книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf130 ГЛ . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А В ТО М А ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ
При наличии момента нагрузки скорость вращения якоря замед ляется до такой величины, которая необходима для создания вра щающего момента, равного моменту нагрузки. Разность QM— Q называется скольжением асинхронного двигателя. При постоян ном моменте нагрузки скольжение постоянно и скорость враще ния якоря также постоянна. Для изменения направления враще ния ротора достаточно изменить фазу управляющего напряже ния на 180°.
Намагничивающая сила вращающегося ротора взаимодей ствует с намагничивающей силой статора так же, как намагни
I |
О Uß о ---------. |
чивающая сила неподвижного |
ротора, |
|||||
если токи в неподвижном роторе оста |
||||||||
івL |
—1 |
|||||||
1 |
ются по величине и фазе (относительно |
|||||||
--Ѵ-Л-А“.АО-Л-У |
э. д. с.) теми же, что и при вращении. |
|||||||
|
|
Это позволяет представить ротор в виде |
||||||
|
|
неподвижной двухфазной обмотки. Маг |
||||||
|
|
нитная |
ось |
одной |
фазы такой эквива |
|||
|
|
лентной |
обмотки |
ротора |
параллельна |
|||
|
|
магнитной |
оси обмотки |
возбуждения |
||||
|
|
статора, ось другой фазы |
параллельна |
|||||
|
|
магнитной |
оси управляющей |
обмотки |
||||
статора (рис. 3.14.2). Пользуясь, как |
и везде, стандартными обо |
|||||||
значениями для токов и чисел витков |
обмоток с соответствующи |
|||||||
ми индексами, можем написать следующее выражение магнитного
потока, создаваемого обмоткой возбуждения |
и эквивалентной |
обмоткой ротора: |
|
ір^в+ Чр^р |
(3.14.1) |
Ф рв -- |
где, в дополнение к стандартным обозначениям, і1р — ток в пер вой фазе эквивалентной обмотки ротора, R M— магнитное сопро тивление в цепи магнитного потока. Аналогичной формулой опре деляется магнитный поток, создаваемый обмоткой управления и эквивалентной обмоткой ротора:
ф■ру— js , (3.14.2)
где г2р — ток во второй фазе эквивалентной обмотки ротора.
Обычно wy — wB — wc, т. |
е. обмотки статора одинаковы. |
|
Вращающий момент М вѵ является результатом взаимодействия |
||
тока г1р с потоком Ф ру и тока г2р с потоком Ф р в : |
||
М в р = |
М7р (Іір Ф р у |
^2рФ рв)- |
Подставляя сюда выражения потоков (3.14.1) и (3.14.2), получим
М вр = М (чр&у ^2р^в)> |
(3.14.3) |
где М = WpWc/RM— коэффициент взаимной индукции.
§ 3.15. Д Л И Н Н Ы Е Л И Н И И |
131 |
Пренебрегая потоками рассеяния, реактивным сопротивле нием обмоток статора и ротора, влиянием обмоток ротора на об мотки статора и э. д. с., наведенной обмоткой управления в роторе при его вращении, и учитывая (3.14.1) и (3.14.2), можем записать уравнения, описывающие процессы в обмотках статора и ротора, в виде
uBXCosco< = іуДо C/o sin art = iBRc,
[(3.14.4)
М ^ - = І1РДРІ M ^ - = i2vR » - M Q is,
где wBXcos cüt и Uo sin art — соответственно управляющее напря жение, модулированное входным сигналом ивх, и напряжение возбуждения. Решая уравнения (3.14.4) относительно гв, гу, і1р, і2р и подставляя результат в (3.14.3), получим следующее выраже ние для вращающего момента:
М2(Ы70
Мвр— ЯрЧ
Учтем теперь, что ротор двигателя, вследствие своей инерцион ности, практически не будет реагировать на колебания вращаю щего момента удвоенной несущей частоты 2а>. Вследствие этого в (3.14.5) можно пренебречь колеблющейся составляющей вращаю щего момента. Тогда для вращающего момента получим выраже ние, аналогичное выражению (3.13.2). Следовательно, работа двигателя переменного тока описывается уравнением (3.13.7), в котором
ия — ивх, |
, |
2MW o |
|
Кі~ 2RvRlcT + MW% » |
|
||
|
(3.14.6) |
||
2ДрД% |
|
2JRvRl |
|
|
|
||
К° 2ДрД|ст+ М Ю \ ’ |
|
1 _ 2RpR*cT + MZU%- |
|
§3.15. Длинные линии
Всовременных системах автоматического управления отдель ные блоки и агрегаты часто располагаются на значительных рас стояниях друг от друга. Для соединения элементов в единую систему широко применяются специальные линии передачи сигна лов. Для этого используются двухпроводные или однопроводные линии, экранированные кабели, фидеры и волноводы. У подобных элементов основные электрические характеристики — сопротив ление, емкость, индуктивность — не сосредоточены в каких-то отдельных частях, а распределены непрерывно вдоль линии. Такие элементы обычно называются элементами с распределенными
9*
132 ГЛ . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ
параметрами. К элементам с распределенными параметрами можно также отнести различные линии задержки.
