книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf50 ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
весовая функция которой не удовлетворяет этому условию, физи чески немыслима.
Теоретически мы можем рассматривать как физически возмож ные, так и физически невозможные системы. Более того, в общей теории линейных систем, как мы увидим ниже, большую роль играет один класс физически невозможных систем. Кроме того,, часто приходится проектировать системы для решения таких задач, которые не могут быть идеально точно решены физически возможными системами. В таких случаях приходится рассматри вать идеальные физически невозможные системы для оценки точ ности проектируемых физически возможных систем.
Рассмотрим теперь физически возможную линейную систему, находящуюся в покое до момента t0, предполагая, что возмуще ние X (t) действует на нее начиная с момента t0. Для такой системы в формуле (2.2.3) подынтегральная функция равна нулю при т < t0 и при т > t. Действительно, возмущение х (t) не действует на систему до момента t0, что равноценно предположению х (т) = О при т < t0. При г > t весовая функция g (t, т) равна нулю вслед ствие условия физической возможности (2.2.4). Следовательно, для физически возможной системы соотношение (2.2.3) между входной и выходной переменными переписывается таким образом:
(2.2.5)
Имея в виду, что в возмущение х (t) могут входить импульсы типа б-функции, условимся считать, что пределы интегрирования всегда включаются в интервал интегрирования, т. е. интеграл в (2.2.5) понимать как предел интеграла от t0 — е до t + е при е ->0.
Рассмотрим типовые идеальные системы, осуществляющие элементарные операции анализа.
1. Система тождественного преобразования, или, что одно и то же, идеальная следящая система, представляет собой такую систему, у которой выходная и входная переменные тождественно равны друг другу: у (t) == х (t). Сравнивая формулы (2.1.17)
и (2.2.3), видим, что весовая функция идеальной следящей системы есть б-функция:
gc (t, т) = б (t — т). |
(2.2.6) |
|
2. Идеальный экстраполятор представляет собой такую си стему, у которой выходная переменная опережает входную пере менную на заданный интервал времени а > 0 : у (t) = х (і + а). Для того чтобы найти весовую функцию идеального экстраполятора, заменим в формуле (2.1.17) t величиной t + а и сравним полученную формулу с (2.2.3). Тогда получим
g»(t, т) = б ( / - т - | - а ) = б ( « - ( т - а)). |
(2.2.7) |
§ 2.2. ВЕСО ВЫ Е Ф У Н К Ц И И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
51 |
Эта формула показывает, что идеальный экстраполятор реаги рует на единичный импульс, действующий в момент времени т, единичным импульсом в момент времени т — а, предшествующий моменту т. Следовательно, идеальный экстраполятор является физически невозможной линейной системой.
3. Идеальное запаздывающее звено получается из экстраполя-
тора при а < 0. Поэтому, полагая в (2.2.7) а = — I, получим весовую функцию запаздывающего звена:
g3 (t, т) = б (t — т — I) = 8 (t — (т + I)). |
(2.2.8) |
4. Безынерционный усилителъ производит усиление входной величины. При этом коэффициент усиления в общем случае может быть функцией времени. Таким образом, для безынерционного усилителя у (!) = к (t) х (t). Умножая формулу (2.1.17) на Лг и сравнивая результат с (2.2.3), видим, что весовая функция безинерционного усилителя имеет вид
gy (г, т) = к (t) 8 (г — т). |
(2.2.9)- |
5. Идеальное дифференцирующее звено. Его выходная перемен ная в каждый момент времени равна значению производной вход ной переменной по времени в тот же момент: у (t) = x' (t). Диф ференцируя формулу (2.1.17) по < и сравнивая результат с (2.2.3),. убеждаемся в том, что весовая функция идеального дифференци рующего звена определяется формулой
ёп (*, *) = б' i t - т). |
(2.2.10) |
Таким образом, весовая функция идеального дифференцирующегозвена представляет собой производную 8-функции.
