обратное положение: если поведение стацио­ нарной линейной системы описывается линейным дифференциаль­ ным уравнением, то все коэффициенты этого уравнения постоянны. Для доказательства достаточно заметить, что независимо от того, постоянны или переменны коэффициенты а0, at, . . ., ап, b0, blt . . .

. . ., Ьт уравнения (2.5.1), уравнение (2.5.5) вследствие стацио­ нарности системы имеет решение вида у = Ф (s) est, где Ф (s) — передаточная функция системы, не зависящая от времени t. Поэтому уравнение (2.5.5) будет удовлетворено, если положить в нем

Решая это уравнение относительно Ф (s), мы снова получим фор­ мулу (2.5.12). Так как левая часть формулы (2.5.12) не зависит от времени t, то и правая ее часть не может зависеть от времени.

Следовательно, все коэффициенты а0, аи . . ., ап, Ь0, Ъи . . ., Ът либо постоянны, либо представляют собой произведения постоян­ ных величин на одну и ту же функцию времени. В последнем слу­ чае исходное уравнение (2.5.1) можно сократить на эту функцию, после чего это уравнение будет уравнением с постоянными коэф­ фициентами. Таким образом, мы доказали, что если поведение стационарной линейной системы описывается дифференциальным уравнением, то это уравнение представляет собой линейное диффе­ ренциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нам будет удобно записывать дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами сокращенно в опера­ торной форме. Для этого введем полиномы

где D — dldt — оператор дифференцирования по времени. Фор­ мула (2.5.12) для передаточной функции системы примет вид

Для определения весовой функции системы, описываемой урав­ нением (2.5.1), достаточно выделить в выражении (2.5.12) пере­ даточной функции целую часть (если т > п), разложить дробную часть на элементарные дроби и после этого воспользоваться таб­ лицей преобразований Лапласа. В § 4.4 мы выведем общую фор­ мулу для весовой функции стационарной линейной системы дру­ гим методом.

Решая формально уравнение (2.5.15) относительно у, можем написать

Эта формула показывает, что оператор стационарной линейной системы, поведение которой описывается линейным дифферен­ циальным уравнением, можно символически выразить через ее передаточную функцию. Для этого достаточно заменить в выра­ жении передаточной функции системы аргумент s оператором

возмущение est будет практически выражаться одним первым сла­ гаемым в правой части формулы (2.5.20).

Для определения передаточной функции системы разделим формулу (2.5.20) на est:

У_____ Ът$т -|-frm-ism~14- ■.. 4-&iS-f-6o .

est a ns n ~\~a n - l sn~1 'Jr • • ■+ a is - b ao

+ Сіе<ѵі - 8)( + ... + cne^n-^t. (2.5.21)

Если действительные части всех разностей vt — s, . . ., vn — s отрицательны, то все показательные функции в (2.5.21) стремятся

системы, поведение которой описывается дифференциальным урав­ нением (2.5.1), существует только в области значений s, дейст­ вительные части которых больше действительных частей всех корней характеристического уравнения ѵ1( . . ., ѵп. Иными сло­ вами, передаточная функция этой системы существует только в по­ луплоскости комплексного параметра s, расположенной справа от вертикальной прямой, проходящей через корень характеристи­ ческого уравнения с наибольшей действительной частью (эта полуплоскость заштрихована на рис. 2.5.1). Левее этой прямой и на самой прямой передаточная функция не существует, несмотря на то что формула (2.5.12) формально определяет ее при всех зна­ чениях s, кроме точек ѵІ7 . . ., ѵ„. Этот вывод справедлив и в слу­ чае кратных корней характеристического уравнения, так как при

любом г > 0 произведение fe (Vk~s)t стремится к нулю при t оо, если действительная часть параметра s больше действительной части корня vh характеристического уравнения, и неограниченно возрастает, если действительная часть параметра s меньше или равна действительной части корня vh.

Из сказанного ясно, что частотная характеристика, представ­ ляющая собой значение передаточной функции на мнимой оси s = і(о, существует для рассматриваемой системы только в том случае, когда действительные части всех корней характеристиче­ ского уравнения отрицательны. В § 6.2 мы увидим, что это усло­ вие необходимо и достаточно для устойчивости системы. Таким образом, в соответствии с общим утверждением в конце § 2.3, частотная характеристика физически существует только для устой­ чивой системы, описываемой уравнением (2.5.1). При этом формула (2.5.12) при s = т формально определяет частотную характери­ стику для любой системы, поведение которой описывается диффе­ ренциальным уравнением (2.5.1).

§2.6. Элементарные стационарные линейные звенья

Всовременной теории линейных систем большую роль играют восемь типов простейших систем, обычно называемых элемен­ тарными звеньями. В §§ 2.2 и 2.4 мы уже познакомились с четырь­ мя типами элементарных звеньев, а именно с усилителем, диффе­ ренциатором, интегратором и запаздывающим звеном *). В § 2.4 мы видели, что усилитель с постоянным коэффициентом усиления к, дифференциатор, интегратор и запаздывающее звено являются стационарными линейными системами, передаточные функции

которых определяются формулами (2.4.14), (2.4.15), (2.4.17) и (2.4.13). Изменив обозначения в (2.4.13), мы перепишем эти формулы в виде

звеньев, передаточные функции которых определяются формулами

Звенья, передаточные функции которых определяются первыми двумя формулами (2.6.2), называются соответственно форсирую­ щим звеном первого порядка и форсирующим звеном второго по­ рядка. Звено, передаточная функция которого определяется третьей формулой (2.6.2), называется апериодическим звеном или

черкнуть, что эти элементарные звенья выполняют соответствующие опера­ ции идеально точно.