книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf170 |
Г Л . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
|
Подставляя сюда выражение (4.4.10) оператора Н*, получим
771 |
|
w (t, т) = 2 ( '- О* [bfc W * (*, t)l. |
(4.4.27) |
ь=о |
|
Заметим, что формулу (4.4.27) можно получить и непосредст венно применением формулы (4.2.4) для весовой функции после довательного соединения двух линейных систем. В результате, принимая во внимание (4.4.8), полупим
оо |
т |
оо |
V) (і, т) = j g(t, |
o)h(a, %) d a = y |
j g(t, a) bk (a) ö(h) (a — r) da. |
—oo |
k= Q |
—oo |
|
|
(4.4.28) |
Отсюда, применяя формулу (2.1.10), получаем формулу (4.4.27).
П р и м е р 4.4.1. Найти весовую функцию линейной системы, поведение которой описывается уравнением
«1 (О У+ «о (О У = X. |
(4.4.29) |
Согласно изложенному весовая функция рассматриваемой системы опре деляется как интеграл однородного линейного дифференциального уравнения
ot (<) g't (t, т) + a0 (г) g(t, т) = О,
удовлетворяющий условию
е(х, х)=-
а і (т ) '
Легко проверить, что этот интеграл выражается формулой
g ( t , т) = |
|
|
|
t |
|
1 |
|
Г |
Г а 0 ( о ) |
|
|
а і (т) |
ехр |
|
|
(4.4.30) |
Эту весовую функцию можно также рассматривать как функцию второго аргумента т при фиксированном t и определить как интеграл сопряженного линейного дифференциального уравненияl
lai т)Н -а0 (т)g(t, т) = 0,
удовлетворяющий условию
1 g(t, t) ai(f)
Весовая функция обратной системы получится, если в уравнении (4.4.29) рассматривать у как входную переменную, а х как выходную переменную
и |
заменить входную переменную |
у единичным импульсом б (t |
— т): |
|
g- (t, т) = аі (t) б' |
(t — т) + a0 (i) 6 (t — т). |
(4.4.31) |
at |
В частном случае постоянных коэффициентов а0 и а„, полагая |
а0 = 1/к, |
|
— Т/к, приведем уравнение (4.4.29) к обычному виду уравнения апериоди |
|||
ческого эвена: |
+ у = к х . |
(4.4.32) |
|
|
Т у |
||
|
|
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА В Н ЕН И Е М |
171 |
|
Формула (4.4.30) примет в этом случае |
вид |
|
|
t-т |
|
Я(*,т) = А . " |
Т . |
(4.4.33) |
Формула (4.4.31) для весовой функции обратной системы, которая представ
ляет собой форсирующее звено |
первого порядка, примет вид |
||||
|
g-(t, т) = -1 |
[ Г б '(« -т ) + |
б (1 -т)]. |
(4.4.34) |
|
П р и м е р 4.4.2. Найти весовую функцию системы, |
поведение которой |
||||
описывается линейным дифференциальным уравнением |
|
||||
|
у + 2ау + |
Ъ2у = keyt (х |
+ |
Ъх), |
(4.4.35) |
где а, Ъ, |
к и у — некоторые постоянные, 0 < |
а < |
Ь. Найти также весовую |
||
функцию |
обратной системы. |
|
|
|
|
Согласно изложенной теории находим сначала весовую функцию g ( t , т) системы, уравнение которой получается заменой всей правой части уравне ния (4.4.35) возмущением xt:
у + 2ау + Ъ2у = хі.
Эта весовая функция может быть определена как интеграл однородного
уравнения
g"t (f, т) + 2ag[ (t, т) + b2g (г, т) = 0,
удовлетворяющий условиям g (т, т) = 0, g't (т, т) = 1.
