книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf220 |
ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИ СТЕМ Ы |
|
Полагая в этой формуле t = кТп, получим Ѵ/ь = fk+i и вообще
Ѵ'/к = fk+i |
(I = 1. • • м »)• |
(5.4.9) |
На основании этой формулы уравнение (5.4.7) можно предста вить в компактной форме:
Р (V) Ук = Q (V) хк, |
(5.4.10) |
где Р (V) и Q (V) — полиномы относительно оператора сдвига:
P(V) = a„Vn+ an-iVn-1+ |
...+ аіѴ -!-ао, |
1 |
|
Q (V) = bmVm + bm-lV”1-1 + |
• • • + &lV + Ъ0. |
J |
' |
Найдем передаточную функцию стационарной дискретной линейной системы, описываемой разностным уравнением (5.4.10). По определению передаточной функции Y (z) стационарной дискретной линейной системы ее реакция на показательное воз
мущение X (2) = est, xk = eshTn определяется формулой
yh = W(z)eshTп.
Подставляя это выражение и соответствующее выражение входной переменной хк = eshTn в уравнение (5.4.10), приведем его к виду
V (z) Р (V) e hTn= Q (V) e hTп. |
(5.4.12) |
Но
Ve*ftTn= Ves<ft= es(tfe+Tn) = esTnesftTn
или, вследствие (5.3.13),
Ve‘kTn = zesftrn. |
(5.4.13) |
Таким образом, применение операции сдвига к показательной функции сводится к умножению ее на величину z, и мы получаем
v V ÄTn = zleshTn |
(1= 1, 2, ...). |
(5.4.14) |
На основании формулы (5.4.14) мы можем заменить в уравне нии (5.4.12) оператор сдвига V величиной z. Тогда получим сле дующее линейное алгебраическое уравнение для искомой переда точной функции Т (z):
W(z)P(z) eahT*=:Q(z)eshTп.
Сокращая это уравнение на еs k T п и решая его, получим следую щую формулу для передаточной функции системы, описываемой разностным уравнением (5.4.10):
Ч'(2) |
P(z) |
(5.4.15) |
|
QM |
|||
|
' |
§ 5.4. СИСТЕМ Ы , О ПИСЫ ВАЕМ Ы Е РА ЗН О С ТН Ы М И У РА В Н ЕН И Я М И 221
Таким образом, передаточная функция стационарной дискрет ной линейной системы, поведение которой описывается разност ным уравнением, всегда является дробно-рациональной функцией переменной z =' esTn.
Мы видим, что передаточные функции стационарных дискрет ных линейных систем, описываемых разностными уравнениями, определяются совершенно так же, как и передаточные функции непрерывных стационарных линейных систем, описываемых диф ференциальными уравнениями. В случае непрерывной системы оператор дифференцирования в дифференциальном уравнении заменяется параметром показательной функции s, а в случае дискретной системы оператор сдвига в разностном уравнении заменяется величиной z = esTn. В обоих случаях в результате получается алгебраическое уравнение для передаточной функции системы. Заметим, что операторы дифференцирования и сдвига
связаны тем же самым соотношением, что и величины s |
и z. Для |
||||
доказательства |
разложим функцию / в |
ряд |
Тейлора с центром |
||
в точке tk: |
|
|
уіТІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ан = / ft. + Г.) = / ( « + |
Т„Г (<„)+... + |
-fi-/'»> ( < » ) + . . . - |
|||
- 0 |
+ T- i + |
■■■+ ^ r ( r » i r ) “ + |
• • •] f «»>■ |
<5-4 J6 > |
|
Ряд в квадратных скобках можно формально |
просуммировать. |
В результате получим |
|
l + r „ 4 ~ b |
аdt |
|
|
и формула (5.4.16) примет вид |
|
fk+ 1 = еT*°h. |
(5.4.17) |
В данном случае еТи° является сокращенной формой записи тех операций, которые необходимо произвести над значением функ
ции / в точке th, чтобы получить ее значение в точке tk+i |
= th + |
|
+ Т в. Сравнивая формулу (5.4.17) |
с формулой (5.4.9) при I = 1, |
|
получим формальное соотношение |
между операторами |
сдвига |
и дифференцирования! |
|
|
V = eT°D. |
(5.4.18) |
|
Сравнивая эту формулу с (5.3.13), убеждаемся в том, что опера торы сдвига и дифференцирования связаны тем же соотношением, что и величины z и s.
