книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

а из уравнения (3.13.7) при Мс = 0 и уравнения (3.13.6) — передаточную функцию двигателя постоянного тока:

Фд(8) *(Гд*+ 1) •

Наконец, составляем уравнения, связывающие токи и напряжения в элемен­ тах цепи гибкой обратной связи (рис. 4.1.10):

где ивых — выходное напряжение ЭМУ *). Полагая цВЬІХ = est, игос =

=Фгос (s) esi и исключая токи £,, і2 и г3, находим передаточную функцию

цепи гибкой обратной связи:

После этого строим структурную схему системы управления с указанием

\ й?

kjTjS TgS+1

Рис. 4.1.12.

передаточных функций ее звеньев (рис. 4.1.12, где через кс и ку обозначены коэффициенты усиления сельсина и электронного усилителя).

Для построения теории линейных систем полезно ввести еще понятие взаимно обратных систем. Две системы называются вза­

ка их соединения (рис. 4.1.13). Действительно, если входному сиг­ налу X первой системы соответствует ее выходной сигнал у, то

*) Теоретически сопротивления R 3 и Д4 должны быть одинаковыми, чтабы напряжения обратной связи на лампах и Л 2 были равны. Однако практически для компенсации неодинаковости характеристик ламп сопро­ тивления R з и R k делают регулируемыми. Регулировкой добиваются того, чтобы выходные напряжения обоих ламп усилителя были одинаковыми.

по определению взаимно обратных систем входному сигналу у второй системы соответствует сигнал х на ее выходе. Следова­ тельно, при изменении порядка соединения систем входному сиг­ налу у полученного соединения будет соответствовать его вы­ ходной сигнал, также равный у, что и доказывает высказанное утверждение.

§ 4.2. Весовые функции соединений

Для исследования линейных систем важно уметь определять весовые функции сложных систем по данным весовым функциям входящих в их состав систем. Для этого достаточно научиться

выходная переменная будет представлять собой ее весовую функ­

При этом выходная переменная второй системы согласно общей

Здесь переменную интегрирования мы обозначили буквой а, так как буквой т в данном случае обозначен момент действия на систему единичного импульса б(t — т). Но выходная перемен­ ная второй системы в данном случае представляет собой и вы­ ходную переменную всего последовательного соединения рас­ сматриваемых систем, т. е. весовую функцию полученной в результате соединения системы:

Сравнивая эту формулу с (4.2.2), получаем следующую формулу

152 ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

для весовой функции последовательного соединения двух линей­ ных систем:

функция в (4.2.4) равна нулю при всех о. Таким образом, мы приходим к выводу,, что последовательное соединение физически возможных систем всегда дает физически возможную систему. Согласно принятому в § 2.2 условию пределы интегрирования в формуле (4.2.5) всегда включаются в интервал интегрирования.

Применяя формулы (4.2.4) и (4.2.5) последовательно, можно найти весовую функцию системы, полученной в результате после­ довательного соединения любого числа линейных систем.

Заметим, что результат последовательного соединения линей­ ных систем в общем случае зависит от порядка их соединения. Действительно, меняя местами соединяемые системы на рис. 4.2.1, мы должны будем поменять местами и весовые функции и g2 в формуле (4.2.4). В результате весовая функция последователь­ ного соединения двух систем будет

Это выражение в общем случае не совпадает с (4.2.4). Читатель легко может в этом убедиться на примере последовательного сое­ динения усилителя с переменным коэффициентом усиления и ин­ тегратора. Только в отдельных частных случаях выражение (4.2.6) тождественно совпадает с (4.2.4). В § 4.6 мы увидим, что таким важным частным случаем является случай стационарных линей­

ных систем.

Рассмотрим теперь параллельное соединение линейных систем, имеющих известные весовые функции gi и g2 (рис. 4.2.2). Для определения весовой функции g(t, т) сложной системы, полученной в результате соединения, найдем ее реакцию на единичный импульс 8(t — т). Имея в виду, что при подаче на входы соединяе­

мых систем единичного импульса б (t— т) их выходные перемен­ ные равны соответствующим весовым функциям gi(t, т) и g2(t, т), получаем

Таким образом, при параллельном соединении линейных систем

g(t, т), будем обозначать символом

g~{t, т). Весовая функция последовательного соединения взаимно обратных систем равна 8(t — т). С другой стороны, весовую функ­ цию последовательного соединения можно вычислить, применяя общую формулу (4.2.4). В результате получим

—оо

Это соотношение представляет собой основное свойство весовых функций взаимно обратных линейных систем. Изменяя порядок соединения систем, получим

Iдругое соотношение:

ff(Г j---- оо

ных систем удовлетворяют двум интегральным соотношениям,

которые в общем случае друг с дрУг0М не совпадают.^ Для физически возможных взаимно обратных линейных систем