Этот интеграл находится обычным способом интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В результате,
полагая со0 = ~\/Ь2 — а2, получим
g ( t , Т) = _‘С ? .(<Г Т) [е < м о ( < - т ) _ е - ш о « - т ) ,
или, в действительной форме, |
|
g (<, т ) = — e“ a<*“ T>sin й)0 (< — т). |
(4.4.36) |
Що |
|
Эти формулы определяют весовую функцию колебательного звена. |
|
Для определения весовой функции w (г, т) системы, |
поведение которой |
описывается уравнением (4.4.35), применим формулу (4.4.27). В результате получим
w(t, |
x ) = , - k - L [ ey^g(t,x)] + kbefx g(t, т) = |
= |
^ — e - at+ a^ l ( b - a i + i coo) ex<0°(f ~ т> — (Ь— a t — і щ ) e - i« o ( t - T ) ]t (4.4 .37) |
|
äICOq |
где at = а -г у.
Для определения весовой функции обратной системы будем рассматри вать у в уравнении (4.4.35), как входное возмущение, a t — как выходную переменную и применим тот же метод. Сначала находим весовую функцию Р (і, т) упрощенной системы, уравнение которой получится, если в уравне нии (4.4.35) заменить всю левую часть одним возмущением у,:
кеУ1х + кЬеУ1х =
Это уравнение представляет собой частный случай уравнения (4.4.29), когда
172 |
Г Л . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
а0 («) = kbe{t,at (t) = keyt. Поэтому для определения весовой функции р (t, т) можно воспользоваться формулой (4.4.30). В результате получим
р (г, т) = - ^ е “ м+<ь- ^ т. |
(4.4.38) |
К |
|
Для определения весовой функции w~ (/, т) системы, обратной по отно шению к описываемой уравнением (4.4.35), воспользуемся формулой (4.4.27). Тогда получим
W- (t, %)= px (t, т)—2ар^ (f, т) + Ь2р (t, т). |
(4.4.39) |
При вычислении производных функции р (t, т) необходимо учесть, что фор мула (4.4.38) определяет ее только при t ^ т, а при t < т она тождественно равна нулю. Тогда получим
P'(t, т ) = - іеьі- ^ [ е<ь-ѵ>4 (г —т)]=
= |
е - ы + ф - ѵ)т! (, _ т)_ 1 в-Ы+(Ь-7)т f (г_ т). |
к |
к |
Учитывая, что б (t — т) = 0 при всех т Ф t, можно заменить в последнем слагаемом множитель ѵ>т величиной Ѵ)*, так как эт0 ничег0 не изме нит. В результате получим
P' (t, T)= b z L e-bt+(b-v)rl{t_ x)_ l _ e-yt6{t_ T)
Дифференцируя эту формулу по т, получим |
|
|
P'x (t, т )= (Ь~ Т)2 е-ь ж ь -у )т 1(<_ т)_ |
е-ѵ<б(г_ |
т) + _1 e-v* в' (*—X). |
Подставляя полученные выражения р'х |
т) и рт (*> |
т) в (4.4.39), после |
элементарных преобразований найдем следующее окончательное выражение
весовой функции w~ (г, т) |
при t ^ т: |
|
|
u)-(f, т) = 26(5---------------— о) — У£---------------(2Ъ |
2а |
у) е ы+(Ь-ч)т+і |
|
+ -Г |
[(2а—Ь + у) б (г— т)+ б' (1 — т)]. (4.4.40 |
||
К |
|
|
|
Применим теперь изложенную теорию к стационарным систе |
|||
мам. В этом случае по |
доказанному в § |
2.5 все коэффициенты |
|
а0, аи ..., ап, Ь0, Ъи ...,, |
Ът операторов F |
и Н постоянны. При |
этом удобно в явной форме показывать, что операторы F и Н являются полиномами относительно оператора дифференцирова
ния по времени D = d/dt, и писать, как в § 2.5, F(D) |
и H(D) |
вместо F и Н. Тогда уравнение (4.4.3) примет вид |
|
F(D)y = H{D)x. |
(4.4.41) |
Вследствие постоянства коэффициентов Ь0, Ъи ..., Ът формула (4.4.10) дает следующее выражение линейного дифференциального оператора, сопряженного с оператором Н :
т |
т |
H*(D)l= 2 |
( - 1 )hDk (bhl)= 2 bh( - D ) hl. (4.4.42) |
й=0 |
ft=o |
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА В Н ЕН И Е М |
173 |
Сравнивая эту формулу со второй формулой (4.4.4), |
приходим |
к выводу, что |
|
H*{D) = H {-D ). |
(4.4.43) |
Таким образом, для нахождения оператора, сопряженного с ли нейным дифференциальным оператором с постоянными коэф фициентами, достаточно изменить знаки всех коэффициентов перед производными нечетных порядков.