Определим теперь передаточную функцию Т (z) стационарной дискретной линейной системы, представляющей собой последова тельное соединение импульсного элемента и непрерывной ста ционарной линейной системы, описываемой дифференциальным
222 |
ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
|
уравнением |
F (D) у = Н (.D) X, |
(5.4.19) |
|
предполагая, что степень га полинома F больше степени т поли нома Я. Сначала находим весовые коэффициенты системы. При этом для простоты будем предполагать, что полином F (s) имеет только простые корни Vj, . . ., ѵп. В этом случае весовая функ ция системы, описываемой уравнением (5.4.19), определяется формулой (4.4.50):
Г=1
Подставляя это выражение в формулу (5.3.6), получим
пТ
^о = 0, шт = 2 |
|
P l$ .jeVrmTn J е~Ѵг° TK °)d<T |
( т = |
1, |
2, ... ) . |
|||
Г — 1 |
Г |
|
0 |
|
|
|
|
|
Полагая для краткости |
|
|
|
|
|
|
||
zT= еѴгГп, |
|
|
ги |
e-wr] (о) da |
|
|
|
|
|
кг = |
j |
(г = |
1, .. . , |
га), |
(5.4.20) |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
можем переписать |
полученную формулу в виде |
|
|
|||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
ш0 = О, |
шт = |
2 |
|
(m = |
1 , 2 , . . . ) . |
(5.4.21) |
||
|
|
Г—1 |
|
|
|
|
||
Зная весовые коэффициенты системы, можно воспользоваться для определения передаточной функции общей формулой (5.3.14). Подставив в нее выражение (5.4.21) весовых коэффициентов
иизменив порядок суммирования, получим
Поо
г=1 |
2 |
<5-4-22> |
т=1 |
|
Бесконечный ряд в этой формуле является геометрической про грессией со знаменателем zrz_1 и с первым членом zrz~x. Суммируя эту прогрессию, получим
¥ ( z ) = 2 |
Н (ѵг) |
zrz-l |
|
r F' (vr) |
1 — zrz_1 |
|
|
г=1 |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
¥(z) = |
|
Krzr |
(5.4.23) |
sF'g(Vr)(vr) z—%T |
|||
r = l
§ 5.4. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е РА ЗН О С ТН Ы М И У РА В Н Е Н И Я М И 223
Эта формула показывает, что передаточная функция последова тельного соединения импульсного элемента и стационарной линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением, является дробнорациональной функцией переменной z.
Если полином F (s) имеет кратные корни, то весовая функция непрерывной части системы представляет собой линейную комби нацию показательных функций, умноженных на полиномы отно сительно времени. В этом случае в выражении (5.4.21) весовых коэффициентов іѵт появятся еще слагаемые, пропорциональные величинам (тТп)Лг™, где h — целое положительное число, не пре восходящее степени п полинома F (s). Эти слагаемые дадут в выра жении передаточной функции системы (5.4.22) дополнительные члены, пропорциональные рядам вида
2 (mTn)hz?z-m. m=1
Эти ряды легко суммируются. В самом деле, замечая, что
|
(тГп)Лг™ |
d h vrm Tn __ |
dhz!j} |
|
|
|
|
dv£ e |
~ |
dv£ ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
2 |
{mr„)hz™z-m |
dh |
|
dh |
z T |
(5.4.24) |
2 |
|
dvhr |
z—zr |
|||
m = 1 |
|
|
|
|||
|
m=1 |
|
|
|
|
|
В результате и в случае кратных корней полинома F (s) мы полу чим дробно-рациональную передаточную функцию рассматривае мой системы.
Приводя дроби в (5.4.23) или в аналогичной формуле в случае кратных корней полинома F (s) к общему знаменателю, можем выразить передаточную функцию в виде отношения двух полино мов (5.4.15) и написать соответствующее разностное уравнение. Следовательно, поведение стационарной дискретной линейной системы, представляющей собой последовательное соединение импульсного элемента и стационарной линейной системы, описы ваемой дифференциальным уравнением, описывается некоторым разностным уравнением, которое легко находится по данному диф ференциальному уравнению непрерывной части системы и данной функции т] (t), определяющей форму импульсов, вырабатываемых импульсным элементом.
Передаточная функция Q (ѵ) последовательного соединения импульсного элемента и стационарной линейной системы, описы ваемой обыкновенным дифференциальным уравнением, также пред ставляет собой дробно-рациональную функцию параметра ѵ, так как формула (5.3.17) выражает z как рациональную функцию ѵ.
