книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

нение имеет кратные корни, то весовая функция системы пред­ ставляет собой линейную комбинацию произведений показатель­ ных функций на полиномы. Обозначая и в этом случае через наибольшую из действительных частей корней характеристиче­ ского уравнения, выразим весовую функцию системы форму­ лой (6.2.3). При этом функция ср будет представлять собой сумму произведений полиномов на показательные функции с отрица­ тельными действительными частями показателей и, следователь­ но, будет непрерывной ограниченной функцией. Таким образом, весовая функция стационарной линейной системы, поведение кото­ рой описывается дифференциальным уравнением, всегда может

Пользуясь теоремой о среднем и выполняя интегрирование, получим

теристическое уравнение не имеет ни одного кратного корня с дей­ ствительной частью ccj, н неограниченно возрастает при Е —>-оо, если характеристическое уравнение имеет кратные корни с дей­

il атом можно убедиться, выполнив интегрирование в (6.2.6) при а ( = е = 0, после выноса функции <р (|) за знак интеграла сродним значением.

232 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Таким образом, мы доказали, что стационарная линейная система, поведение которой описывается обыкновенным дифферен­ циальным уравнением, устойчива тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные

нием (6 .2 .1 ), устойчива тогда и только тогда, когда все полюсы ее передаточной функции

лежат в левой полуплоскости комплексной переменной s. Доказанное утверждение позволяет свести задачу исследова­

ния устойчивости стационарных линейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями, к чисто алгебраической задаче нахождения условий, которым должны удовлетворять коэффи­ циенты полинома для того, чтобы все его корни имели отрицатель­ ные действительные части. Такие условия были впервые найдены в 1877 г. Раусом [59]. Другая форма условий, которым должны удовлетворять коэффициенты полинома для того, чтобы все дей­ ствительные части его корней были отрицательными, была най­ дена Гурвицем, работа которого была опубликована в 1895 г. [16]. Мы приведем здесь условия Рауса и Гурвица без доказательств.

Для того чтобы дать условия Рауса и Гурвица в общепринятой форме, мы несколько изменим обозначения коэффициентов, кото­ рые мы применяли в §§ 2.5 и 4.4, и представим полином F (s) в виде

Докажем прежде всего, что для того, чтобы полином F (s) имел только корни с отрицательными действительными частями, необходимо, чтобы все его коэффициенты имели один и тот же знак. Так как от перемены знаков всех коэффициентов корни полинома не изменяются, то достаточно рассмотреть случай, когда а0 > 0. На основании известной теоремы алгебры полином F (s) может быть выражен в форме

Из алгебры известно, что корни полинома с действительными коэф­ фициентами или действительны, или являются попарно сопря­ женными комплексными величинами. Для отрицательного дей­ ствительного корня ѵг = —а

s — vr = s + а.

Для двух комплексных сопряженных корней с отрицательными действительными частями ѵг — —а + iß, ѵг + 1 = —а — iß

(s — vr) (s — vr+1) = [s — (—а + iß)] [s — (—а — iß)] =

= sa -j- 2as + a 2 + ß2.

Таким образом, полином F (s) является произведением линейных двучленов и квадратных трехчленов с положительными коэффи­ циентами. Отсюда следует, что все коэффициенты полинома F (s) положительны, что и требовалось доказать. Образуем теперь матрицу

по следующему закону. Элементами нижней строки являются коэф­ фициенты полинома F (s) с четными номерами. Элементами второй снизу строки являются коэффициенты полинома F (s) с нечетными

Элементы стопределяются теми же формулами (6.2.12), в которых величины а и Ъ заменены соответственно величинами b и с. И так, далее, элементы каждых двух последующих строк выражаются через элементы двух предыдущих строк формулами (6 .2 .1 2 ).

Раус доказал, что для того, чтобы действительные части всех корней полинома F (s) были отрицательными, необходимо и доста­ точно, чтобы все элементы первого столбца матрицы (6 .2 .1 1 ) были

Таким образом, для системы, поведение которой описывается дифферен­ циальным уравнением первого порядка, условие одинаковости знаков коэф­ фициентов уравнения не только необходимо, но и достаточно.

П р и м е р 6.2.2. В случае уравнения (6.2.1) второго порядка

F (s) = a0s2 + ais + а2,

Раскладывая определитель (6.2.18) по элементам последнего

Таким образом, условие положительности определителя Д„ может быть заменено условием положительности последнего коэффициен­ та ап. Тогда получим следующие условия устойчивости:

Условия устойчивости (6.2.21) принимают в этом случае найденную ранее

видеть, сводятся к найденным ранее неравенствам (6.2.17).