Найдем весовую функцию w(t — т) стационарной линейной системы, поведение которой описывается уравнением (4.4.41). Сначала найдем весовую функцию g(t — т) упрощенной системы, уравнение которой получится, если заменить в уравнении (4.4.41) правую часть возмущением Х\. На основании изложенной теории для этого достаточно найти интеграл уравнения (4.4.14), удов летворяющий условиям (4.4.15). Уравнение (4.4.14) в данном случае представляет собой уравнение с постоянными коэффи циентами:
F d |
) s ( t - ' ) |
= 0- |
(4-4.44) |
Пусть Ѵі, ..., ѵп — корни |
полинома |
F(v), |
которые мы для про |
стоты будем предполагать все различными, предоставляя читателю
самостоятельно рассмотреть случай кратных корней. |
Тогда общий |
интеграл уравнения (4.4.44) выразится формулой |
|
g(t — т) = ctevi‘-f с2еѴ2І + ... + cneV . |
(4.4.45) |
Для нахождения частного интеграла, удовлетворяющего усло виям (4.4.15), подставим выражение (4.4.45) в (4.4.15). Тогда получим следующие уравнения для определения постоянных
*"1 > • • • > с п •
сібѵіТ + с2еѵзТ+ .. . + спеѴпХ —О, c1v1evlT-f c2v2eV2T + . . . + cnvneVnX= О,
(4.4.46)
C iv"~2e vlT + |
с 2ѵ Г 2еѵаТ+ |
. . . + |
c nv l |
= |
c i v ? - ‘ e v i t + |
c2V2_ 1 eV2T+ |
. . . + |
c nVn_ 1 e VnT = - . |
Для решения этой системы уравнений умножим предпоследнее уравнение на ѵп и вычтем из последнего. Этим мы исключим из последнего уравнения неизвестную сп. И вообще, если мы вычтем по очереди из каждого последующего уравнения предыдущее, умноженное на ѵп, то мы исключим сп из всех уравнений, начиная со второго. В результате получим следующую систему п — 1
174 ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
уравнений:
Ci ('Vi— v„) еѵіТ + c2 (v2 — vn) ew + . . . + c„_j (v„_, — v„) ev«-‘T= 0,
с1 (v4— vn) Vjev»T+ c2 (v2 — vn) v2evat + ...
