книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

при моделировании сопряженной системы при обратном течении времени остаются неизменными. Действительно, пусть g{t, т) = = w(t — т) — весовая функция стационарной линейной системы. Весовой функцией соответствующей сопряженной системы будет, согласно определению, g* (t, т) = w(х— t). Для моделирования сопряженной системы в отрицательном времени необходимо сде­

фициентами усиления сохраняют свою роль, т. е. моделируются теми же самыми звеньями. При этом, само собой разумеется, все переменные коэффициенты усиления следует программиро­ вать в отрицательном времени.

Найдем теперь систему, сопряженную с последовательным соединением двух систем, имеющих весовые функции gt и g% (рис. 4.3.3). Весовая функция последовательного соединения выражается через весовые функции соединяемых систем форму­ лой (4.2.4). Весовая функция сопряженной системы, по опреде­

Сравнивая эту формулу с (4.2.4), приходим к заключению, что системой, сопряженной с последовательным соединением линей­ ных систем, является последовательное соединение соответствую­ щих сопряженных систем, взятых в обратном порядке (рис. 4.3.3).

При параллельном соединении линейных систем, как мы ви­ дели, их весовые функции суммируются. Поэтому, переставляя

162 ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

рафе представляет собой параллельное соединение систем с весо­ выми функциями gl и gz (рис. 4.3.6, б). Системой, сопряженной с этой обратной системой, будет на основании полученных резуль­ татов параллельное соединение соответствующих сопряженных систем (рис. 4.3.6, е). Система, обратная по отношению к этому параллельному соединению, будет сопряженной с исходной систе­ мой вследствие формулы (4.3.12). Но система, изображенная на рис. 4.3.6, в, отличается от системы, изображенной на рис. 4.3.6, б, только тем, что все элементарные системы заменены соответствую­ щими сопряженными. Следовательно, и система, сопряженная с данной системой, получается простой заменой в данной системе всех входящих в нее систем соответствующими сопряженными системами (рис. 4.3.6, г).

Таким образом, система, сопряженная с системой с обратной связью, получается из основной системы путем замены составляю­ щих ее систем соответствующими сопряженными системами. При этом, изображая сопряженные системы с обратным направле­ нием прохождения сигналов, как это сделано на рис. 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5 и 4.3.6, мы должны будем заменить точку разветвления сумматором и наоборот.

На основании изложенного можно дать следующую сводку правил построения сопряженных систем:

1.При моделировании сопряженной системы в отрицательном времени все элементарные звенья (усилители, дифференциаторы, интеграторы, форсирующие, апериодические, колебательные и запаздывающие звенья), а также все стационарные системы сохра­ няют свои функции. Все прочие линейные звенья заменяются соответствующими сопряженными.

2.Направление всех связей на структурной схеме изменяется на противоположное. При этом точки разветвления заменяются сумматорами, а сумматоры — точками разветвления.

Эти правила дают возможность весьма просто и быстро нахо­ дить сопряженные системы для любых систем, составленных из идеальных систем, осуществляющих основные операции анализа,

истационарных систем. А именно необходимо наложить на струк­ турную схему данной системы лист прозрачной бумаги, перерисо­ вать на него все системы, входящие в состав данной системы, заме­ нить сумматоры точками разветвления и наоборот, а направление всех связей заменить противоположным. В результате получим структурную схему сопряженной системы *).

*) Эти правила нахождения сопряженных систем были впервые выве­ дены для частного случая систем, состоящих из конечного числа идеальных интеграторов, усилителей и сумматоров, Лэнингом и Бэттином. Для про­ извольных линейных систем эти правила были установлены А. В. Солодовым [66] и Н. М. Сотским, получившими их независимо друг от друга различными методами.

и системы, описываемой линейным дифференциальным урав­ нением

Определив весовые функции этих двух систем, мы можем найти весовую функцию системы, описываемой уравнением (4.4.3), по формуле (4.2.4).

Для определения весовой функции системы, осуществляющей линейную дифференциальную операцию Н над входным возму­ щением, достаточно заменить в уравнении этой системы (4.4.5)

входное возмущение х единичным импульсом б(< — т). Тогда получим для весовой функции h(t, т) этой системы формулу

где индекс t у оператора Н указывает, что все коэффициенты этого оператора рассматриваются как функции t и дифференцирование осуществляется по переменной t при фиксированном т. Подставляя в формулу (4.4.7) выражение (4.4.4) оператора Н, получим развер­ нутую формулу для весовой функции h(t, т):