6. Идеальное интегрирующее звено дает на выходе функцию
t |
|
у (г) = j X(т) dx. |
(2.2.11) |
to
Сравнивая эту формулу с (2.2.3), мы видим, что весовая функция идеального интегрирующего звена равна единице при t > т и нулю при t < т, т. е. представляет собой единичную ступен чатую функцию:
ёи (t, т) = 1 (t — т). |
(2.2.12) |
П р и м е р 2.2.1. Найдем в качестве примера весовую функцию объекта управления, представляющего собой двигатель, у которого управляющим входным сигналом является вращающий момент М, выходным сигналом — угловая скорость вала со, а сопротивление вращению вала пропорционально угловой скорости (0.
Обозначив момент инерции вала двигателя вместе с присоединенными к нему деталями через J , можно написать дифференциальное уравнение вра-
Щательпого движения вала: |
|
/ш = М — h(s>, |
(2.2.13) |
4«
52 |
Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
где has — момент сил сопротивления. Для определения весовой функции двигателя следует задать входной сигнал М в виде мгновенного единичного импульса Ö(г — т). Тогда выходной сигнал as по определению и будет пред ставлять собой искомую весовую функцию g (t, %). В результате для опреде ления весовой функции g (t, т) получим уравнение
Jg + h g = b ( t - i ) , |
(2.2.14) |
где точка означает дифференцирование по t, а т рассматривается как фикси рованный момент действия единичного импульса. Интегрируя уравне ние (2.2.14) и учитывая, что двигатель является физически возможной систе
мой, вследствие чего g (t, т) = |
0 при t < |
т, |
получим при |
t > т |
|
|
g(t, х) = е Т< Jf |
е~ ° б(стJ~ |
т) |
da = JJ- e |
j(t |
T>. |
(2.2.15) |
—оо |
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 2.2.2. Если в условиях предыдущего примера за выходной |
||||||
сигнал двигателя принять угол |
поворота вала ф, то будем иметь |
со = <р, |
||||
и дифференциальное уравнение вращательного движения |
вала примет вид |
|||||
/ф |
+ Аф = М. |
|
|
|
(2.2.16) |
|
Для определения весовой функции зададим входной сигнал в виде единич ного импульса М = б (г — т). Тогда получим для весовой функции gt (t, т) дифференциальное уравнение
j ’gi + hgl = 6(t —x). |
|
|||
Интегрируя это уравнение, получим |
|
|
|
|
gi (Ц i) = g(t, *)= |
|
|
|
при |
|
1 |
— r(t - T) |
при |
|
|
|
-у- е |
|
|
1 |
Г |
—-r(o-t) |
1 |
|
gi {t, t) = J g(o, T)dn= JO-dcr + y |
Je |
J |
dcr= - j[l —e |
|
(2.2.17)
t < 1
t > т
_h_Q _ ^
J ]. (2.2.18)
to |
to |
T |
П р и м е р |
2.2.3. Объектом управления является цилиндрический нагре |
|
ватель (рис. 2.2.2). Нагреваемое вещество находится внутри цилиндра. Управ ляющим входным сигналом является количество тепла q (t), подводимое к единице площади внешней поверхности цилиндра в единицу времени. Целью управления является обеспечение заданного закона изменения температуры внутренней поверхности цилиндрической стенки нагревателя. Эта температу ра и является в данном случае выходным сигналом нагревателя.
Если толщина стенки нагревателя мала по сравнению с его диаметром, то можно пренебречь разностью площадей внешней и внутренней поверхно стей стенки. Тогда, если выбрать начало координат О на внешней поверхно сти стенки нагревателя и направить ось Ох по нормали к ней внутрь стенки (рис. 2.2.3), то закоп изменения температуры в стенке й (t, х) будет опре деляться одномерным уравнением теплопроводности (см., например, [63],
§ 2.2. |
ВЕСО ВЫ Е Ф У Н К Ц И И Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
53 |
||
т. II, § 21) |
|
|
|
|
|
|
ÜL—Jl |
öx2 ’ |
|
(2.2.19) |
|
|
dt |
cp |
|
|
|
где к — удельная |
теплопроводность, |
с — удельная |
теплоемкость, |
а р — |
|
плотность материала стенки нагревателя.