Приведенные примеры показывают, что критерии устойчиво­ сти Рауса и Гурвица по существу равноценны. Однако вычисление величин ЬГ, ст, . . . по формулам (6 .2 .1 2 ) обычно бывает значи­ тельно проще, чем вычисление определителя Гурвица и его миноров.

Легко видеть, что первые четыре диагональных минора опре­ делителя Гурвица Аі, Аз, Аз, A4 равны соответственно величинам яь Ъо, Ьи Cfl/aj. Остальные диагональные миноры определителя Гурвица также выражаются через элементы матрицы (6 .2 .1 1 ).

§ 6.3. Устойчивость стационарных линейных систем. Критерий Найквиста. Запасы устойчивости

Изложенные в предыдущем параграфе аналитические методы исследования устойчивости Рауса и Гурвица удобны в случае, когда поведение стационарной линейной системы описывается дифференциальным уравнением сравнительно невысокого поряд­ ка. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями

236 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И К А Ч Е С Т В О Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

высоких порядков, исследование устойчивости по критериям Рауса и Гурвица требует громоздких и трудоемких вычислений. Кроме того, само нахождение дифференциального уравнения сложной системы связано с громоздкими выкладками и трудоем­ кими вычислениями. Между тем, как мы видели в § 4.6, частотные характеристики легко находятся для любых сколь угодно сложных систем простыми графическими и алгебраическими операциями. Поэтому, естественно, возникает вопрос, нельзя ли непосредствен­ но по частотным характеристикам системы определить, устойчива она или нет. Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Осо­ бенно удобным с практической точки зрения является критерий Найквиста [45]. Его мы здесь и изложим.

Очевидно, что при любых последовательных и параллельных соединениях устойчивых систем всегда будет получаться устой­ чивая система. Если же среди соединяемых последовательно или параллельно систем имеется хотя бы одна неустойчивая, то и вся система, полученная в результате соединения, будет неустойчи­ вой. Поэтому исследование устойчивости любой линейной системы, полученной путем последовательного и параллельного соедине­ ния любого количества элементарных систем, сводится к исследо­ ванию устойчивости отдельных элементарных систем, входящих в состав этой системы. Для элементарных звеньев эта задача решается совершенно просто изложенными в предыдущем пара­ графе методами. При этом легко определяются все нули и полюсы передаточных функций элементарных звеньев. Зная полюсы передаточных функций элементарных звеньев, легко определить, какие полюсы в правой полуплоскости будет иметь передаточная функция системы, полученной путем последовательных и парал­ лельных соединений этих звеньев, в случае, если она неустойчива. Таким образом, для полного исследования устойчивости сложных стационарных линейных систем остается исследовать влияние на устойчивость обратных связей. При этом, очевидно, достаточно рассмотреть только случай жесткой отрицательной обратной связи, так как гибкая обратная связь по доказанному в § 4.7 простыми структурными преобразованиями сводится к жесткой. Эту задачу решает критерий Найквиста, который позволяет, зная, какие полюсы имеет передаточная функция системы в правой полуплоскости и на мнимой оси, решить вопрос о том, устойчивой или неустойчивой будет система при замыкании ее жесткой отри­ цательной обратной связью.

Передаточная функция Ф (s) стационарной линейной системы приводит в соответствие каждому значению ее аргумента s ком­ плексное число ф = Ф (s), которое может быть изображено на ком­ плексной числовой плоскости ф. При изменении s изображающая это число точка будет описывать на плоскости комплексной пере-

менной s некоторую кривую С (рис. 6.3.1, а). При этом соответ­ ствующая точка ф = Ф («) будет описывать некоторую другую кривую Г в плоскости переменной ф (рис. 6.3.1, б). Таким обра­ зом, передаточная функция Ф (s) устанавливает отображение комплексной плоскости переменной s на плоскость переменной ф.

замкнутую кривую С по ходу часовой стрелки. На рис. 6.3.1 видно, что для любой точки а, лежащей вне области, ограниченной кри­ вой С, изменение аргумента комплексного числа s — а в резуль­ тате обхода точкой s кривой С равно нулю. Для любой точки у, лежащей внутри области, ограниченной кривой С, вектор, изобра­ жающий комплексное число s — у, поворачивается по часовой стрелке на угол 2 я при обходе точкой s кривой С, и, следовательно, аргумент комплексного числа s — у изменяется при этом на —2 я.