Строго говоря, почти все реальные элементы, входящие в со став систем автоматического управления, также представляют собою элементы с распределенными параметрами. Но в подавляю щем большинстве случаев реальный элемент можно с достаточной степенью точности заменить упрощенной моделью — системой с сосредоточенными параметрами и идеальными линиями связи,
вкоторых отсутствуют потери энергии и запаздывание при прохож дении сигналов. Такая замена дает возможность определить дина мические характеристики элемента с достаточной точностью лишь
втом случае, когда эквивалентное сопротивление всех линий связи достаточно мало по сравнению с эквивалентным сопротивлением соединяемых ими деталей. Все перечисленные выше элементы характерны тем, что они представляют собой чистые линии связи, у которых распределение параметров вдоль линии существенно влияет на их динамические свойства. Подобные элементы, так же как и элементы, у которых параметры распределены непрерывно вдоль поверхности или по объему, необходимо рассматривать как системы с распределенными параметрами.
Проводные линии связи, кабели, фидеры, волноводы и линии задержки представляют собой различные типы так называемых длинных линий и описываются одними и теми же уравнениями. Поэтому мы будем определять динамические характеристики длинной линии независимо от ее конкретной технической реали
зации.
Всякая длинная линия характеризуется следующими распре деленными по ее длине параметрами: активным сопротивлением, индуктивностью, емкостью и активной проводимостью между проводами линии, обусловленной наличием определенного конеч ного омического сопротивления их изоляции и промежутка между ними. В общем случае эти параметры могут быть распределены по длине линии неравномерно. Такие линии называются неодно родными. Если перечисленные параметры распределены вдоль линии равномерно, то линия называется однородной. На практике в подавляющем большинстве случаев применяются только одно
родные длинные линии.
Обозначим через R, L, С и G соответственно омическое сопро тивление, индуктивность, емкость и межпроводную проводимость единицы длины однородной линии. Напряжение и ток в каждом сечении линии будут функциями времени t и координаты сечения х: и = и (t, х), і = і (t, х). Условимся считать, что началу линии соот ветствует X = 0, а концу — X = I, где I — полная длина линии.
Для составления системы дифференциальных уравнений, опи сывающих длинную линию, представим ее бесконечно малый отрезок длины dx упрощенной моделью, изображенной на
§ 3.15. Д Л И Н Н Ы Е Л И Н И И |
133 |
рис. 3.15.1. Изменение напряжения между проводами линии от сечения х до сечения x-\-dx произойдет из-за падения напряжения на активном сопротивлении R dx и на индуктивности L dx от резка dx:
u(t, x-\-dx) — u(t, x)= — iRdx — L^j-dx.