Для полного описания процесса изменения температуры в стенке нагре вателя необходимо добавить к уравнению (2.2.19) граничные условия — урав нение подвода тепла к внешней поверхности стенки и уравнение отвода тепла от внутренней поверхности стенки:
g(t)
к
------ £ - # ( t , I), |
(2.2.20) |
где в дополнение к предыдущим обозначениям h — коэффициент теплопере дачи от стенки нагревателя к нагреваемому веществу.
Для определения весовой функции нагревателя следует принять входной сигнал q (t) равным б (г — т). Проинтегрировав уравнение (2.2.19) при гранич ных условиях (2.2.20) при q (t) = б (t — т), найдем весовую функцию нагре вателя как значение температуры О (f, х) на внутренней поверхности стенки:
g (t, т) = |
■&(г, I). |
|
|
|
|
|
|
Легко проверить непосредственной подстановкой, что уравнению (2.2.19) |
|||||||
и второму граничному |
условию |
(2.2.20) |
удовлетворяет |
функция |
|
||
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
■&(t, х) = ^ |
а (со) / (X, со) еші dco, |
|
(2.2.21) |
|||
где |
|
—ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
,/т — х - 1 |
----- |
- У |
х - і |
|
|
j (х\ |
У не-------- |
ко-------- |
(2.2.22) |
||||
со)г= (к "і/гсо—ah) е |
а + (к ~[/гео + ah) е |
|
“ , |
||||
аг = к/ср, а а (со) — произвольная функция. Этой произвольной функцией можно распорядиться так, чтобы удовлетворить и первому граничному усло вию (2.2.20). Полагая q (і) = б (t — т) и пользуясь представлением б-функции
ввиде интеграла Фурье (2.1.24), перепишем первое граничное условие (2.2.20)
ввиде
еш(і-т) do)-
2кк
54 ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Подставляя сюда выражение д&/дх, полученное дифференцированием форму
лы |
(2.2.21), |
будем иметь |
|
|
|
|
|
j a ( “ ) / i ( 0 . |
(a)eiatda> = — |
j e,w(< |
T) A b . |
Это |
условие |
обращается в |
тождество, если |
положить |
|
|
|
« (со)/; (0, со)----- -2НГ е“ ІС°Т- |
(2.2.23) |
||
Для определения /ж (0, со) продифференцируем формулу (2.2.22) по z и поло
жим после этого |
х — 0. |
Получим |
|
|
|
|
|
f'x (0, |
со)= — ер (іа) ~]/іа > |
(2.2.24) |
|
где для краткости |
положено |
|
|
|
|
I |
к _ |
\ |
Via— I |
k . _ \ |
-Уіш— |
ф(іш) = ^— V icü+ ä ) е ° — |
Vico — fej |
(2.2.25) |
|||
Подставляя выражение (2.2.24) в (2.2.23) и решая полученное уравнение относительно а (со), будем иметь
а (со) --------------- ------ у = г |
е ~ і ш . |
(2.2.26) |
|||
|
2яісф (ісо) ~(/іа |
|
|
||
Подставляя это выражение а (со) |
в (2.2.21), |
получим |
|
||
1 |
СО |
|
|
|
|
Г |
/(ж, со) |
в1®»“*) da. |
(2.2.27) |
||
' (t, x) = 2лк |
|||||
|
J |
ф (ісо) V ісо |
|
||
Наконец, для определения весовой функции положим в (2.2.27) х = I. Тогда,
принимая во внимание, что па основании (2.2.22) / (і, со) = 2fe ~(/ісо, получим для искомой весовой функции нагревателя формулу
*(*. *)= <>(*’ г> = іг J еІ0)(‘" Т) ФІЙ5)- • |
(2.2.28) |
— 00 |
|
Перейдем теперь к многомерным линейным системам, имеющим любое число входов и выходов.
На основании принципа суперпозиции действие каждого вход ного возмущения на многомерную линейную систему можно рас сматривать отдельно, а затем результаты действия отдельных возмущений на каждом выходе просуммировать.
