книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

передаточная функция разомкнутой системы Ф (s) имеет один полюс

вправой полуплоскости и замкнутая система устойчива. На рис. 6.3.5

и6.3.6 показаны амплитудно-фазовые характеристики разомкну­ тых систем для случая, когда передаточные функции разомкнутых

систем имеют по два полюса в правой полуплоскости и замкнутые системы устойчивы.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсы на мнимой оси, то контур в плоскости s следует деформи­ ровать таким образом, чтобы обойти полюсы, лежащие на мнимой оси, по полуокружностям малого радиуса. Так как разомкнутая система в этом случае неустойчива, то мы условимся обходить эти полюсы слева, т. е. относить их к правой полуплоскости (рис. 6.3.7, а). При обходе слева полюса іѵ, расположенного на мнимой оси, аргумент комплексного числа s — іѵ уменьшается

а пересечение уровня —я сверху вниз при положительной лога­ рифмической амплитудной характеристике следует считать за — 1 пересечение.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюс на мнимой оси іѵ, то, устремив к нулю радиус полуокружности,

по которой обходится этот полюс, приходим к выводу, что логариф­ мическая амплитудная характеристика стремится к бесконечно­ сти, а фазовая характеристика увеличивается скачком на я при

со = V. При этом перескок через уровень —я также следует считать за пересечение уровня —я. Считая такие перескоки по логарифмическим частотным характеристикам, следует не забы­ вать и полюсы, расположенные в начале координат, которым соот­ ветствует значение lg со = —оо. Если фазовая характеристика асимптотически стремится к уровню —ЫІ2 при lg со —»— оо, где I — остаток от деления кратности полюса в начале координат на 4 , то этот уровень следует считать достигнутым после скачко­ образного увеличения фазовой характеристики на величину я/2 , умноженную на кратность полюса, и, исходя из этого, определять

начало координат против часовой стрелки, видим, что часть этой полуокруж­ ности, соответствующая положительным частотам, начинается на отрез­ ке (—оо, —1) и идет вниз от него (сплошная линия на рис. 6.3.16). Следова­ тельно, число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкну­ той системы, дополненной полуокружностью большого радиуса, отрезка (—оо, — 1) сверху равно 1/2, и замкнутая система в этом случае устойчива. При к > 2ab2 число пересечений отрезка (— оо, — 1) равно —Ѵг, и следовательпо, замкнутая система неустойчива. При а < 0 передаточная функция

разомкнутой системы имеет один полюс на мнимой оси и два полюса в пра­ вой полуплоскости. Рис. 6.3.17 показывает, что в этом случае замкнутая

при положительных £, Т имеет один двойной полюс на мнимой оси. Следо­ вательно, для устойчивости замкнутой системы в этом случае необходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы пересекала отрезок (—оо, —1) в положительном диапазоне частот один раз. На рис. 6.3.18 показаны амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы, допол­ ненные окружностью большого радиуса, обходящей начало координат против часовой стрелки, для двух комбинаций значений параметров системы. Сплош­ ная кривая пересекает отрезок (—оо, —1) один раз и, следовательно, соответ­ ствует устойчивой замкнутой системе. Пунктирная кривая пересекает отре­ зок (—оо, —1) нуль раз и, следовательно, соответствует неустойчивой замкнутой системе.

Мы видим, что метод частотных характеристик дает возмож­ ность сравнительно просто исследовать устойчивость любых ста­ ционарных линейных систем. Приведенные примеры показывают, что по частотным характеристикам можно не только судить об устойчивости стационарных линейных систем, но и подбирать некоторые их параметры так, чтобы обеспечить устойчивость. Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что резуль­ таты рассмотренных примеров совпадают с результатами иссле­ дования устойчивости тех же систем по критериям Рауса и Гурвица. Для рассмотренных простейших примеров это нетрудно

246 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО л и н е й н ы х с и с т е м

сделать. Для более сложных систем такая проверка потребовала

бы большого труда.

