мет. 837 тема 1. Дифференциальные уравнения

b f T

T dx

«

у(ег)

+

глу*.*

О,

tin*jt

dy

-

ytnty

dx = 0\

38 e .

1,

Дифференщ ильные уравнения. . . . . . . .

. . .

3

2, Операционное исчисление . . . . . . . .

v.. .

30

3.

Числовые ряды , . . . . .

Л2

4.

Функциональные ряда . . . . . . . . . .

. .

. 5 2

По оложности задачи разбиты на два уровня: уровень"А"

более сложный уровень "В",

В конце сборника приведены ответы.

Рецензент

*

k.

tf.

'

'

= e * ,

Цо)

-

U*.

0.

« +

4

I.

».

{x*4)

diI

'

»

я

3.

t , *

Я

"

' "

4 '

1.

Л о

т

+

о

n,i

,

_

f . l

_

Л

»

.

.

V я

\ -

^

16.

гз.

(у'

-

i )e

Jt

~

x

=

о,

t/(-0

*

o..

I

24.

Xtj'

"

J

« 0 ,

l f ( 0

- | .

.

25.

г х у '

+

*

yfO

«

0.

26.

у

- e a

y

- о ,

y { 0 ) - -

27.

x y '

*

e *

-»• г у ' ,

=

о ,

28.

( i

-

+ xydx

я

о ,

y(0)'*'4f

29.

y W

*

s

,

»

е .

ao..-

-

O ,

¥ < £ )

Задача 2A. Наедите общеэ решение

или общий интеграл дифферен-

циального уравнения.

1.

4JC -

=

(5х

-

2.

/

+

*

У

*

j

3.

<х*-

= xydx

.

,

4.

~

s

2 X

+

.

iy

+ fT^T^Idx

'*-xdy

*

0.

7.

-у г . * / - '

- A y ) .

е.

у. -

- v / e ^ ) .

9 . "

- yrf-X *

yoty .

10.

( x 4 *

y4)flijc

-

- 0 .

i

11.

=

12.

+ y ) ( 6 t ( j f +

y )

-

)

13.

x y '

=

у

- л е ^ .

14.

- j

- x t j £

is.

i

' "

, л

i

\

= у ( г х - у J .

16.

(X + Zty)dx

-

»,0.

17.

(X -

«

.

18.

X ^ '

=

-

) .

,

19.

(Чх1

\f)dx

+

Zxydy.

= 0,

22..

(x* + xy2 )olx

+

+

«

0

23.

24.

Х г

/

=

+

у*.-

(х + ^ Ы х

+ (у -

х )dy

=

О,

25.

( х

+

а ^ У

+

х

+ у

®

о . •

27.

+

~

=

0 .

28.

U

4

=

-г З Х .

29.

I

~~

30.

(•**•-

у* У

=

.

Задача ЗА.. ПаКдит0

решение еадачи Коши.

2.

*

^

*

Н>

•

з.

у' > у о м х = - к и я х ,

* 4 .

4 #

у'

+

^С04Х

=

2 C O i X ,

+

Д л Г ' ^ * .

« ( О ) . - - * -

v.

+

^

«

^ ( е ) *

О,

43..

i

s

*

+

»

ь,

9 i

y 4 + ? s e * >

s e •

10.

г у '

+

т г ^ с

*

y W

* i . - ; *

11.

У

+

=

- 2 x J ,

y f i )

- -gr

12. . j c y +

= г , у с о

.

is.

x 4 y ' + M - 2 x ) ^ = ос4 ,

ii.

{ \ * х г Ц * - i x y = (< + x 4 ) 4 , y t o * 3 .

j5.

x ^ '

+

у

• з х 4 }

^ ( г ) =

з .

fc.

xy'

+

z y . *

= - | .

18.

Xty' - ^

- -

j

t^-l) = * .

19.

x

+ у

=

( x -v O e x f

«

e .

20.