Для изучения реакции на к-м выходе линейной системы на возмущение, действующее на одном только h-м входе, можно рас сматривать эту систему как систему с одним входом и одним выхо дом. Тогда для вычисления реакции на к-м выходе линейной си стемы на любое возмущение, действующее на h-м входе, достаточно будет знать соответствующую весовую функцию ghh (£» *)• Эта весовая функция представляет собой реакцию на к-м выходе
§ 2.2. ВЕСОВЫЕ Ф У Н К Ц И И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
55 |
линейной системы на единичный импульс, действующий на h-м входе в момент т при отсутствии возмущений на остальных входах.
Совокупность |
весовых функций |
g^u (t, т) (к — 1, . . |
т; h = |
= 1, . . п), |
соответствующих |
всем входам и всем |
выходам, |
является исчерпывающей характеристикой многомерной линей
ной системы.
Зная весовые функции многомерной линейной системы, соот ветствующие всем входам и выходам, можно для вычисления ее реакции на каждом выходе на возмущение, действующее только на каком-нибудь одном входе, применить формулу (2.2.3) или (2.2.5) (для физически возможных систем). Суммируя получен ные результаты для каждого отдельного выхода по всем входам, найдем все выходные переменные рассматриваемой линейной ■системы, соответствующие одновременному действию любых воз мущений на всех ее входах.
Таким образом, изложенная теория применима как к одно мерным, так и к многомерным линейным системам.
Согласно изложенному выходные переменные линейной систе мы, имеющей п входов и т выходов, выражаются через ее весовые
функции ghh (t, т) |
(к = 1, . . ., пг; |
h = 1, . . ., га) |
формулой |
i |
Shh (t, x) xh (т) dx |
(k = l , . . . , m ) . |
(2.2.29) |
h=1 —oo |
|
|
|
Для физически возможных линейных систем все весовые функции равны нулю при т >» t. Поэтому для физически воз можной многомерной линейной системы, находящейся в покое до момента t0, подынтегральные функции в (2.2.29) равны нулю при т < t0 и при т вследствие чего формула (2.2.29) может быть переписана в виде
пX
Ун{і) = У1 |
j ghh (t, |
т) Xh (т) dx |
( k = l , . . . , m ) . |
(2.2.30) |
||||
/1 = 1 |
to |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что если ввести матрицу весовых функций |
|
|||||||
|
gll (t, |
х) |
g i2 (t,x) . |
• |
g i n |
(t , |
T) |
|
g ( t , т) = |
ga (*. |
х) |
gzz ( t , T) . |
• |
g zn |
(it, |
T) |
(2.2.31) |
|
g m l |
't) |
g m 2 (t I T) • |
• |
g m n (£> t) |
|
||
и векторные входной и выходной сигналы х (t) и у (t) с составляю щими Хі (і), . . ., хп (t) и г/i (t), . . ., ym (t) соответственно, то формулы (2.2.29) и (2.2.30) можно коротко записать в виде (2.2.3) и (2.2.5). Таким образом, формулы (2.2.3) и (2.2.5) справедливы для систем с любым числом входов и выходов.
56 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
§ 2.3. |
Характеристика реакции линейной системы |
на показательное возмущение. Частотная характеристика
Взяв в качестве элементарных возмущений, на которые можно разложить произвольное возмущение, единичные импульсы, т. е. б-функции, мы получили характеристику линейной системы — весовую функцию и выразили через нее реакцию линейной системы на любое возмущение.
Тип элементарных возмущений, на которые можно разложить произвольное возмущение, можно выбрать различными спосо бами. В зависимости от выбора типа элементарных возмущений получаются различные характеристики линейных систем. Во мно гих задачах практики удобно взять в качестве элементарных воз мущений гармонические колебания всех возможных частот. Известно, что при весьма общих условиях любую функцию можно разложить в ряд Фурье или представить интегралом Фурье. По этому, зная реакцию линейной системы на гармонические колеба ния всех возможных частот и пользуясь принципом суперпози ции, мы можем определить реакцию системы на произвольное возмущение.