С другой стороны, с точностью до бесконечно малых |
второго |
|||
порядка |
|
|
|
|
и (i, X-f- dx) — и (t, х) = |
dx. |
|
|
|
Таким образом, имеем |
|
|
|
|
~ d x = |
- i R d x - L ^ - d x . |
(3.15.1) |
||
дх |
dt |
|
' |
' |
Изменение тока, протекающего в линии между теми же сечениями,
dL |
. / уdi |
о— ---- |
oJ'V-VY^-j |
|_! |
— |
r -9--- |
|
1 |
dß- |
гхп |
|||
иfat) |
j u{x,tj |
|
dß \u*du |
\Z„\u(W |
|
1 |
|
|
1 |
I м\ |
|
|
d x - |
|
X I |
LTJ |
|
- X |
■ |
|
|
|
Рис. 3.15.1.
вызывается утечкой тока через проводимость Gdx и током заряда емкости С dx:
і(t, х + dx) — i (t, x) — — Gu dx — C — dx.
Сдругой стороны, с точностью до бесконечно малых второго по рядка
i(t, x-\-dx) — i(t, х)= |
- ^ d x . |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
^ - d x — — Gudx — C ^ - d x . |
(3.15.2) |
||
дх |
dt |
' |
' |
Сократив уравнения (3.1S.1) и (3.15.2) на dx, получим систему двух линейных дифференциальных уравнений в частных произ водных, описывающую процесс в длинной линии при действии на ее входе любого напряжения и при произвольной нагрузке на ее конце (выходе):
itx — — R і — L it, ix — Gи Cut. |
(3.15.3) |
134 Г Л . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ
Время t нѳ входит явно в уравнения однородной линии (3.15.3). Поэтому процесс в ней при одном и том же входном напряжении протекает всегда одинаково, независимо от момента его начала. Это означает, что длинная линия представляет собой стационар ную линейную систему. Следовательно, ее динамические свойства полностью определяются ее передаточной функцией Ф(в). Для определения передаточной функции Ф (s) приложим ко входу ли нии напряжение, изменяющееся по показательному закону u(t, 0) = est, и будем искать решение системы уравнений (3.15.3) в виде
и (t, х) = ф (s, x)est, i(t, х) = ф(в, x)est, |
(3.15.4) |
где ф (s, х) и ф (s, х) — некоторые неизвестные функции, не завися щие от времени. При этом учтем граничные условия в начале и конце линии:
u(t,0) = est, u(t, l) = Rai(t,l) + LB^ ^ ~ . |
(3.15.5) |
Второе граничное условие выбрано из соображения, что длин ные линии, применяющиеся в системах автоматического управле ния, обычно нагружены или чистым омическим сопротивлением, или последовательным соединением омического и индуктивного сопротивлений.
Подставляя выражения и (t, х), i (t, х) из (3.15.4) в уравнения (3.15.3), после сокращения на est получаем для определения функций ф (s, х) и ф (s, х) уравнения
фИ». * )= — (Д + £*)Ч>(*, г), |
1 |
■фі(«, х)= —iß + Св)ф(8, х). |
J |
Эти уравнения образуют систему двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от параметра s. Применяя обычный метод интегриро вания систем линейных уравнений с постоянными коэффициен тами, составляем характеристическое уравнение:
—к — (R + Ls)
—(G + Cs) — к
или |
|
к2 - ( R + |
• |
0. |
(3.15.7) |
|
|
Ls)(G + Cs) = |
|||
Отсюда, |
вводя |
обозначение |
|
|
|
|
|
Р(*) = V (R + Ls)(G + Cs), |
(3.15.8) |
||
находим |
к = ± |
ß (s). Этим |
двум корням |
характеристического |
|
|
|
§ 3.15. Д Л И Н Н Ы Е Л И Н И И |
135 |
|||
уравнения |
(3.15.7) |
соответствуют два частных интеграла системы |
||||
уравнений |
(3.15.6): |
X) = |
е ^ х, |
|
х) = |
|
|
tp^s, |
i|}i(s, |
|
|||
|
cp2(s, |
х) = е-Р(8)ж, |
гр2 ( 5 1 |
%) = а2е ~ ^ х. |
||
Для определения постоянных |
и а2 подставим эти частные интег |
|||||
ралы по очереди в любое из уравнений (3.15.6) и потребуем, |
||||||