224ГЛ . Д 5. И С К РЁ Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы
Пр и м е р 5.4.1. Найти передаточную функцию W (z) и разностное уравнение дискретной системы, представляющей собой последовательное соединение импульсного элемента и апериодического звена с постоянной времени Т и коэффициентом усиления к, предполагая импульсы прямоуголь
ными: г) (о) = 1.
Для определения передаточной функции Y (z) воспользуемся форму
лой (5.4.23). Единственный в данном случае корень полинома |
|
||||||
|
|
F (s) = Ts + 1 |
|
|
|
||
в уравнении (5.4.19) для апериодического звена равен |
= —1/Т. Так как |
||||||
в данном случае |
Н (s) = к, |
F' (s) == Т, |
то формула |
(5.4.23) |
дает |
||
|
*(*) = -£ |
*1 ^ 1 |
Zj= e |
Т |
|
(5.4.25) |
|
|
Z — Z j |
|
|
||||
Остается определить коэффициент И). Вторая формула (5.4.20) |
в данном слу |
||||||
чае дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
Хі = |
5И |
da = T (е 1 —1). |
|
|
||
Подставляя это |
выражение |
в |
(5.4.25), |
получим |
|
|
|
|
|
|
z - v _ А |
|
|
|
(5.4.26) |
|
Т (z) = |
kzi —--------- |
|
|
|
||
|
|
|
Z — Zj |
|
|
|
|
Разностное уравнение рассматриваемой дискретной системы имеет вид |
|||||||
|
(V —zj) i/h = kzi (zi y — l)xk |
|
|
||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
г/fc+i—ziyft = fczj (z~V— l)z h. |
|
(5.4.27) |
||||
П р и м е р 5.4.2. Найти передаточную функцию 'F (z) и разностное урав нение последовательного соединения импульсного элемента, вырабатываю щего прямоугольные импульсы т) (а) = 1, и колебательного звена.
Используя результаты примера 4.4.3, находим по формуле (5.4.23):
¥(z) |
, |
|
|
2ісо0 \ |
z —Zi z —z2 I |
(5.4.28) |
|
Zj = e-(а-гш о )Т , |
z2 = e -(а-Н(Оо)Т |
||
|
Формула (5.4.20) дает в данном случае следующие выражения для чисел
Kt и х2:
* 1 = |
^ |
e(a-i(Oo)od(J_ е(а-гсоо)Ти _ |
1 |
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
о |
|
а— іооо |
|
а— іо)о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( а + і щ ) Т п _ |
1 |
z£V_^_ |
х2 = |
j |
«<а+і(0°)° do |
(X-|- іыо |
|
|
|
Ü-j“І(0о |
||||
|
|
|
|
||
о
§ 5.4. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е РА ЗН О С ТН Ы М И У РА В Н ЕН И Я М И 225
Приводя дроби в (5.4.28) к общему знаменателю, приведем полученное выражение передаточной функции к виду
ц, , . _, (XjZj —X2Z2) Z -f- (X2 — Кд) ztz2 2icoo [z2—(2iH- 2г) z~\~2і22і
Отсюда видно, что поведение последовательного соединения импульсного элемента и колебательного звена описывается линейным разностным уравне нием второго порядка с постоянными коэффициентами:
Ук+2 — (zl + 2г) Jh+i’ |
+ z iz 2Uh = |
|
|
|
к |
ziz2*h\’ |
(5.4.29) |
|
xh+i+ {*2— * i) |
Легко видеть, что все коэффициенты этого уравнения действительны вслед ствие того, что Zj, z%и Хі, являются парами сопряженных комплексных чисел.
Г л а в а 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 6 .1. Определение устойчивости. Общее условие устойчивости линейной системы
Всякая автоматическая система должна быть, прежде всего, работоспособной. Это значит, что она должна нормально функцио нировать и быть нечувствительной к неизбежным посторонним возмущениям различного рода. В частности, она должна нор мально функционировать при действии на нее случайных помех и шумов. Иными словами, автоматическая система должна рабо тать устойчиво, несмотря на действие на нее различных посто ронних возмущений. Чтобы научиться проектировать устойчивые автоматические системы, необходимо сначала дать определение устойчивости.
Линейная система называется устойчивой, если ее выходная переменная остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных возмущениях. На основании принципа суперпозиции, справедливого для любых линейных систем, это определение можно также сформулировать следую щим образом: линейная система называется устойчивой, если ее
выходная переменная остается сколь угодно малой при любых достаточно малых по абсолютной величине входных возмущениях.