X * ^ '

- ( г х

- 5 ) у

- 5 х г ,

ifU ) ' 4 .

21.

(<i +

+

2 x y

= г х 4 ,

yfo) = - f . .

2X<^' + ^

*

2x3

,

* 4".

23.

x y '

+ у

= x u n x

,

^ ( a t ) *

4.

24. . X / - у

= X * 4 0 i X ,

« § .

25. . ( x +

- у » ( x + 0 4 е л , y ( o ) = z . :

r h

=

4- • !

27.

+ y i ^ x . »

< +

co4 гх ,

у

28.

+

= jiotfcx,

»

29.'

if' -

y c t y *

•

2X

JOiX ,

У

? )

*

30.

xy'- ij

« x \

*

г.

y ' j c b c * = у''.

а; * y v y -

з.

= у .

1. х у " + у ' = х + 1 .

7,

fd^Zx

+

= 0.

8.

+ Jt/ * * .

9 .

s

10. J < y + J C 4 ^ ' * i .

II.

xf+Zty"*

f,

12. .(f

is.

+

к .

=

fr.

« у ' .

У

*

( j * ) * .

19,

( Г ^ У ) ^ ' +

(7.

20 . '

*

У

+

у '

21.

Zij M ;=

0 .

22.

{< +

4 u t J t ) y

* y e w * .

23, {X + i)y"

+

^

s

+

< .

'24.

X^"' +

= f?,

25.

X 4 ) ^ "

=

.

26.

U

*

-

+

*

27. %mb$5X =

28,

+

*

'i.

д

у

^ г

х

^

" ^ .

за.

У

4

а

*

Задача 5A. Найдите решение задачи Ko'iun.

I..

Э у

*

0 ,

t } ' < Q ) * i .

у"

- by

+

*

0 ,

уГО)

= 3 ,

55

5 ,

з .

. у

+ « У

+

« I /

-

о ,

у<о)

=

-f,

у о ) - 6 .

5 .

у" +

-

о ,

if(o)

=

- я ,

у 0 )

= 3 .

е.

-

зу'

- zy

* о,

tf(o)

«

уо)

«

- Я.

7 .

у

о

=

о .

- 7

ее

сч

рГ»

£

«*>

и

II

I!

i

СО

VD

II

ii

тт

w

н

II

'о

*М

О

I!

о

0

Jl

^

£

o*

V

II

,о ^

lo.

tl

см

Эъ

<3-

О

If

J

0

рО

О»

е\г

ГО

II

CO

СЧ

If

II

II

1

II

• -

и

л

"

т

к

It

II

u>

о

"t:

c,

О

О

о>

о

о

-

о

II

CM

tl

о

о

II

>•»

II

N

34

4

II

а

5N.

..

^

o"

or

о

ч

0

о

id

+

а

сГ

X

СМ

1/Г

со

Эт.

g

о

s

Л

II

см

-

cM

Зъ

1

л

5

II

н

to

4

16

о

1

to

С?

О

и>

+

»

oa

1

о

1

о

С.

tv

i

х

1

о.

«М

4

4

+

4

S

I.

3*>

ч

Ч

«V

-

«V

I

CM

CM

CM

Ж

N

+

si

+

4

+

НЦ)

1

X»

§

ч

О

N>< N ч - w

I

4J

ОО

Q>

N •

CM w

8..

»

см

1

ч

Oo

4

-У •

>

+

oo

*

s

3

T

^

c*

£

*

•о

W

Vft

in

+

lo

(I

" I III

МII

„

"

и

II

«о

•о

Ч

tl

ГО

tl

1»

N

H

II

ч

•

(l

оъ

+

»»

4

^

^

- .

W

VB

X

со

ло

СП

>4

«О

to

cr

«о

in

w

Л

Ixj

VS

.

.

