книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf200 |
ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Формула (4.8.4) показывает, что фазовая характеристика минимально-фазовой системы при любом значении частоты со выражается через наклон логарифмической амплитудной частот ной характеристики dL (co)/d lg со. Из этого можно сделать неко торые интересные выводы.
1)Если в некотором достаточно большом интервале частот наклон логарифмической амплитудной частотной характеристики постоянен и равен 20п дБ/дек, то фазовая характеристика в этом интервале частот близка к гея/2.
2)Наиболее резкое изменение фазовой частотной характери стики происходит в области тех частот, где наклон логарифмиче ской амплитудной частотной характеристики изменяется интен сивно, т. е. вблизи сопрягающих частот со* = 1!Т-г элементарных звеньев.
Класс минимально-фазовых систем очень широк. В частно сти, он включает, как нетрудно убедиться, апериодическое, коле
бательное и форсирующие звенья первого и второго порядка с положительными постоянными времени Т и коэффициентами колебательности £. Поэтому во многих случаях можно выполнить большую часть расчетной работы по одной только логарифмиче ской амплитудной частотной характеристике разомкнутой системы, которая, как было показано, строится исключительно просто даже для очень сложных систем.
Г л а в а 5
ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 5.1. Дискретное (импульсное) управление. Способы модуляции импульсов
В § 1.6 было показано, что входные возмущения, в частности, сигналы, несущие информацию о задачах управления, могут действовать в автоматических системах непрерывно или дискрет но. Там же были приведены примеры непрерывных и дискретных
систем.
Изложенная в предыдущих главах, за исключением §§ 2.5 и 4.4, общая теория линейных систем применима к любым линейным системам, как непрерывным, так п дискретным. Хотя мы и рас сматривали входное возмущение х (t) как функцию непрерывно изменяющегося времени, однако нигде пе делали предположения, что это входное возмущение воспринимается системой непрерыв но, в течение всего времени работы системы. Поэтому все изучен ные в предыдущих главах характеристики линейных систем
иметоды их исследования, кроме методов, изложенных в §§ 2.5
и4.4, относятся в равной мере как к непрерывным, так и к ди
скретным линейным системам. И лишь теория, изложенная в §§ 2.5 и 4.4, в которых изучались непрерывные линейные систе мы, описываемые дифференциальными уравнениями, неприме нима к дискретным системам. Однако дискретные линейные систе мы, как частный вид линейных систем, обладают некоторыми специфическими свойствами, которые целесообразно изучить и учи тывать при расчете и проектировании дискретных систем.
Для дискретного ввода входных сигналов в систему необходи мо изменять некоторые параметры входных импульсов в зависи мости от значения входных сигналов. Изменение какого-либо пара метра импульсов в зависимости от входного сигнала называется модуляцией импульсов входным сигналом. Устройство, форми рующее последовательность импульсов, зависящую от входного сигнала, называется импульсным элементом.
Обычно форма импульсов сохраняется при модуляции неиз менной. При этом в принципе возможно изменять в зависимости от значений входного сигнала один из трех параметров импульса: амплитуду, длительность или момент начала действия импульса. В соответствии с этим различают три вида модуляции импульсов:
2 0 2 |
ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
|
1) амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), при которой амплитуда импульсов а зависит от значения входного сигнала
вмомент начала действия импульса th (рис. 5.1.1);
2)широтно-импульсная модуляция (ШИМ), при которой дли
тельность импульса Та зависит от значения входного сигнала |
|
в момент начала действия им |
|
пульса (рис. 5.1.2); |
|
3) |
временная импульсная мо |
дуляция (ВИМ), при которой временной сдвиг Т0 (запаздыва ние) импульса зависит от значе ния входного сигнала в опре деленный момент времени
(рис. 5.1.3).
При амплитудно-импульсной и широтно-импульсной модуля ции модулирующий сигнал изме няет площадь (т. е. интенсив ность) импульсов. При времен ной импульсной модуляции пло щадь импульса остается посто янной.