Для определения сопряженной системы воспользуемся выведен­ ными в предыдущем параграфе общими правилами нахождения сопряженных систем. Для этого начертим структурную схему системы, осуществляющей над входным возмущением линейную дифференциальную операцию Н (рис. 4.4.1). Сопряженная система получится, если мы заменим дифференцирующие звенья звеньями, выполняющими дифференцирование по отрицательному времени, сумматор — точкой разветвления и наоборот и изменим направ­ ление всех связей на обратное. Полученная в результате схема сопряженной системы представлена на рис. 4.4.2. Связь между

166 ГЛ 4 С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

выходной переменной т] этой системы и ее входной переменной как следует из рис. 4.4.2, имеет вид

т

где точкой заменена входная функция, над которой этот оператор действует, называется сопряженным с оператором Н. При помощи сопряженного оператора уравнение (4.4.9) перепишется в виде

Для определения весовой функции g(t,i) системы, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением (4.4.6), заменим входное возмущение x t этой системы единичным импульсом 6(г — т). Тогда получим для весовой функции g(t, т) уравнение

где, как и раньше, индекс t у оператора F означает, что все коэф­ фициенты этого оператора рассматриваются как функции t и диф­ ференцирование производится по переменной t при фиксирован­ ном т. Подставляя в (4.4.12) выражение (4.4.4) оператора F, можно представить дифференциальное уравнение (4.4.12) в раз­ вернутом виде:

Это уравнение представляет собой обыкновенное линейное диф­ ференциальное уравнение, определяющее весовую функцию рас­ сматриваемой системы как функцию первого аргумента t при фиксированном значении второго аргумента т. Весовая функция g(t, т) определяется как интеграл уравнения (4.4.12), равный, нулю при всех t <; т.

Покажем теперь, что б-функцию в правой части уравнения (4.4.12) или (4.4.13) можно заменить соответствующими началь­ ными условиями. Для этого заметим, что единичный импульс в пра­ вой части уравнения (4.4.12) вводит б-функцию б(£—т) в старший член уравнения an(t) gtm) (t, т), что равноценно слагаемому

1

ап (т) б (t — т)

Это уравнение на основании формулы (4.4.17) может быть пере­ писано в развернутом виде:

Уравнение (4.4.18) или (4.4.19) называется в теории дифферен­ циальных уравнений сопряженным с уравнением (4.4.6).

Для определения весовой функции сопряженной системы достаточно заменить в уравнении (4.4.18) входную переменную | единичным импульсом б(£ — т). Тогда получим для весовой функ­ ции сопряженной системы уравнение

Поменяв здесь местами аргументы t и т, можно после этого заменить весовую функцию £*(т, t) сопряженной системы весовой функцией g(t, т) основной системы. Тогда весовая функция g(t, т) основной системы, как функция второго аргумента т при фикси­ рованном значении t, определится дифференциальным уравнением

где индекс т указывает, что все коэффициенты оператора F рас­ сматриваются как функции т и дифференцирование производится по переменной т при фиксированном значении t. На основании формулы (4.4.17) уравнение (4.4.21) может быть переписано в раз­

вернутом виде следующим образом:

П

Это уравнение представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относительно весовой функции g(t, т), рассматриваемой как функция т при фиксированном зна­ чении t. Поэтому мы и пишем производные по т как обыкновен­ ные производные, а t рассматриваем как параметр, имеющий

Т = t на - і - . Поэтому, учитывая, что при т > t функция g(t, т)

ап \ Ч

ивсе ее производные равны нулю, приходим к заключению, что действие единичного импульса на сопряженную систему равноценно скачкообразному изменению п — 1-й производной g™~1) (t, т) от нуля до (— 1)п_1/'ап(і), когда т переходит через точку t, убывая, а производные g?~2)(t, т), ..., g'x (t, т) и сама весовая функция g(t, т) непрерывны и равны нулю при т = t. Таким образом, весовая функция g(t, т), рассматриваемая как функция т при фиксиро­ ванном t, представляет собой интеграл однородного линейного

Перейдем к определению весовой функции w(t, т) системы, поведение которой описывается уравнением (4.4.3). Как уже было сказано, эта система представляет собой последовательное соеди-

дифференциальным уравнением (4.4.6). На рис. 4.4.3 эта вторая система обозначена F~. Согласно результатам предыдущего параг­ рафа сопряженная система представляет собой последовательное соединение системы, описываемой дифференциальным уравне­ нием (4.4.18), и системы, осуществляющей линейную дифферен­ циальную операцию Н* (рис. 4.4.3). Изменяя роли аргументов t и т и подавая на вход сопряженной системы единичный импульс, мы получим на выходе первой системы весовую функцию g(t, т), рассматриваемую как функция т при фиксированном t, а на выходе всего последовательного соединения — весовую функцию w(t, т) системы, описываемой уравнением (4.4.3), рассматриваемую как функция т при фиксированном t (рис. 4.4.4). Следовательно,