Частные случаи.

а) Поле бесконечной прямой нити.

Положив ,,

Находим ,,.,.

б) Напряженность электрического поля в точках равноудаленных от концов прямой ити.

,,..

Для малых углов получаем закон обратных квадратов:

, так как.

Лекция 3.

Поток вектора напряженности .

Величина напряженности равна числу силовых линий, пересекающих единичную поверхность, перпендикулярную силовым линиям в данном месте.

Число силовых линий, которые пересекают реальную или воображаемую поверхность, называется потоком вектора напряженности.

Число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку , нормаль к которойсоставляет уголс направлением вектора напряженностив данном месте равно:

,

,

-единичный вектор, перпендикулярный элементарной площадке, выбор направления которого условен.

Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток векторасквозь нее равен:

.

Поток величина алгебраическая, знак которой зависит не только от конфигурации поля, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль выбирать в направлении наружной области пространства.

Поток через замкнутую поверхность будем представлять интегралом:

,

где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.

Теорема Гаусса.

Поток вектора через замкнутую поверхность зависит только от алгебраической суммы зарядов, охваченных этой поверхностью. А именно:

,

где - алгебраическая сумма точечных зарядов, охваченных замкнутой поверхностью, или:- в случае непрерывного распределенного заряда в объеме, ограниченного замкнутой поверхностью.

При наличии однородного изотропного диэлектрика этот поток равен:

.

Доказательство.

Эта теорема является интегральным выражением закона Кулона и отражает то обстоятельство, что источниками и стоками электрического поля являются электрические заряды.

Рассмотрим поток через сферическую поверхность, в центре которого находится точечный зарядq:

.

Для напряженности можно записать:

.

Откуда следует:

,

где ., еслиq>0 и, еслиq<0. Положительный заряд является источником силовых линий поля, отрицательный – стоком.

Число силовых линий, пресекающих сферическую поверхность, равно числу силовых линий, исходящих из точечного заряда. не зависит от радиуса сферы. Таким образом, потокне зависит от размеров сферической поверхности, более того, от формы замкнутой поверхности, которая охватывает точечный заряд. Все силовые линии, прошедшие сквозь сферическую поверхность, пересекут произвольную поверхность.

Если произвольная замкнутая поверхность охватывает систему точечных зарядов, то, очевидно, результирующий поток будет равен алгебраической сумме потоков от всех точечных зарядов через эту поверхность:

.

Что и требовалось доказать.

Поток через замкнутую поверхность для зарядов, находящихся вне этой поверхности равен нулю (см. рисунок), так как число силовых линий входящих и выходящих одинаково.

Применение теоремы Гаусса.

Поскольку поле зависит от положения всех зарядов, теорема Гаусса, не позволяет определить в общем случае это поле. Однако, в некоторых случаях она позволяет получать ответы на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить само поле, минуя принцип суперпозиции, чрезвычайно простым путем, если в распределении зарядов имеется некоторая симметрия. Рассмотрим несколько примеров.

1. Может ли система точечных зарядов быть устойчивой?Ответ нет, так как для устойчивого положения, например, положительного заряда, необходимо, чтобы во всех точках поверхностиполе, образованное остальными зарядами системы, было направлено к заряду. Но такая конфигурация поляпротиворечит теореме Гаусса.

2. Поле равномерно заряженной плоскости.

Из симметрии задачи следует, что силовые линии поля перпендикулярны плоскости. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности можно выбрать прямой цилиндр, как показано на рисунке. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, и поэтому поток через всю поверхность цилиндра равен, который равен согласно теореме Гаусса. Откуда следует. Этот результат мы уже получили, используя принцип суперпозиции. Так какне зависит от расстояния до пластины, электрическое поле пластины является однородным. Полученный результат справедлив только для бесконечной плоской поверхности. В случае конечной пластины, полученное значениеEсправедливо для точек вблизи середины пластины, вдали от ее краев.

3. Поле двух параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноименными зарядами с поверхностной плоскостью зарядов и.

Это поле можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой плоскостью в отдельности. Вне пластин поля пластин противоположны, а между пластинами направлены в одну сторону. Напряженность поля вне пластин равна нулю, а между пластинами при наличии однородного изотропного диэлектрика.

4. Электрическое поле пластины, равномерно заряженной по объему .

Электрическое поле такой пластины обладает плоской симметрией E(x) и силовые линии направлены вдоль осиx. Очевидно, приx= 0E= 0. Выбирая замкнутую поверхность в форме прямого цилиндра с образующей вдоль осиxпо теореме Гаусса для точек внутри пластины:

,

вне пластины :

.

Откуда находим

, где.

Электрическое поле внутри пластины увеличивается пропорционально , а вне пластины электрическое поле не зависит от расстоянияxи является однородным. На границеиспытывает разрыв (см. рисунок).

5. Поле бесконечного цилиндра, заряженного равномерно по поверхности с линейной плотностью .

Очевидно, электрическое поле такого цилиндра обладает осевой симметрией, т.е. , где– расстояние от оси цилиндра (см. на рисунке электрическое поле цилиндра в поперечном разрезе).

Замкнутую поверхность целесообразно выбирать в форме коаксильного цилиндра высотой и радиусом(см. рисунок). По теореме Гаусса в случаеимеем

, откуда:

.

Для точек внутри цилиндра напряженность электрического поля равна нулю, так как замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов. Зависимостьимеет вид (см. рисунок). Вне цилиндра электрическое поле подобно полю нити, расположенной вдоль оси цилиндра.

6. Электрическое поле цилиндра, равномерно заряженного по объему .

Электрическое поле такого цилиндра обладает осевой симметрией , где– расстояние от оси цилиндра. Выбирая замкнутые поверхности в форме коаксильных цилиндров, по теореме Гаусса для точек вне цилиндра (– радиус цилиндра):

,

для точек внутри цилиндра:

,

где и- диэлектрические проницаемости цилиндра и окружающей среды,– высота коаксильного цилиндра.

Поле такого цилиндра описывается следующими соотношениями:

, где- линейная плотность заряда цилиндра.

Внутри цилиндра электрическое поле растет пропорционально , вне цилиндра убываетаналогично полю нити, расположенной вдоль оси цилиндра. На границе разделаиспытывает разрыв.

7. Поле сферической поверхности, заряженной равномерно зарядомq. Это поле обладает сферической симметрией, т.е., где– расстояние от центра сферы. Естественно, в качестве замкнутой поверхности выбрать концентрическую сферу. Для точек вне сферы (– радиус сферы) по теореме Гаусса:

, где.

Откуда:

.

Для всех точек внутри сферы напряженность равна нулю. Зависимостьпредставлена на рисунке. Вне сферы электрическое поле аналогично полю точечного заряда, находящегося в центре сферы.

8. Электрическое поле шара, равномерно заряженного по объему .

Поле такого шара обладает сферической симметрией , где- расстояние от центра шара. Диэлектрическая проницаемость материала шара, а окружающей среды. Выбирая замкнутые поверхности в форме концентрических сфер, для точек внутри шара (– радиус шара) по теореме Гаусса:

,

а для точек вне шара :

, где.

Откуда следует:

.

Зависимость представлена на рис. Внутри шара, а вне шара.На границе раздела диэлектриковиспытывает скачок (разрыв), кривая 1 соответствует значениям, кривая 2 значениям.

Лекция 4.