• . • + |
cn_! (v„_i — v n) ѵп_!еѵ« -іт = |
0 , |
Ci(vi — v„) v"~2ev‘T-j- c2 (v2 — v„) v2 |
V *T+ . .. |
|
•. • + |
Cn-i (v„-i — vn) \n-\eVn~iX= |
иП . |
Вычитая из каждого последующего уравнения, начиная с послед него, предыдущее уравнение, умноженное на ѵп-і, мы исключим из полученных уравнений величину сп_іПри этом в коэффициен
тах при неизвестных си |
с 2, ..., сп_2 появятся соответственно |
дополнительные множители |
vt — vn_t, v2 — vn_j, ..., v„_2 —vn_t. |
Продолжая этот процесс, мы по очереди исключим все неизвестные
сп, сп_і, |
сп_2 , |
. .. , с 2 и получим в результате одно уравнение с одной |
||||
неизвестной с4: |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
сі (vj — vn) (Vj— Vn-i) •. • (vi — v3) (v, — v2) eViT = — . |
|
||||
|
|
|
|
un |
|
|
Решая |
это |
уравнение, |
находим |
|
||
|
|
Ci |
|
.-Ѵ іТ |
|
|
|
|
a n (V1 |
Vn) (Vj v n _ 1) . . . (vt — Vo |
|
||
Ho |
|
|
|
|||
an(vi — vn)(v! — vn_j) ... (vt — v2) = F'(Vi). |
(4.4.47) |
|||||
|
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно разложить полином
F(v) на |
множители, продифференцировать |
полученное |
выраже |
ние по |
V и после этого положить ѵ = ѵ4. |
Пользуясь |
формулой |
(4.4.47), |
можем переписать полученную для |
формулу в виде |
е - ѵ іт
Cl “ F’ (vj) •
А так как уравнения (4.4.46) совершенно симметричны относи тельно неизвестных си . .. , сп, то из полученной формулы выте
кает следующая общая формула |
для |
коэффициентов |
'Cj, . .. , сп: |
|
е-ѵгт |
|
. . . , п). |
(4.4.48) |
|
сг “ Г ( ѵ г) |
(г = 1, |
|||
Подставляя выражение (4.4.48) в (4.4.45), получим |
|
|||
П |
1 evKt-T)_ |
(4.4.4Ѳ) |
||
|r(f_T) = 2 |
||||
F’ (vr) |
|
|
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА В Н Е Н И Е М |
175 |
Для нахождения весовой функции w(t — т) системы, описываеемой уравнением (4.4.41), воспользуемся формулой (4.4.26). Тогда, принимая во внимание (4.4.43), получим
И < - . ) = я ( — £ ) * < < - т ) = 3 |
(4-4.50) |
Т—і |
|
При пользовании формулами (4.4.49) и (4.4.50) следует иметь
ввиду, что при тѣ<У п они определяют весовые функции g(t — т)
иw(t — т) только при £>т, а при t <у т эти весовые функции равны нулю. Если ттг>п, то формула (4.4.50) выражает w(t — т) только при t > т. Чтобы определить w(t — т) и при t = т, в этом
случае |
необходимо добавить линейную комбинацию функций |
б(t — т), |
б'(t — т),..., б'"-”1’ (t — т) с соответственно определен |
ными коэффициентами. Для нахождения этих коэффициентов достаточно применить общую формулу (4.4.27), выполнив в ней дифференцирования с учетом разрывов дифференцируемых функ ций, как это сделано в примере 4.4.2.
|
|
П р и м е р |
4.4.3. Найти по формуле (4.4.49) весовую функцию колеба |
||||||||||||||
тельного |
звена. |
Подставляя |
в формулу |
(4.4.49) |
выражение |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
F (s) = -^ (s2 + 2as+62) |
|
|
|
|
|||||||
и имея в виду, |
что корни этого |
полинома |
равны |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
V, = |
—а + ісо0, |
ѵ2 = |
—а — ісо0, |
где ш0 = |
У Ь 2 — а2, |
|
||||||||
и что |
|
|
|
|
2ісо0 |
|
|
|
|
2іщ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