чтобы оно обратилось в тождество относительно х. |
Тогда, полагая |
|||||
для краткости |
ѵМ=/ШЬ |
<зл5-9> |
||||
|
|
|
|
|
||
получим « 1 |
= — у (s), а2 |
= у (s). Таким образом, |
мы нашли два |
|||
линейно независимых частных интеграла системы уравнений |
||||||
(3.15.6). Общий интеграл этой системы уравнений определяется |
||||||
формулами |
cp (s, |
х) = |
+ |
с2е_Р(8)ж, |
|
|
|
(3.15.10) |
|||||
|
ф (s, х) = — |
— c2e- P(s)x] у (s). |
||||
|
|
|||||
Для определения постоянных интегрирования сі и с2 восполь зуемся граничными условиями (3.15.5). Подставляя в них выра
жения (3.15.4) и сокращая на est, |
приведем эти условия к виду |
|||
|
<p(s, |
0) = 1, cp(s, l) |
= ZH(s)i])(s, Z), |
(3.15.11) |
где ZH(s) = |
R u + |
sLH. Теперь остается подставить сюда выраже |
||
ния <р (s, 0), |
ф (s, I) и ф (s, Г), вытекающие из (3.15.10). Тогда полу |
|||
чим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения с4 и с2:
С14“ с2 = 1> |
|
(3.15.12) |
|
CjgßO)* c2e-ß(s)i —ZH(s) [Ciß^1— с2е~№Щ у (s). |
|||
|
|||
Решая эту систему уравнений, находим с4 и с2: |
|
|
|
__________ [1-ZhWY(0]e-ß(s)i________ |
|
|
|
[1+ Z„ («) у (.)] eß(8> '_ [ l_ Z H (*) у (.)] |
’ |
|
|
(3.15.13)
_________[1+гя 0 Ж 8)НР(8)і_________
[1+ ZH (.) у («)] eß<8> '- [ l - Z B (») у (*)] e - ß(5)I '
Передаточная функция однородной длинной линии Ф (s) в слу чае, когда выходной переменной является напряжение на конце линии u(t, Z), на основании (3.15.4) будет равна
Ф (s ) = —ДГ~^"= Ф (s’ 0 — СіеР(8)г + c2e_ß(s)i. |
(3.15.14) |
|
136 |
г л . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ Ч ЕС К И Х СИСТЕМ |
Подставляя сюда выражения (3.15.13) постоянных q и с2, полу чаем окончательное выражение для передаточной функции Ф (s):
Ф(8) |
2ZH (s) у (s) |
(3.15.15) |
|
[1+ZH(») V (*)] e ^ l - [ i - Z |
|||
|
H(*) V (*)] e~ß(s)J ' |
Выражение (3.15.15) передаточной функции Ф (s) показывает, что в общем случае однородная длинная линия представляет собой сложный динамический элемент, обладающий, в зависимо сти от соотношения величин ее основных параметров R, L, С, G и вида нагрузки ZH(s), в той или иной мере свойствами запаздываю щего, колебательного и апериодического звеньев. Проанализи руем, как изменяется передаточная функция Ф (s) в зависимости от изменения вида нагрузки и выбора определенных сочетаний основных параметров линии.
Нагрузка на конце длинной линии возникает только при сое динении ее с каким-либо другим элементом автоматической систе мы. Поэтому влияние нагрузки на динамические свойства линии можно изучить методами главы 4, в которой показано , как по дина мическим характеристикам отдельных звеньев определяются дина мические характеристики их соединений. Для изучения динами ческих свойств самой длинной линии, ни с чем не соединенной, следует предположить, что нагрузка на конце линии отсутствует. Это равноценно случаю, когда сопротивление нагрузки R H беско нечно велико, т. е. і?н = оо . Полагая в (3.15.15) ZH(s) = оо, находим передаточную функцию длинной линии, рассматривае мой как изолированное звено автоматической системы:
Практически влиянием нагрузки на передаточную функцию длин ной линии можно пренебречь в случае, когда сопротивление нагрузки очень велико, например, когда коаксиальный или двухпроводный кабель применяется для подачи напряжения на сетку электронной лампы, обладающей большим омическим нагрузоч ным сопротивлением (обычно порядка нескольких Мом).