Все рассмотренные типы мо дуляции могут быть осуществле ны так, чтобы модулируемый параметр импульсов изменялся в
зависимости от значений модулирующего сигнала в дискретные мо менты времени. Амплитудная модуляция может быть осуществлена
и таким образом, чтобы ордината каждого импульса изменялась непрерывно в зависимости от входного сигнала в течение времени действия импульса. Однако дискретные системы с такой формой амплитудной модуляции импульсов не обладают существенными
§ 5.2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
203 |
специфическими свойствами, облегчающими их исследование, вследствие чего их следует изучать общими методами предыдущей главы. Излагаемая в этой главе теория к ним неприменима.
Зависимость модулируемого параметра вырабатываемых им пульсным элементом импульсов от соответствующих дискретных значений входной переменной называется характеристикой импульсного элемента. Характеристика импульсного элемента может быть линейной или нелинейной. Импульсный элемент с линейной характеристикой является линейным элементом, а импульсный элемент с нелинейной характеристикой — нелинейным.
Импульсные элементы различаются также по форме и харак теру модуляции импульсов, по частоте импульсов и их относи тельной длительности.
Обычно импульсные элементы работают периодически, выра батывая по одному импульсу за каждый период. Период следова ния импульсов Т п называется периодом повторения импульсов или тактом дискретной системы. Величина соп = 2л/7’п пред ставляет собой частоту повторения импульсов. Отношение дли тельности одного импульса (средней в случае широтной модуля
ции) |
Тн к периоду |
повторения |
импульсов у == T J Т п представ |
ляет |
собой относительную длительность импульсов. Величина |
||
1 — у |
называется |
скважностью |
импульсного элемента. |
§ 5.2. Характеристики дискретных линейных систем
Так как входная переменная х (t) действует на дискретную
систему |
только |
в |
определенные моменты |
времени |
tk (к = 0, |
± 1 , ± 2, |
. . .), |
то |
ее выходная переменная |
является |
функцией |
времени изначенийх (tj,) (& = 0,+1, ± 2, . . .) входной переменной. Обозначим реакцию дискретной линейной системы на кратко временное входное возмущение, равное единице и действующее только в течение времени действия к-го импульса, через gk (t). Тогда ее реакция на кратковременное возмущение, равное х (tk) и действующее только в течение времени действия к-то импульса, будет на основании принципа суперпозиции равна gh (t) х (tk). Реакция дискретной линейной системы на всю последовательность импульсов, модулированных входным возмущением х (t), в силу
принципа суперпозиции определится формулой
00 |
|
y(t)= 2 gk{t)x(h). |
(5.2.1) |
k——oo |
|
Это и есть основная формула, выражающая зависимость выход ной переменной дискретной линейной системы от входного сигнала.
Функции gh (t) полностью характеризуют дискретную линей ную систему, так как, зная эти функции, можно вычислить реак-
204 Г Л . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы
дию дискретной линейной системы на любое входное возмущение X (t). Функции gk (t) определяют долю, или удельный вес, значе ний входной переменной, действующих в различные моменты времени th, в формировании выходной переменной системы в лю бой момент времени t. Вследствие этого функции gh (t) называются весовыми коэффициентами дискретной линейной системы.
Любая физически возможная система может реагировать в данный момент времени t только на возмущения, действующие на нее в предшествующие моменты времени. Поэтому для любой физически возможной дискретной системы
gh (t) = 0 при t < t h (А = 0, ± 1 , ± 2, . , .). (5.2.2)
Для физически возможной дискретной линейной системы, нахо дящейся в покое до момента t0, формула (5.2.1) может быть пере писана в виде
У(і)= S gh(t)x{th). |
(5.2.3) |
to^th^t |
|
где неравенство под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется только на моменты действия импульсов th, заключенные в интервале [f0, t].
Для определения весовой функции g (t, т) дискретной линей ной системы достаточно найти ее реакцию на единичный импульс, действующий в момент т. Полагая в формуле (5.2.1) х (t) =
= б (t |
— т), получим следующую формулу для весовой функции |
g (t, т) |
дискретной линейной системы: |
|
ОО |
|
g (t,x )= |
2 gh(t)ö(th— т). |
(5.2.4) |
h= |
— о о |
|
Таким образом, весовая функция любой дискретной линейной системы представляет собой линейную комбинацию 8-функций. Наоборот, всякая линейная система, весовая функция которой является линейной комбинацией б-функций, дискретна. Действи тельно, подставляя выражение (5.2.4) в формулу (2.2.3) и при нимая во внимание правило интегрирования б-функций, полу чим формулу (5.2.1). Из этой формулы следует, что входное воз мущение X (t) действует на систему только в моменты времени th, т. е. что система дискретна.