Предположим теперь, что функция Ф (s) имеет внутри области,

где Ф (s) не имеет ни нулей, ни полюсов в области, ограниченной кривой С, и на самой кривой С. При обходе точкой s кривой С по ходу часовой стрелки аргумент числителя в (6.3.1) получает приращение — 2nh, а аргумент знаменателя получает прираще­ ние — 2пі. Следовательно, аргумент дроби в (6.3.1) изменится на 2л (I — h). Аргумент функции ¥ («) при этом не изменится. Таким образом, при обходе точкой s кривой С по часовой стрелке аргу­

238 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

нулей и I полюсов и не имеет ни нулей, ни полюсов на кривой С, то при обходе точкой s кривой С по часовой стрелке соответствую­ щая точка ер = Ф (s) обходит начало координат по часовой стрел­ ке h — I раз.

Применим теперь доказанное предложение к передаточным функциям стационарных линейных систем с обратными связями. Рассмотрим стационарную линейную систему с передаточной

О

Рис. 6.3.2. Рис. 6.3.3.

полуплоскости и на мнимой оси. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы знаменатель 1 + Ф (s) дроби (6 .3 .2 ) не имел нулей в правой полуплоскости и на мнимой

можно пользоваться плоскостью переменной Ф (s), помня при этом, что роль начала координат в этом случае играет точка —1 . Возьмем на плоскости переменной s контур CR, состоящий из отрез­ ка мнимой оси (—Ш, Ш) и полуокружности большого радиуса R (рис. 6.3.2). Так как при любом R функция Ф (s), а следователь­ но, и функция 1 -- Ф (s) не имеют полюсов на контуре CR и в огра­ ниченном им полукруге В в , то при обходе точкой s этого контура точка Ф (s) обходит точку —1 по ходу часовой стрелки столько раз, сколько нулей имеет функция 1 + Ф (s) в полукруге B R. А так как это справедливо при любом R, то можно перейти к пре­ делу при R -> оо. Таким образом, число нулей функции 1 + Ф (s) в правой полуплоскости равно числу обходов по часовой стрелке

амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы точ­

ки — 1 .

Из сказанного следует, что в случае устойчивой разомкнутой системы для устойчивости замкнутой системы необходимо и доста­ точно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку — 1 и не проходила через нее (рис. 6.3.2). В этом и состоит критерий Найквиста для случая устойчивой разомкнутой системы. На рис. 6.3.3 изображена амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы в слу­ чае неустойчивой замкнутой системы. Амплитудно-фазовая харак­ теристика разомкнутой системы в этом случае обходит точку — 1 по часовой стрелке два раза. Следовательно, передаточная функция замкнутой системы имеет два полюса в правой полу­ плоскости.

Перейдем теперь к случаю неустойчивой разомкнутой системы. Предположим, что передаточная функция разомкнутой системы Ф (s) имеет к полюсов в правой полуплоскости и не имеет полюсов на мнимой оси. В этом случае функция 1 + Ф (s) также имеет к полюсов в правой полуплоскости. Следовательно, чтобы функция 1 + Ф (s) не имела нулей в правой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы кривая Ф (гео) обходила точку —1 против часовой стрелки к раз.

Таким образом, если передаточная функция разомкнутой систе­ мы Ф (s) имеет к полюсов в правой полуплоскости, то для устойчи­ вости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ампли­ тудно-фазовая характеристика разомкнутой системы обходила точку — 1 против часовой стрелки к раз.

Заметим теперь, что амплитудно-фазовые характеристики всех систем с действительными параметрами, а только такие системы и встречаются в задачах практики, симметричны относительно действительной оси. Поэтому достаточно рассматривать только одну половину амплитудно-фазовой характеристики, соответст­ вующую изменению частоты со от нуля до оо и считать полуобходы амплитудно-фазовой характеристикой точки —1 .

Чтобы дать общую формулировку критерия устойчивости Найквиста, условимся считать каждое пересечение амплитудно­ фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка действи­ тельной оси (—оо, —1 ) сверху вниз за + 1 пересечение, а каждое пересечение снизу вверх — за —1 пересечение. Тогда общее число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка (—оо, —1 ) будет равно разности между числом пересечений сверху вниз и числом пересечений снизу вверх. При этом условии каждому обходу амплитудно-фазовой характеристи­ кой разомкнутой системы точки — 1 против часовой стрелки соответствует одно пересечение отрезка действительной оси ('~°°! —1). Если амплитудно-фазовая характеристика разомкну