Выбирая параметры длинной линии и нагрузку на ее конце соответствующим образом, можно получить линию с желатель
ными динамическими свойствами.
В системах автоматического управления обычно применяются только так называемые согласованные линии, т. е. такие линии, которые не дают отражения прямого сигнала, приходящего к кон цу линии, от нагрузки. Линия становится согласованной, когда нагрузка ZH(s) выбирается равной волновому сопротивлению линии:
Zn (s) = Ru + sLH= jX
§ 3.15 . Д Л И Н Н Ы Е Л И Н И И |
13 7 |
Из этого равенства видно, что согласованности линии в общем случае можно добиться только при каком-нибудь одном значении s, так как это равенство не является тождеством относительно s. Поэтому для обеспечения согласованности линии обычно поль зуются переменным током определенной частоты ю0 и сопротивле ние нагрузки выбирают из условия (3.15.17) при s = і<о0. В этом случае при передаче сигналов переменным током частоты со0 линия будет работать в режиме бегущей волны. Полагая ß(tco0) = р + + іѵ, получим
Ф(гю0) = е-м.г-іѵг |
(3.15.18) |
Длинная линия в этом случае работает как запаздывающее звено- с временем запаздывания т = vZ/co0 и коэффициентом усиления к — е~іа. Сигнал в такой линии распространяется со скоростью со0/ѵ и ослабляется в е>* раз на единицу длины линии.
Полной согласованности линии при любом значении s можнодобиться, если выбрать ее параметры так, чтобы удовлетворялось
условие |
RC = LG. Действительно, в этом |
случае R/L = GIC, |
||
Y(s) = |
У CIL и условие (3.15.17) |
принимает |
вид |
|
|
Дн + sLK = |
У L/C. |
|
(3.15.19) |
Этому условию можно удовлетворить, приняв R „ = |
У L/C, L H= 0. |
|||
При этом выражение (3.15.15) для передаточной функции длинной линии примет вид
ф(8) = e-JVËG.e-SiVIc. |
(3.15.20) |
Эта формула показывает, что в этом случае длинная линия пред
ставляет собой запаздывающее |
звено |
с временем |
запаздывания |
||||
т = іУ LC |
и |
коэффициентом |
ослабления |
сигнала |
к = |
||
= ехр{—іУ RG). |
Сигнал распространяется по |
такой линии без |
|||||
искажения |
со |
скоростью, равной |
\/ У LC, |
и |
ослабляется |
||
в ехр {У RG) раз на каждую единицу длины линии. |
Такие линии |
||||||
обычно применяются в виде реальных линий задержки. |
необ |
||||||
Чтобы получить значительное время задержки сигнала, |
|||||||
ходимо выбрать большую длину линии (десятки — сотни метров), что может привести к большим трудностям в выборе основных параметров линии, позволяющих выполнить условия RC = LG. Кроме того, линия получается громоздкой. Поэтому для полу чения значительных времен задержки выбирают линию специаль ной конструкции, состоящей из последовательного соединения отдельных ячеек, имеющих значительные собственные индуктив
ности І/я и емкости Ся. Тогда т3 = |
п У L aCя, где п — число ячеек, |
входящих в линию задержки. |
Часто применяют непрерыв |
ную спиральную линию задержки, у которой изолированный
138 |
гл. 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ |
внутренний кабель оплетается спиральным экраном. Такая линия имеет значительные собственные индуктивность и емкость при сравнительно короткой общей длине. Поэтому ослаблением ампли туды сигнала в ней можно пренебречь (так как величины I, R и G будут малыми, а L и С — большими).
§ 3.16. Объект управления как элемент автоматической системы
Как уже было отмечено в §§ 1.1 и 1.2, объект управления является одним из элементов автоматической системы, от кото рого существенно зависят динамические свойства и поведение всей системы в целом. Поэтому, изучая элементы автоматических систем и их динамические свойства, нельзя не коснуться и объек тов управления.