Определив весовую функцию дискретной линейной системы формулой (5.2.4), можно найти по формулам § 2.3 ее характери стику реакции на показательное возмущение и частотную харак теристику. Полагая в формулах § 4.2 весовые функции равными линейным комбинациям б-функций, получим формулы для весо вых коэффициентов различных соединений дискретных линейных систем. Наконец, формулы § 4.3 определяют системы, сопряжен
§ 5.2. Х А Р А К Т Е РИ С Т И К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
205 |
ные с дискретными линейными системами. При этом выведенные в § 4.3 правила моделирования сопряженных систем дадут воз можность определять значения всех весовых коэффициентов си стемы в определенный момент времени t однократным моделирова нием сопряженной системы.
Рассмотрим дискретную xßj линейную систему, представ ляющую собой последователь ное соединение импульсного элемента и непрерывной ли
нейной системы с весовой функцией gi (t, т) (рис. 5.2.1). Обозначим функцию, описывающую форму импульсов, выраба тываемых импульсным элементом, через ц (t) (рис. 5.2.2). Тогда
в случае амплитудной модуляции выходной сигнал линейного импульсного элемента z (t) выразится формулой *)
оо |
|
z{t)= 2 x(th)r\{t — th). |
(5.2.5) |
k—~oo |
|
Эта функция является входной переменной непрерывной линей ной системы с весовой функцией gi (t, т). Следовательно, на осно вании общей формулы (2.2.3) выходная переменная рассматри
ваемой |
дискретной системы |
ОО |
выражается формулой |
|
|
00 |
|
ОО |
|
1 / ( 0 = |
\ gi (t, x)z(x)dx = |
|
2 |
j gl ( о " О л С г — tk)dx. ( 5. 2. 6) |
— 00 |
k = |
— оо |
— оо |
|
*) Очевидно, что без потери общности функцию т) (t) можно выбрать так, чтобы при входном возмущении х (<), тождественно равном единице, импульсы, вырабатываемые импульсным элементом, были равны і] (t — th) (к = 0, ±1, ±2, . . .).
206 ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы
Так как функция г) (т — tk) |
отлична от нуля только в интервале |
||||
th < т < tk + Ти, |
где |
Тя — длительность импульса, |
то фор |
||
мулу (5.2.6) можно переписать в виде |
|
|
|||
|
0 0 |
|
< Ь + Т И |
|
|
y(t)= |
2 |
х (*ь) |
j |
T) Л (T — th) dx. |
(5.2.7) |
|
k ——0O |
|
tfr |
|
|
Сравнивая эту формулу с (5.2.1), получаем следующую формулу для весовых коэффициентов рассматриваемой дискретной линей ной системы:
|
г* + Ги |
|
|
|
gk(t)= |
j |
gl 0, |
т)т](т — th)dr. |
(5.2.8) |
|
lh |
|
|
|
Производя замену переменных |
о = т — th, приведем |
форму |
||
лу (5.2.8) к виду |
|
|
|
|
gh (t) = |
Ги |
gi (t, tk + o) г) (o) da. |
|
|
j |
(5.2.9) |
|||
|
b |
|
|
|
Эта формула показывает, что весовые коэффициенты последова тельного соединения импульсного элемента и непрерывной линей ной системы зависят от формы импульсов, вырабатываемых импульсным элементом, и весовой функции непрерывной части системы.
Из формулы (5.2.9) видно, что практически для любой физиче ски возможной дискретной линейной системы начальные значе
ния |
весовых |
коэффициентов gh (t) |
равны пулю: gk (th) = О |
(к = |
О, 1, 2, |
. . .), так как при t = |
tk подынтегральная функция |
тождественно равна нулю в интервале интегрирования. Началь ные значения весовых коэффициентов gk (th) могут быть отлич ными от нуля только в случае, когда весовая функция непрерыв
ной части системы gt (t, т) |
содержит линейную |
комбинацию |
б- |
функции и ее производных: |
б (t — т), 6' (t — т), |
б" (t — т), . . |
., |
или в теоретическом случае идеализированного импульсного элемента, вырабатывающего без запаздывания мгновенные им пульсы: г) (а) = б (а), если при этом gt (t, t) фО.