Для того чтобы физически возможная линейная система была « устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы ее весовая функция 8 (t, т) удовлетворяла при всех t0 условию
|
t |
I git, т) Idx<.c, |
|
lim |
f |
(6 .1 .1 ) |
|
£-► 00 |
* |
|
|
|
*0 |
|
|
где c — некоторая конечная |
величина *). |
(6.1.1) предполо |
|
Для доказательства достаточности условия |
|||
жим, что входное возмущение представляет собой функцию х (t),
*) На практике встречаются только такие системы, весовые функции которых ограничены при всех t и т, кроме, может быть, дискретного ряда значений т, которым соответствуют линейные комбинации 6 -функций. Для таких систем интеграл в (6 .1 .1 ) конечен при любых конечных t0и t и условие (6 .1 .1 ) будет выполнено (или не выполнено) при всех t0, если оно выполнено (соответственно не выполнено) при каком-нибудь одном значении t0.
§ 6.1. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е УСТОЙЧИВОСТИ |
227 |
ограниченную по абсолютной величине: | х (і) | ^ ц, где г) — некоторая положительная величина. Тогда вследствие (6.1.1) будем иметь
і */(*)! =
t |
t |
t |
j g(t, |
т)ж(т)гіт|< j \g(t, |
т) I |ж(т)|йг<т) j |g(*, t) | cZt < t)c. |
to |
to |
to |
|
|
( 6. 1.2) |
Таким образом, при выполнении условия (6.1.1) выходная пере менная системы остается ограниченной при ограниченном входном возмущении. Из (6.1.2) следует также, что выходная переменная системы будет оставаться по абсолютной величине меньше любого заданного положительного числа е при любых входных возмуще ниях, не превосходящих по абсолютной величине г| = г/с.
Докажем теперь, что условие (6.1.1) необходимо. Для этого предположим, что система устойчива и что для нее условие (6 .1 .1 ) не выполнено, т. е.
1
lim |
Г |g(£, т)|с?т=оо. |
(6.1.3) |
t - * 0 0 |
‘.VО |
|
Вследствие предполагаемой устойчивости системы при любых t0,
t' , |
t, |
t0 < t' |
^ |
t, |
справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
g(t, i ) x ( T ) d x |
< k ( t ) , |
|
|
|
|
|
(6.1.4) |
||
где |
к |
(t) — некоторая |
ограниченная |
функция, |
а |
х (t) |
— любая |
|||||||||
функция, не |
превосходящая |
по абсолютной |
величине |
единицу: |
||||||||||||
I х |
(t) |
1 ^ 1 . |
Возьмем |
теперь |
произвольную |
неограниченно воз |
||||||||||
растающую последовательность чисел «і < |
а2 < |
. . . |
< |
ап < . \ |
||||||||||||
Н т ап = оо. |
Вследствие (6.1.3) для |
любого |
ц > 0 |
существует |
||||||||||||
71-*- СО |
неограниченная |
последовательность |
моментов |
времени |
||||||||||||
такая |
||||||||||||||||
*о < |
< . . . |
< |
tn <С . . ., tn -> оо при |
п -> оо, |
для |
которой |
||||||||||
|
|
tnJ |
\g(tn, |
x )\d T > k (tn) + ^ - |
{п= 1 |
, 2 |
, . . . ) . |
(6.1.5) |
||||||||
|
|
ід-1 |
теперь |
входное возмущение |
вида *) |
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим |
|
|
|
|
||||||||||||
х (т) = 'Пsgn g (tn, |
т) при г„_і< т < |
tn |
(п = |
|
1 , |
2, . . .). (6.1.6) |
||||||||||
) Функция sgn X (читается «сигнум икс») представляет собой знак ргумента х, т. е. равна +1 при х > 0 и — 1 при х < 0. Вследствие этого ри любых X имеет место тождество х sgn х = \ х \.
15*
228 |
ГЛ . 6. У С ТО Й ЧИ ВО СТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Это входное возмущение не превосходит по абсолютной величине произвольную величину ц > 0 . Выходная переменная системы в момент tn при входном возмущении (6 .1 .6 ) будет равна
y{tn)= j g(tn, x)x{x)dx + |
j g(tn, x)x(x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
tn - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
tn *1 |
|
tn |
|
|
|
|
|
|
|
= j |
g{tn, |
T)a:(T)dT + Ti j | g(tn, x)\dx. |
(6.1.7) |
||||||
to |
|
tfl - i |
|
|
|
|
|
|
|
Но из (6.1.4) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn-1 |
g(f„, |
x)x(x)dx> — x\k{tn), |
( |
6 |
. |
1 |
. |
8 |
) |
j |
|
|
|
||||||
h
так как в данном случае | х (т) | = т]. На основании (6.1.5) и (6.1.8) из (6.1.7) вытекает неравенство
y(tn )> —'Пй(*п)+'п[й(<п) + - ^ ] = ап-> 00• (6-1.9)
Таким образом, если условие (6.1.1) для линейной системы не вы полнено, то существует сколь угодно малое входное возмущение, при котором выходная переменная системы неограниченно воз растает при t —*■оо, т. е. система не может быть устойчивой. Полу ченное противоречие доказывает необходимость условия (6 .1 .1 ).