F' |
|
|
F ' (v2) = |
— |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(ѵі) = |
|
|
|
ИГ ’ |
|
|
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g |
(f . |
|
k |
e-o (i-T ) |
rei(00(i-T) |
_ |
e~ |
ішо(і-т), |
= |
|
|
|
|
||||
|
т)' — 2іш0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Это выражение при к = 1 |
|
|
|
|
|
(D0k g-a(t-T) |
s in (O0(t — T). |
(4.4.51) |
|||||||||
совпадает с найденным в примере 4.4.2. Полагая |
|||||||||||||||||
в соответствии с § 2.6 Ъ = |
1/Т, |
|
а = У Т и включая множитель Тг в коэффи |
||||||||||||||
циент к, |
приведем формулу |
(4.4.51) к |
виду |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
|
—ѵ ^ -т) |
|
т/ l — гг |
{ t - т). |
(4.4.52) |
|||||
|
|
|
g ( |
t - т) = -------- т |
= = |
- е |
1 |
sin ѵ \ |
ь |
||||||||
|
|
|
|
|
т Ѵ i - S 2 |
|
|
|
|
|
т |
|
|
||||
|
|
П р и м е р |
4.4.4. |
Найти |
|
весовую функцию |
стационарной линейной |
||||||||||
системы, |
поведение которой описывается |
уравнением |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
у |
а у |
|
+ |
Ь2у = к (х |
|
Ьх), |
|
|
(4.4.53) |
||
где |
6 > |
а > 0. |
Замечая,+ |
что |
|
в |
данном |
случае |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Н (s) = |
к (s + Ъ), |
|
F (s) = |
s2 + 2as + b2, |
|
І76 |
ГЛ . |
4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
|
|||
находим_корни |
полинома F (s): |
|
|
||||
|
Vi = —а + |
i(D0> |
ѵ2 - |
—а — ісо„, где ш0 = |
~\/Ьг — а2. |
|
|
Так как в данном случае |
|
|
|
|
|||
|
F (ѵі) = |
2ісо0, |
|
F' (v2) — —2гсо0, |
|
||
|
Н (Ѵі) = |
к (Ь — а + |
гсо0), Н (ѵ2) — U (Ъ — а — іщ), |
|
|||
то формула (4.4.50) |
дает |
|
|
|
|
||
",( І _ т ) = 2 І ^ е_а<І” Т Кь- |
а + |
г“ о) ві“0( * - « _ ( ь _ в - і ш 0) в- <“о(*-х)] |
(4.4.54) |
||||
или, |
в действительной форме, |
|
|
|
|||
|
и> (і — т) = — е-а(<-т) [(Ь—а) sin со0 (£ — т) + со0 cos ш0 (£ — т)]. |
(4.4.55) |
|||||
|
|
<00 |
|
|
|
|
|
|
Формула (4.4.54) является, |
конечно, частным случаем формулы (4.4.37), |
так как уравнение (4.4.53) получается как частный случай уравнения (4.4.35) при у = 0 .
§ 4.5. Линейная система, описываемая системой дифференциальных уравнений
На практике поведение линейной автоматической системы обычно описывается не одним обыкновенным дифференциальным уравнением, а системой таких уравнений. При этом каждое из уравнений r-го порядка, входящее в систему, можно заменить системой г дифференциальных уравнений первого порядка. Такая замена удобна, например, при решении дифференциальных уравнений на аналоговых или цифровых вычислительных маши нах. Таким образом, мы должны рассмотреть методы определе ния весовых функций автоматических систем, описываемых систе мой дифференциальных уравнений вида
« |
|
= S aklyi + xh (А:= 1, . . ., п). |
(4.5.1) |
г=і |
|
Если автоматическая система описывается уравнениями (4.5.1), то ее можно рассматривать как систему с п входами и п выходами При этом, конечно, не обязательно на все входы должны быть поданы входные сигналы и не обязательно все выходы могут интере совать исследователя. Функция хѵ представляет собой входной сигнал на ѵ-м входе, а у^ — выходной сигнал на ц-м выходе.