Рассмотрим некоторую функцию х (t). Если она абсолютно
интегрируема, то ее можно |
представить интегралом |
Фурье: |
|
00 |
|
x(t) = |
j с (іа) еш da, |
(2.3.1) |
—оо |
|
|
где |
оо |
|
|
|
|
с(йо) = 7 ^ |
j x(t)e~i(aidt |
(2.3.2) |
— ОО
Если возмущение х (t) действует на входе линейной системы, то на основании принципа суперпозиции выходная функция системы будет равна
ОО |
|
y ( t) = A x ( t) — j c(ia)Atei(atda, |
(2.3.3) |
—оо
где А — оператор системы. В этой формуле A teiat представляет собой реакцию линейной системы на гармонические колебания частоты со. Эта реакция может быть принята за характеристику линейной системы. Зная эту характеристику, мы можем вычислить по формуле (2.3.3) реакцию линейной системы на произвольное возмущение, которое можно представить рядом или интегралом Фурье. Обычно эту характеристику несколько обобщают и рас сматривают в качестве элементарного возмущения показательную функцию ен, где s — произвольный комплексный параметр.
§ 2.3. Р Е А К Ц И Я СИСТЕМ Ы НА П О К А ЗА ТЕ Л ЬН О Е ВО ЗМ У Щ ЕН И Е |
57 |
Если параметр s имеет чисто мнимое значение, то est описывает гармонические колебания; если этот параметр имеет комплексное значение с отрицательной действительной частью, то еп представ ляет собой затухающие гармонические колебания; если параметр s имеет комплексное значение с положительной действительной частью, то est — расходящиеся гармонические колебания; нако нец, если s — действительное число, то est можно рассматривать как затухающие или расходящиеся гармонические колебания нулевой частоты. Таким образом, семейство показательных функ ций est с комплексным параметром s охватывает гармонические колебания всех возможных частот, как с постоянными амплиту дами, так и с амплитудами, изменяющимися со временем по экспоненциальному закону.
Из физических соображений ясно, что любая система, которую мы будем возбуждать гармоническими колебаниями, будет реа гировать на них тоже каким-то колебательным движением. Есте ственно определить такую характеристику линейной системы, кото рая сама не будет являться колебательным процессом, а будет характеризовать преобразование амплитуды и сдвиг фазы выход ных колебаний по отношению к входным. Чтобы получить такук> характеристику, можно разделить реакцию системы на само вход
ное показательное возмущение est, т. е. принять за характеристику линейной системы функцию
Z (t , S ) |
Atest |
(2.3.4) |
e*t |
Функцию z (t, s) мы будем называть характеристикой реакции линейной системы на показательное возмущение. Таким образом,
характеристикой реакции линейной системы на показательное возмущение называется отношение ее реакции на возмущение, представляющее собой показательную функцию времени, к этой показательной функции. В общем случае характеристика реакции линейной системы на показательное возмущение зависит не только от параметра s, но и от времени t.
В частном случае при чисто мнимых значениях параметра s мы получаем так называемую частотную характеристику линей ной системы:
*(*, М = |
А<еШ |
(2-3.5) |
Частотная характеристика линейной системы в общем случае также зависит не только от частоты, но и от времени.