В случае широтной модуляции мы будем для простоты счи тать, что импульсный элемент вырабатывает прямоугольные импульсы постоянной величины а, длительность которых пропор циональна значениям входного сигнала в соответствующие момен ты времени. Тогда входной сигнал z (t) непрерывной части системы будет равен а в интервалах времени [th, th + хх (4)] и нулю вне этих интервалов. Следовательно, применяя формулу (2.2.3), мы получим следующее выражение для выходной переменной рас-
§ 5.2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
207 |
сматриваемой дискретной линейной системы:
y(t) = a 2 |
j |
Si (t,x)d%. |
(5.2.10) |
k=—00 |
tk |
|
|
Очевидно, что система, у которой зависимость между входной II выходной переменными определяется формулой (5.2.10), нели нейна. Однако при малой длительности импульсов ее можно при ближенно рассматривать как линейную. Действительно, при доста точно малой длительности каждого импульса весовую функцию gi (t, т) можно считать в каждом интеграле в (5.2.10) практически постоянной и равной ее значению gі (t, t^) в начале интервала интегрирования. Тогда, вынося ее за знак интеграла, можем выполнить интегрирование и переписать формулу (5.2.10) в виде
ОО
y(t)ttaK 2 Si (t, h )x (tk). (5.2.11) k=—oo
Отсюда видно, что при широтной модуляции кратковременных прямоугольных импульсов последовательное соединение импульс ного элемента и непрерывной системы с весовой функцией gi it, т) можно считать линейной дискретной системой, весовые коэффи циенты которой определяются формулой
gh (t) = axgi (t, tk). |
(5.2.12) |
Величина ак, представляющая собой произведение амплитуды импульса на его длительность при единичном входном сигнале, определяет интенсивность импульсов.
Аналогично можно прийти к заключению, что при временной модуляции импульсов произвольной формы последовательное соединение импульсного элемента и непрерывной линейной систе мы лишь приближенно можно рассматривать как линейную ди скретную систему, если максимальный возможный временной сдвиг импульса достаточно мал, чтобы весовую функцию непре рывной части системы g{ (t, т) можно было считать приблизитель но линейной функцией т в диапазоне возможных значений вре
менного |
сдвига. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых случаях выходная переменная дискретной ли |
|||||||||||
нейной |
системы |
интересует |
нас лишь |
в определенные моменты |
|||||||
времени |
t\ |
(I = |
0, ± 1 , |
± 2, |
. . .) |
или |
система дает |
выходную |
|||
переменную |
только |
в |
определенные |
моменты времени t\. |
|||||||
Полагая |
в |
формуле (5.2.1) |
t = |
t\, |
найдем |
значения выходной |
|||||
переменной |
системы |
в |
интересующие |
нас |
моменты |
времени |
|||||
<і(* = 0 ,± 1 ,± 2 , . ..); |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
(t'i) = h——oo2 |
S h |
( t'l) X |
( t h) . |
|
( 5 .2 .1 3 ) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
208 |
ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМЫ |
|
||
Полагая для краткости |
|
|
|
|
|
xk = x(th), |
yi = y(t'i), |
gh(t\) = gik, |
(5.2.14) |
можем переписать формулу (5.2.13) окончательно в виде |
|
|||
|
Уі= 2 gikXk |
(1 = 0, |
± 1 , ± 2 , ...) . |
(5.2.15) |
|
ft——оо |
|
|
|
Аналогично в случае, когда последовательность моментов фикса ции выходной переменной системы совпадает с последовательно стью моментов действия импульсов t\ = ti(l = 0, ± 1, ± 2 , . . .), формула (5.2.3) при t — tt даст следующее выражение значений выходной переменной физически возможной дискретной линейной системы:
Уг= 2 SihXh |
(1= 0, 1, 2, ...) . |
(5.2.16) |
ft=U |
|
|
Формула (5.2.16) и аналогичные формулы для дискретных систем с несколькими входами и выходами .описывают, в частно сти, работу цифровой математической машины в случае, когда результаты вычислений линейно зависят от исходных данных, т. е. цифровой машины с линейной программой. В этом случае исходные данные для вычислений, вводимые в каждом шаге вы числений, являются входными сигналами, а результаты вычисле ний — выходными переменными. Весовые коэффициенты glk опре деляют программу вычислений.