Покажем прежде всего, каким образом можно заменить одно дифференциальное уравнение r-го порядка системой г дифферен циальных уравнений первого порядка, не содержащих производ ных от входного сигнала. Рассмотрим дифференциальное уравнѳ ние
уІП + |
+ ... + аіу + а0у = |
=br. ]xir~v + ... + biX + box (4.5.2)
§ 4.5. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ СИСТЕМОЙ У РА В Н Е Н И Й |
177 |
В этом уравнении коэффициент при старшей производной выход ной переменной положен равным единице, что, очевидно, не уменьшает общности, так как если этот коэффициент не равен нулю, то на него можно разделить обе части уравнения. Положим у 1 = у и запишем следующую систему г уравнений первого порядка:
Уі = У2 + Уіх ,
Уг — Уз+ Qzx »
(4.5.3)
У г -2 — У г-1 + Чт-2х і
Ут -і = У т - { - У т - іх ,
У т = — а о У і — а і У г — . . . — а т- і у т+ q Tx ,
где <7v(v = 1, n) — неопределенные пока переменные или постоянные коэффициенты. Определим коэффициенты qv таким образом, чтобы система уравнений (4.5.3) была эквивалентна одному дифференциальному уравнению (4.5.2). Для этого исклю чим из уравнений (4.5.3) все переменные, кроме = у. Сначала исключим из последнего уравнения ут. Для этого подставим выра жение уг из предпоследнего уравнения (4.5.3) в последнее урав нение:
Ут- 1 + а г —іУт —1 + |
Яг-гУг-І = |
= — аоУі — О-іУг |
ат. 3ут-2 + d (qT-ix) + ar-iqT-ix + Ятх- (4.5.4) |
Чтобы исключить переменную уг-і, подставим в (4.5.4) выражение
yr-i |
из третьего снизу уравнения (4.5.3). После этого из получен |
ного уравнения аналогичным способом можно будет исключить |
|
У г - 2. |
Продолжая таким образом исключать переменные, мы при |
дем к следующему уравнению, содержащему лишь одну перемен
ную |
Уі = у: |
|
|
|
|
|
У(г)+ |
йг-іу^-Ѵ + |
. . . + |
аху + а0у = |
|
|
|
|
|
dr-1 |
|
|
|
|
|
|
с/й“1 (qix) + |
|
|
|
|
|
+ вг- 1 ■*tr-2 |
ІЯіх) + |
d t r - 2 |
(9zx) + |
|
|
|
+ Яг-2 |
dr-3 |
(1lX) + ° r -1 |
dr-3 |
dr- 3 |
. |
|
d'tr=r |
d t r - 3 |
( l 2 x ) + d t r - 3 |
(Язх ) + 21 |
12 Под ред. В. С. пУгачева
178 |
ГЛ . |
4. |
С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
||
+ Ч |
(?!*) + |
а3 |
(g2 z) + я4 |
(дз®) + • • • + |
|
|
|
+ ar - 1 |
d (gr-a®) + |
d (gr-i®) + «igi®+ |
|
|
+ |
a2q2x + |
a3q3x 4 - ... |
4 - aT^2qT-2x + a ^ q ^ x 4 - qTx. (4.5.5) |
Левая часть этого уравнения тождественна левой части уравнения (4.5.2). Теперь надо выбрать коэффициенты qv(v — 1, ..., гг) так, чтобы правые части уравнений (4.5.5) и (4.5.2) также совпадали. Для этого следует приравнять коэффициенты при производных входной переменной х одинакового порядка в правых частях (4.5.5) и (4.5.2) и решить полученные уравнения относительно неизвест
ных коэффициентов дѵ(ѵ = 1 , ..., |
п). |
|
|
||
Заметим, что х{Т~1) входит только в первую строчку правой |
|||||
части уравнения |
(4.5.5), |
a:<r“2, — только в |
первые две строчки, |
||
з-с-З) — в первые |
три строчки и |
т. д. Поэтому |
коэффициент qt |
||
определяется сразу: q^ = |
Ът-j. После этого коэффициент q2 выра |
||||
жается через коэффициенты qit ат и &г_2. |
Затем определяется |
||||
коэффициент q3 и т. д. |
Таким |
образом, |
все |
коэффициенты |
|
qv (ѵ = 1 , . . ., п) |
определяются последовательно. |
При этом каж |
дый последующий коэффициент определяется через предыдущие.