На основании формулы (2.3.5) реакция линейной системы на гармонические колебания данной частоты со и единичной ампли туды еш равна произведению значения частотной характеристики
58 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
системы при данном значении частоты на входную функцию еш :
А геш = z (t, ію) еш . |
(2.3.6) |
Найдем теперь реакцию линейной системы на входные гармони ческие колебания произвольной амплитуды и фазы
X (t) = ае’^Н-'Р). |
(2.3.7) |
На основании принципа суперпозиции и формулы (2.3.6) выходная переменная системы при входном возмущении (2.3.7) определяется формулой
у (t) = A t {аеі(м<+Ф)} = ае^Аteiat =
= aei(P*z (t, tсо) еш = az (t, ію) e<(®t+«f). (2.3.8)
Частотная характеристика линейной системы в общем случае является комплексной функцией. Как и всякую комплексную вели чину, ее можно представить в показательной форме:
z{t, fco) = I z (t, ію) I e{ are |
*“>. |
(2.3.9) |
Подставляя это выражение в (2.3.8), получим
у (t) = а \ z (t, ісо) I exp {i [се£ + ф + arg z (t, ico)]}. (2.3.10)
Эта формула показывает, что линейная система реагирует на гармо нические колебания входной величины в общем случае колеба ниями переменной амплитуды
Ъ (t) — а I z (t, і<») I |
(2.3.11) |
и переменного сдвига фазы
Ф (0 = Ф + arg z (*> j®)- |
(2.3.12) |
Таким образом, модуль частотной характеристики линейной системы определяет изменение амплитуды колебаний данной частоты при прохождении их через эту систему, а аргумент частот ной характеристики определяет изменение фазы колебаний. А имен но модуль частотной характеристики представляет собой коэффи циент усиления амплитуды гармонических колебаний (в общем случае переменный) при прохождении их через линейную систему. Аргумент частотной характеристики представляет собой сдвиг фазы выходных колебаний по отношению к входным колебаниям. Вследствие этого модуль частотной характеристики линейной системы I z (і, ію) I обычно называется амплитудной частотной характеристикой системы, а аргумент частотной характеристики arg z(t, ію) — фазовой частотной характеристикой системы.
Пользуясь частотной характеристикой линейной системы, мы можем записать соотношение (2.3.3) между входной и выходной
§ 2.3. Р Е А К Ц И Я СИСТЕМ Ы НА П О К А ЗА ТЕ Л ЬН О Е В О ЗМ У Щ ЕН И Е |
59 |
переменными в следующем виде:
00 |
|
у (<) = j c(to)z(t, m)eia>td(x). |
(2.3.13) |
—оо
Сравним эту формулу с (2.2.3). Как в первом, так и во втором слу чаях за характеристику системы принимается некоторая функция
двух переменных: |
текущего времени t и |
какого-то параметра. |
В качестве такого |
параметра в формуле |
(2.2.3) принимается |
момент действия единичного импульса. В формуле (2.3.13) параме тром является круговая частота гармонических колебаний со. Для того чтобы воспользоваться формулой (2.2.3), необходимо знать только весовую функцию g (t, т) и само входное возмущение. Для того чтобы воспользоваться формулой (2.3.13), нужно сна чала найти преобразование Фурье с (ісо) входного сигнала х (t). Таким образом, для произвольных линейных систем применение частотных характеристик обязательно включает лишнюю опера цию перехода к преобразованию Фурье. Очевидно, что это будет общей закономерностью. Какими бы элементарными возмущениями мы ни пользовались, кроме б-функции, мы обязательно должны будем находить какое-то преобразование входного возмущения, а потом уже определять выходную переменную системы. И только использование в качестве элементарного возмущения б-функции дает существенное упрощение, так как при этом исключается необходимость дополнительного преобразования входного возму щения. Таким образом, для произвольных линейных систем при менение частотных характеристик нерационально. Только для систем с медленно изменяющимися параметрами, когда можно считать на значительных отрезках времени параметры системы постоянными, использование частотных характеристик может представить некоторые выгоды.
Сделаем еще одно замечание о частотных характеристиках и ха рактеристиках реакции линейных систем на показательное возму щение. Если рассматривать эти характеристики для произвольных моментов включения системы, то они будут зависеть еще от мо мента начала действия показательного возмущения t0 и, таким образом, будут фактически функциями трех аргументов: t, s, tQ, а не двух. Чтобы избежать этого усложнения, частотные характе ристики и характеристики реакции линейных систем на показатель ное возмущение обычно определяют для случая установившейся работы системы, т. е. такого режима работы, когда возмущение действует на систему неограниченно долго, т. е. для t0 = — оо. Это не мешает с помощью частотной характеристики находить реакцию системы на возмущения, действующие начиная с произ вольного момента времени t0. Для этого при определении преобра зования Фурье с (£©) входного сигнала х (t) следует положить функцию X (t) равной нулю при t < t0.