Совокупность значений параметров системы, при которых система устойчива, называется областью устойчивости системы. Совокупность значений параметров системы, при которых система неустойчива, называется областью неустойчивости. Совокуп­ ность значений параметров, при которых совершается переход из области устойчивости в область неустойчивости и наоборот,

называется границей области ус­

изготовлении элементов автоматических систем невозможно обеспечить заданные параметры элементов абсолютно точно. Параметры элементов всегда имеют некоторый разброс в пре­ делах допусков производства. Вследствие этого, если выбрать параметры системы близко к границе устойчивости, то может случиться, что одни экземпляры спроектированной системы будут устойчивыми, а другие неустойчивыми. Кроме того, в этом случае качество системы будет невысоким. Чтобы избежать этого, и следует выбирать параметры системы подальше от границы области устойчивости.

Для суждепия о степепи близости системы к границе области устойчивости обычно пользуются запасами устойчивости. Запасом устойчивости по фазе или избытком фазы устойчивой замкнутой системы называется увеличение запаздывания по фазе на частоте среза (т. ѳ. при значении частоты со, при котором амплитудно­ фазовая характеристика разомкнутой системы входит внутрь круга единичного радиуса и в дальнейшем не выходит из него), при котором система доходит до границы области устойчивости. Из рис. 6.3.19 видно, что запас устойчивости по фазе определяется

Запасом устойчивости по амплитуде называется относительное увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором устойчивая замкнутая система доходит до границы обла­ сти устойчивости (рис. 6.3.19). Запас устойчивости по амплитуде обычно измеряется в децибелах. В этом случае запас устойчивости по амплитуде равен абсолютной величине отрицательной ординаты логарифмической амплитудной характеристики L (со) при той частоте со = соя, при которой запаздывание по фазе достигает —л.

На рис. 6.3.20 показано, как определяются запасы устойчиво­ сти по амплитуде и фазе по логарифмическим частотным харак­ теристикам.

При проектировании автоматических систем рекомендуется выбирать запас устойчивости по фазе не меньше 30°, а в случае возможности — не меньше 45°. Запас устойчивости по амплитуде рекомендуется брать не меньше 6 дБ, чему соответствует допу­ стимое увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы без. выхода из области устойчивости приблизительно вдвое.

П р и м е р 6.3.4. В условиях примера 6.3.2 запасы устойчивости по амплитуде и фазе равны соответственно приблизительно 3,3 дБ и 23,6° (рис. 6.3.16). В условиях примера 6.3.3 запасы устойчивости по амплитуде и фазе приблизительно равны соответственно 6 дБ и 14° (рис. 6.3.18).

§ 6.4. Устойчивость дискретных линейных систем

Общий критерий устойчивости (6.1.1) применим к любым линейным системам, в частности к дискретным. Очевидно, что при исследовании устойчивости дискретной системы достаточно рассматривать только дискретную последовательность момен­ тов времени (моментов съема информации). Согласно изложен­ ному в § 5 . 2 весовая функция дискретной линейной системы

где gih — весовые коэффициенты системы. Подставляя выраже­ ние (6.4.1) в (6.1.1), получим общее необходимое и достаточное условие устойчивости дискретной линейной системы:

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчи­ вости стационарной дискретной линейной системы является абсо­ лютная сходимость ряда, членами которого являются ее весовые коэффициенты.

Передаточная функция стационарной линейной дискретной системы, согласно (5.3.14), определяется формулой

Из сходимости ряда (6.4.3) следует, что ряд (6.4.4) сходится при z = l . Но в таком случае он сходится и сумма его конечна и при любом z~l, по модулю меньшем единицы, т. е. при любом z, по моду­ лю превышающем единицу. Следовательно, передаточная функ­ ция устойчивой стационарной дискретной линейной системы конечна всюду вне единичного круга плоскости комплексной пере­ менной z с центром в начале координат.

Таким образом, для устойчивости стационарной дискретной линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все полюсы (и другие особые точки) ее передаточной функции Y (z) лежали внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

Формула (5.3.16) показывает, что единичному кругу плоскости переменной z соответствует левая полуплоскость переменной ѵ =

=(z — l)/(z + 1 ), а окружности единичного радиуса плоскости z соответствует мнимая ось переменной ѵ. Следовательно, для устой­ чивости стационарной дискретной линейной системы необходимо

идостаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции Q (и) —

=Y ((l-fy)/(l — ѵ)), рассматриваемой как функция комплекс­ ной переменной ѵ, лежали в левой полуплоскости. Отсюда еле-