Полагая теперь в (4.5.3) |
|
* |
|
qvx = xv |
(ѵ = |
1 , . . ., гг), . |
(4.5.6) |
приведем уравнения (4.5.3) к виду (4.5.1). |
|
||
П р и м е р 4.5.1. Заменить |
дифференциальное |
уравнение |
|
у 4- а д 4- |
а0у = |
Ъхх 4- Ъ2х |
(4.5.7) |
эквивалентной системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Согласно изложенному |
полагаем гц = |
у и |
пишем уравнения |
|
|
У і==i/г 4~ я |
|
|
(4.5.8) |
|
|
|
|
|
|
Уг— — а йУ\ — |
+ |
|
|
Исключая у2 , получаем |
|
|
|
|
Ѵ + а д + ад — |
(gix) + aiglx + q2x = q1x 4-(ffi 4-«iffi 4- ffe) |
(4.5.9) |
||
Приравнивая коэффициенты при х и х |
в правых частях уравнений |
(4.5.7) |
||
и (4.5.9), получаем |
Зі = &і. |
|
1 |
|
|
. |
(4.5.10) |
||
|
|
\ |
Покажем теперь, как определяются весовые функции автомати ческой системы, описываемой системой дифференциальных урав нений (4.5.1). Так как такая система имеет п входов и п выходов,
§ 4.5. СИСТЕМ А, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ СИСТЕМОЙ У РА В Н Е Н И Й |
179 |
то, согласно изложенному в § 2.2, для ее полного описания необ
ходимо |
определить совокупность п? |
весовых функций ghh (t, |
т) |
||||
(к, h = |
і, . . ., п), |
соответствующих |
всем входам и всем выхо |
||||
дам. Для определения весовых функций gkn (t, т) (к = |
1, . . |
п) |
|||||
необходимо проинтегрировать систему (4.5.1) |
при |
|
|
||||
xh — б (t — т), |
хч = О |
(ѵ = 1, |
. . ., h —1, |
h + |
1, . . ., |
п). |
При этом весовой функцией ghh (t, т) будет являться переменная на ä;-m выходе системы. Импульсную б-функцию, входящую в h-ю строку системы, можно заменить единичным начальным значе нием h-й переменной уи, так как при интегрировании б-функции возникает единичный скачок. Иными словами, для определения весовой функции ghh (t, т) как функции первого аргумента при фиксированном втором надо интегрировать однородную систему дифференциальных уравнений
П
-jfghhV, т) = 2 |
ahi(t)'gih(t, |
X) |
{к = 1, ... , п) |
(4.5.11) |
г=і |
|
|
|
|
при начальных условиях |
|
|
|
|
ghh (*, т) = |
1, ghh (т, т) |
= |
0 при к ф к |
(4.5.12) |
и наблюдать к-ю переменную.
Для определения весовой функции ghh (t, т) как функции вто рого аргумента воспользуемся методом сопряженных систем, изложенным в § 4.3. Для простоты рассмотрим сначала систему двух дифференциальных уравнений первого порядка
Уі — а1іУі Н~ а12У2 + хи
(4.5.13)
У2 = О21У1 -Г а22У2 + х2-
Структурная схема такой системы изображена на рис. 4.5.1. Поль зуясь правилами, сформулированными в § 4.3, построим сопря женную систему (рис. 4.5.2). Как показано в § 4.3, чтобы опре делить весовую функцию системы как функцию второго аргумента т, необходимо моделировать сопряженную систему в обрат ном времени о = t — т, подав на соответствующий вход единич ный импульс б (о). Так, если нас интересует первый’выход систе мы, то надо подать б-функцию б (о) на первый вход сопряженной системы. Тогда переменная zt (о) на первом выходе сопряженной системы будет представлять собой весовую функцию gti (t, t — а), связывающую первый вход с первым выходом системы, а z2 (о) — весовую функцию g12 (t, t — а), связывающую второй вход с пер вым выходом системы. Если б-функцию б (о) подать на второй вход сопряженной системы, то переменная zx (а) будет представ-
12*