Весовую функцию g(t, т) системы с обратной связью, изобра­ женной на рис. 4.2.4, можно определить тем же стандартным приемом, что и в предыдущих случаях, проследив прохождение через систему единичного импульса. Но такой путь сравнительно

сложен и приводит к интегральному уравнению относительно искомой весовой функции g(t, т). Значительно проще находится весовая функция обратной системы. Легко видеть, что системой, обратной по отношению к системе с обратной связью, является параллельное соединение системы, обратной по отношению к си­ стеме, стоящей в прямой цепи, и системы, стоящей в цепи обрат­ ной связи (рис. 4.2.5). Действительно, обозначив входное возму­ щение рассматриваемой системы через х, выходную переменную

через у, а выходную переменную систе­ мы в цепи обратной связи через z, видим, что входной переменной системы

- Щ в прямой цепи будет х—z, а ее вы­ ходной переменной будет у. Приподаче на вход параллельного сое­ динения систем с весовыми функциями

Эта формула определяет весовую функцию линейной системы, обратной по отношению к системе с обратной связью, изображен­ ной на рис. 4.2.4.

Рассмотрим, в частности, безынерционный усилитель с обрат­ ной связью (рис. 4.2.6). Так как системой, обратной по отношению

к усилителю с коэффициентом усиления к, очевидно, является усилитель с коэффициентом усиления 1/к, то формула (4.2.12) дает для весовой функции обратной системы

Таким образом, систему, обратную по отношению к данной линейной системе с весовой функцией gz(t, т), можно приближенно реализовать, включив данную систему в цепь обратной связи усилителя с большим коэффициентом усиления.

§ 4.3. Определение весовых функций методом сопряженных систем

ноге определения ее реакции на единичный импульс. Пода­ вая на вход системы единич­ ный импульс 8(t—т) или мо­ делируя действие единичного импульса на входе системы, мы получим на выходе весо­ вую функцию системы в за­ висимости от первого аргу­ мента t при данном фиксированнмо значении момента по­ дачи единичного импульса т. Для полного определения та­ ким способом весовой функ­ ции как функции двух пере­ менных необходимо опреде­ лить реакции системы на еди­ ничные импульсы, действую­ щие в различные моменты т. При этом мы определим по­

верхность, изображающую весовую .функцию системы, ее сече­ ниями, параллельными оси t (рис. 4.3.1).

произвольное возмущение в один определенный момент времени t необходимо знать весовую функцию системы как функцию второго аргумента т при фиксированном значении первого аргумента, т. е. как функцию момента действия на систему единичного импуль­ са т при фиксированном рассматриваемом моменте времени t. Иными словами, для вычисления реакции линейной системы на произвольное возмущение в момент времени t необходимо знать одно сечение поверхности, изображающей весовую функцию систе­ мы, параллельное оси т (рис. 4.3.1). Это сечение можно, конечно, приближенно определить, если найти достаточно большое число

сечений поверхности, параллельных оси t. Однако во многих задачах практики нас интересует лишь конечный момент работы системы, т. е. результат работы системы в один определенный момент времени. В подобных случаях для вычисления по формуле (2.2.3) достаточно знать только одно сечение поверхности, изобра­ жающей весовую функцию, параллельное оси т. Для приближен­ ного определения этого сечения по точкам путем непосредствен­ ного моделирования действия на систему единичного импульса необходимо многократно производить моделирование для различ­ ных значений момента действия импульса т, и при этом каждое моделирование дает лишь одну точку интересующего нас сечения поверхности, изображающей весовую функцию. Чтобы избежать многократного моделирования данной системы при определении ее весовой функции, естественно попытаться заменить данную систему другой системой, имеющей ту же весовую функцию, но с измененными ролями аргументов. Иными словами, заменить данную систему такой системой, для которой весовая функция изображается той же поверхностью, что и весовая функция дан­ ной системы, но оси координат меняются местами: ось t становится осью т, и наоборот (рис. 4.3.2). Если такую систему можно найти,

то, давая на ее вход единичный импульс, мы получим на выходе сечение поверхности весовой функции основной системы, парал­ лельное оси т. Таким образом, основная идея заключается в том, чтобы в весовой функции поменять роли аргументов, заменить данную систему такой системой, которая имеет ту же весовую функцию, но с измененными ролями аргументов. Тогда первый аргумент стал бы играть роль момента подачи импульса, а второй — роль текущего момента времени и мы могли бы определить необхо­ димое сечение поверхности, изображающей весовую функцию данной системы, параллельное оси т, одним моделированием дейст­ вия единичного импульса на некоторую другую линейную систему.

Линейная система, весовая функция которой совпадает с весовой функцией данной линейной системы при изменении ролей аргумен­ тов t и т, называется системой, сопряженной с данной линейной системой. Иначе это можно сформулировать так: линейная систе­ ма, весовая функция которой получается из весовой функции данной линейной системы перестановкой аргументов, называется системой, сопряженной с данной линейной системой.