Объектом управления может быть любая физическая система, и вследствие этого переменными, определяющими состояние объекта управления, могут быть любые физические величины: координаты, определяющие положения механических частей объекта управления, давления, плотности, температуры и ско рости течения жидкостей и газов, токи, напряжения и другие электрические и электромагнитные величины, световые потоки, химические величины и т. д. Поэтому для описания поведения объекта управления в общем случае необходимо составить урав нения всех физических и химических процессов, связывающие интересующие нас величины, определяющие мгновенное состоя ние объекта управления, с управляющими воздействиями. Ввиду большого многообразия возможных объектов управления прак тически невозможно указать все возможные типы уравнений объекта и определяемых ими его динамических характеристик. Поэтому мы ограничимся здесь лишь рассмотрением некоторых объектов управления.
В некоторых случаях положение объекта управления одно значно определяется положением выходного вала или штока испол нительного устройства (т. е. объект управления практически жестко связан с выходной деталью исполнительного устройства). Так, например, положение подвижной пушечной установки на самолете полностью определяется углами поворота выходных валов исполнительных электродвигателей или гидродвигателей, с которыми установка связана зубчатыми или червячными переда чами. В таких случаях за уравнение, описывающее поведение объекта управления, можно принять уравнение движения выход ного элемента исполнительного устройства, добавив к его массе (моменту инерции) приведенную массу (соответственно момент инерции) объекта управления и включив в число действующих на выходной элемент исполнительного устройства сил приведен ные силы, действующие на объект управления. Приведенные
§ 3.16, О Б Ъ Е К Т У П Р А В Л Е Н И Я К А К Э Л ЕМ ЕН Т |
139 |
массы, моменты инерции и силы определяются по известным формулам теории механизмов [7].
Для примера рассмотрим один канал управления подвижной пушечной установкой в случае, когда исполнительное устройство представляет собой электродвигатель постоянного тока с управ лением напряжением в цепи якоря. Согласно изложенному мы должны в этом случае добавить к моменту инерции ротора двига теля в уравнении (3.13.5) приведенный момент инерции установки
№JJr\, где к — передаточное число от выходного вала |
двигателя |
к установке, т) — коэффициент полезного действия |
передачи, |
а к действующим силам добавить приведенный к валу двигателя момент сил сопротивления, действующих на установку. Предпо лагая, что момент сил сопротивления пропорционален угловой скорости установки kaQ, получим в результате следующее уравне
ние движения ротора двигателя с |
установкой: |
|
|
где |
TQ -f Q = |
kiUBXt |
(3.16.1) |
|
|
|
|
7?яст |
“ЬÄ-q^h* * ^яст~\~сест^^ |
|
|
Во многих |
случаях исполнительные устройства |
приводят |
|
в движение только управляющие органы объекта управления, например рули самолета или ракеты. В таких случаях необхо димо составить уравнения, определяющие динамику объекта управления, а в уравнениях исполнительного устройства учесть приведенную массу управляющих органов объекта управления и действующие на них приведенные силы.
Одним из важнейших объектов управления в авиации является летательный аппарат — самолет или крылатая ракета. Движе ние самолета или крылатой ракеты описывается известными урав нениями механики: уравнениями движения центра массы, уравне ниями вращательного движения вокруг центра массы и кинемати ческими уравнениями. В полете на самолет или ракету действуют сила тяжести, сила тяги двигательной установки, аэродинамиче ские силы и моменты и в некоторых случаях момент силы тяги двигательной установки. Вывод полных уравнений пространст венного движения самолета или ракеты сложен и не входит в задачу этой книги. Поэтому мы ограничимся здесь выводом уравнений движения самолета в вертикальной плоскости.
Обозначим через т массу самолета (или ракеты), ѵ — скорость его центра массы, Ѳ— угол наклона вектора скорости к горизон ту, 'ö' — угол наклона оси самолета к горизонту, называемый обычно углом тангажа, J z — центральный момент инерции само лета относительно оси, перпендикулярной плоскости его движе