Из (6.1.1) следует, что для непрерывной устойчивой системы
limg(£, т) = 0 |
(6 .1 .1 0 ) |
t-+oo |
|
при любом т. Однако это условие не достаточно для устойчивости непрерывной системы.
В теоретических исследованиях часто приходится рассматри вать и такие системы, у которых выходной сигнал содержит линейную комбинацию производных входного сигнала. Мы будем называть такие системы дифференцирующими. Весовая функция линейной дифференцирующей системы содержит линейную комби нацию б-функции и ее производных. Дифференцирующие системы всегда неустойчивы в смысле данного выше определения. Поэтому, говоря об устойчивости дифференцирующей линейной системы, мы всегда будем подразумевать устойчивость системы, весовая функция которой получается из весовой функции данной диффе ренцирующей системы путем отбрасывания б-функции и ее про изводных.
Можно также определить устойчивость дифференцирующей системы как свойство иметь ограниченный выходной сигнал при любых входных сигналах, ограниченных вместе со своими произ водными до соответствующего порядка.
|
§ 6.1. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е УСТОЙЧИВОСТИ |
229 |
||
J |
П р и м е р 6.1.1. Определить, |
устойчиво или неустойчиво апериодиче |
||
ское звено, весовая функция 'которого |
определяется формулой |
|||
|
|
к_ |
t-x |
|
|
|
т |
|
|
|
ë { t , т) = |
Т е |
|
|
В |
этом случае |
t-x |
_ |
|
|
|
f—tp |
||
|
|
т |
d x = | Л 111 — е |
т |. |
Таким образом, при положительной постоянной времени Т интеграл (6.1.1) при любых t0 и і не превосходит абсолютной величины коэффициента уси ления апериодического звена к. При отрицательной постоянной времени Т интеграл в (6.1.1) неограниченно возрастает. Таким образом, апериодическое звено устойчиво при положительной постоянной времени и неустойчиво при отрицательной постоянной времени.
П р и м е р 6.1.2. Определить, устойчиво или неустойчиво колебатель ное звено, поведение которого описывается дифференциальным уравнением
у" + 2ау' + Ъ2у = X, I а | < Ь.
Весовая функция колебательного звена определяется формулой (пример 4.4.2)
g (t, т) = -^ —в_а((_і:)зіпсоо(г —т).
где
І
( | «0
СОоII> |
1 N |
а2. Следовательно, в |
|
g ( t , т) ] dx = |
to |
|
|
|
U(*. *—?)И І = т г |
||
|
С |
0)0 |
|
|
|
||
|
N |
kn |
0Т| |
О)? |
Zj |
j |
Г « 1sin г] |dr]-|- |
k=i(h - 1)л
ЭТОМ случае
0)0(<—Ц) |
|
|
||
( |
|g |
|
* — 0)0 / |
|
и |
|
|
|
|
Шо(І- t o ) |
|
or) |
||
1 |
’ |
e |
Щ 1sin T] |
|
О)2 |
||||
|
|
|
||
JVrt
dr] =
II
-P
N |
a ( h - l)xc |
я |
go |
®o(t-<o) |
ат) |
|
ио |
f |
(Oq sin а da-f-- |
|
m° I Sin T) I dT], |
fe=l |
|
|
|
N n |
|
где N |
= [co0 (t — t0)lл] *). Выполняя интегрирование и суммируя геометриче |
|
скую |
прогрессию, получим |
|
|
птт |
п(TV-L-I W |
/_ 1 |
]1Ѵ- 1 |
(6.1.11) |
+ — |
---- е-а(1-<о) Ja sin Wo ((—г0)+ й>0 COS 0)0 (t — го)Ь |
При а > о правая часть этого равенства остается конечной при 1->со (при этом, очевидно, и N -*■ оо). При а < 0 правая часть равенства (6.1.11) неогра-
*) Через [г] обозначена целая часть числа х, т. е. наибольшее целое число, содержащееся в числе х.