Весовые функции сопряженных систем мы будем отмечать звездочкой в виде верхнего индекса. Таким образом, если дан­ ная линейная система имеет весовую функцию g(t, т), то весовая функция сопряженной системы будет g*(t, т). В этом обозначении первый аргумент, как всегда, представляет собой текущее время, а второй — момент действия единичного импульса. Согласно определению сопряженной системы

взаимно сопряженных систем изображаются одной и той же поверхностью в координатах, различающихся обозначением осей t и т (рис. 4.3.2).

Очевидно, что система, сопряженная с физически возможной системой, является физически невозможной системой. На первый взгляд это кажется серьезным затруднением. Однако это затруд­ нение легко преодолевается. Действительно, вследствие условия (2.2.4) физической возможности данной системы сопряженная система в каждый данный момент t должна реагировать только на возмущения, которые следуют за данным моментом t, и не может реагировать на предшествующие возмущения. Если изме­ нить направление течения времени на обратное (реверсировать время), то понятия «предшествующий» и «последующий» поме­ няются местами и сопряженная система станет физически воз­ можной. Следовательно, сопряженную систему можно моделиро­ вать, изменив направление отсчета времени, т. е. моделируя отрицательное время натуральным физическим временем. Это обстоятельство делает метод сопряженных систем исключительно

цательном времени, можно получить как раз то сечение весовой функции данной системы, которое необходимо для расчетов по формуле (2.2.3).

Для практического применения метода сопряженных систем необходимо уметь находить системы, сопряженные с данными. Для этого достаточно, во-первых, научиться определять системы, сопряженные с некоторыми элементарными системами, во-вторых, научиться находить системы, сопряженные с системами, полу­ ченными из элементарных систем путем различных соединений.

Найдем сначала системы, сопряженные с элементарными звенья­ ми. Будем по-прежнему обозначать входной сигнал системы бук­ вой X , а выходной сигнал — буквой у. Входную переменную сопряженной системы будем обозначать буквой £, а выходную —

буквой Т].

1. Усилителъ с коэффициентом усиления k(t) имеет весовую функцию gy (t, т) = k(t)8(t — т) (формула (2.2.9)). Согласно опре­ делению (4.3.1) весовая функция сопряженной системы опреде­ лится формулой

g* (<. т) = gy (т, t) = k (т) б (т —*)■

Поскольку 6-функция равна нулю при t ф т, можно заменить к(т) на k{t), ничего не изменяя. Тогда, принимая во внимание четность б-функции, получим

Таким образом, системой, сопряженной с усилителем, является тот же усилитель. Иными словами, усилитель представляет собой самосопряженную систему. В частности, идеальная следящая систе­ ма, представляющая собой усилитель с к — 1, является само­

Рассмотрим соотношение между входной и выходной перемен­

Таким образом, операцией, сопряженной с операцией дифферен­ цирования по времени, является дифференцирование по отрица­ тельному времени. Или иначе: системой, сопряженной с идеаль­ ным дифференциатором, является система, производящая диффе­ ренцирование по отріщательному времени. При моделировании сопряженной системы в отрицательном времени систему, сопряженную с дифференциатором, следует моделировать тем же дифференциатором.

3. Интегратор имеет в качестве весовой функции единичную ступенчатую функцию, 1(£ —т). Следовательно, сопряженная система имеет весовую функцию

Рассмотрим связь между входной и выходной переменными этой системы. На основании общей формулы (2.2.3) имеем

ОО 0 0 о о

так как единичная ступенчатая функция равна нулю при отри­ цательном аргументе и единице при положительном аргументе. После замены переменной интегрирования т-= —о (4.3.7) примет

вид

-(

— о о

Эта формула показывает, что операцией, сопряженной с интегриро­ ванием по времени, является интегрирование по отрицательному времени. Таким образом, при моделировании в отрицательном времени интегратор в сопряженной системе сохраняет свою роль.

4. Запаздывающее звено с временем запаздывания- I имеет весовую функцию g3 (t, т) = 8(t — т — I) (формула (2.2.8)). Весовая функция сопряженной системы на основании (4.3.1) определяется формулой

Сравнение этой формулы с (2.2.7) показывает, что запаздывающее звено п экстраполятор с тем же параметром I являются взаимно сопряженными системами. При моделировании сопряженной системы в отрицательном времени запаздывающие звенья и экстраполяторы сохраняют свою роль.

Таким образом, при моделировании сопряженных систем в отрицательном времени усилители, дифференциаторы, интегра­ торы и запаздывающие звенья сохраняют свои роли, т. е. усили­ тели моделируются усилителями, дифференциаторы — диф-