Формула (5.2.16) на простейшем примере показывает, что динамические характеристики цифровой (так же, как и непре рывной) математической машины полностью определяются про граммой вычислений, т. е. решаемой задачей.
Легко сообразить, что при достаточно большой частоте повто рения импульсов всякую дискретную систему можно приближен но рассматривать как непрерывную. Действительно, реакция любой системы на кратковременное единичное возмущение, дей ствующее в течение одного периода повторения импульсов Т л, при бесконечно малом Т п является бесконечно малой порядка Т п.
Поэтому функцию gh (t) |
при малом Тп = At можно |
выразить |
формулой |
(t, th) Т л — g (t, th) At, |
(5.2.17) |
gh (t) |
где g (t, tk) — некоторая функция, не зависящая от Гп. Так, например, в случае последовательного соединения импульсного элемента и непрерывной линейной системы с весовой функцией gi (t, т) мы можем выразить зависимость импульсов данной формы от периода повторения импульсов, приняв функцию т) (t) в виде
( 5 .2 .1 8 )
§ 5.2. Х А Р А К Т Е РИ С Т И К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
209 |
где h (I) — функция, отличная от нуля только в интервале 0 ^
^ |
^ V = |
Т я/ т п. Тогда формула |
(5.2.9) даст |
|
|
|
Ги |
|
V |
|
gh(t)= |
j |
gi(t, tk + o )h ( ^ - } d o = Ta ^ gi(t, tk + lTn)h(l)dl. |
|
|
|
о |
п |
0 |
При достаточно малом периоде повторения импульсов Т п весовая функция gt в полученном интеграле будет практически постоян ной в интервале интегрирования, близкой к своему значению gi (£» h + 0). Вынося ее за знак интеграла и полагая
g(t, tk) = gi(t, |
th + 0) j h{l)dl, |
(5.2.19) |
||
|
|
|
о |
|
мы и получим формулу (5.2.17). |
|
|
||
Подставляя выражение |
(5.2.17) |
в (5.2.1), получим |
|
|
У(і)ж |
со |
g(t, |
th)x (tk)At, |
|
2 |
(5.2.20) |
|||
причем относительная ошибка этого равенства стремится к нулю
при At = Т п —»-0. Но при At —* 0 |
сумма |
в (5.2.20) |
стремится |
к интегралу (2.2.3). Следовательно, |
при |
достаточно |
малом Т п |
дискретную линейную систему можно приближенно рассматри
вать как |
непрерывную линейную систему с весовой функцией |
g (t, h) = |
gk (t)/Tn. |
В частном случае последовательного соединения импульсного элемента и стационарной линейной системы, описываемой диффе ренциальным уравнением, условие приблизительного постоянства весовой функции непрерывной части системы на протяжении периода повторения импульсов Т п, как показывает форму ла (4.4.50), равноценно условию близости к единице всех величин еVj Tп, . . ., еV пТ д, Где уІ5 . . ., ѵ„ — корни характеристического уравнения непрерывной части системы. Но, разложив числитель и знаменатель выражения (2.5.12) на множители, мы представим передаточную функцию непрерывной части системы в виде (2.6.1). Таким образом, непрерывная часть системы может быть пред ставлена в данном случае в виде последовательного соединения интегрирующих или дифференцирующих, апериодических, коле бательных и форсирующих звеньев. При этом корни характери стического уравнения ѵ1? . . ., ѵ„ будут обратно пропорциональ ны постоянным времени апериодических и колебательных звеньев, входящих в состав непрерывной части системы. Следовательно, условие малости величин ѵіТ п, . . ., ѵпТ п с физической точки зрения является условием малости периода повторения импуль сов Т п по сравнению с постоянными времени непрерывной части
Н Под ред. В С. Пугачева