СМ

ч

T T

+

+

+ +

+

II

+ +

+

+ • и

+ '

< D 4 *

"»»

+

+

1

~

t*»

ч . ^

э*»

_

11

•

эч>

г*®-

- ^

СГ

§

csi

Ю

c\j

ц>

c\l

^J-

N

CM

W

m

-a-

I

I

+

+

1

+ •

1

1

.+

I

-2 b »>> t

52N> i

*

г

*

*

a

а • -

e

£

Ю

ОГ)

^

о

н

н

л

0

н

гО

•Л

"

II

Ч

1л

s

2

«О

II

S

8

о

VJP

^

о

-

I

1

+

U

ОО

I

In

-

I

II

X

о

UO

w

<м

ч

ю

ГО

;

~

н

и

и

(I

ГЛ» X

V

ч>

О)

Ю

^

cV

..

эч»

V

CV

Об

+

. ч

+

Эч

ГУ»

ч>

W

1

ОО

5

и

I

о

II

II

— 4

II

II

I

I!

I

о

о

II

о

II

о

II

«о

СЬ

о

СМ

-

^—

I

II

1

II

и

II

II

—

и

о

II

о

•

о

СМ

^

•S

1

о

с,

II .'

л

о

о

о

о

е>

сГ

II

••—•

н

II

о "

к

II

и

ЗЧь

^

II

to

со

см

"от

о

СМ

VO

сь

ОО

см

Crj

+

+

и

+

ОО

•3-

со

ОО

счг

СМ

to

I

I

ь

+

I

+

I

+

+

"trs CNf

^Чз

ЭЧ)

ш

<У>

см

ы

я

24.

ум-Чу

+ 5 f • ге*,

y f * ) * ? ,

26.

у" +

*

20X* + ЧХ + 22,

yfo) =

26.

у "

-

y f

e

)

*

^

,

у'гонзв.

27.

y " - 3 y ' = - S X * - 2 * X

+

y f O ) * - * ,

у ' ( 0 ) * - 5 \

28.

+

58

« e ^ t J t

- t f c w x ,

y ( o ) » 3 ,

y Y o ) « tf.

29.

y'(0)».<9.

30.

+

* y '

=

- *CO*2X

- 5 6 « к г * , yfo) =

/ V

Задача 7A. На^дате общее решение дифференциального уравнения.

X, у " + Чу

- ч е м 1х - S i u t 2х - / г .

г.

у"' + у"

*

+6Х .

з. у " -

+ бу я б е * + е я * .

4-

у* + 2у'+

* * * *

2 х

~

6.

у" -

6у' + Зу

*

rt*

~ М -

<8 CoiSX - 36ЯН.ЗХ

у + г у ' + 2 у = gx *

- г е ~ * .

е.

у" -

+ 8 у

ve** * г*со*гх

- 4дис>2х .

9.

у* -

2у'

« 4е2 *

- rtf

е"*4*.

ю.

у" + зу' - 4у

»

«ох-

з) е* * 46;

и / у " + S y ' + б у * 2 е ~ * + 3 е ~ г * .

12.

у " -

з у ' *

'

13.

у" -

У

*

~ *х*

+ г«х

-не

+ zsca&x

-

/г$4с*5х

17.

у" - Чу' + 5у

-

ZOcotx * Ч44ЛХ -

34

18>

+ • ' ' У

"

и .

19.

у* - гу' - Зу

с

+ 30

ЗХ .

го.

у" + 2 у' я (1бх +4)е г * + 8х

+ г .

гг.

у'" - у'

*

+

.

22.

у" -Му' + 8у

=

+ 8хг

- 8х

23.

5у" + у'

- зх 2 + 30Х - 3 -

«С04Х

+ ZiitLX .

24.

у"' +

= - Sx* +AZX - ZHcoiZx

+ 8 UK Zx ,

25.

у" + Y0y' + 2 5 y

= -

a e " 5 ' J V 2 e ' * J t .

26.

у" + 5y' + 6y

=

+ 6 х г - 2 х

+ -f€.

1 у

27.

у " + 6 y '

+

s

2e~,

- 3 6 c w 3 x -

±ot3x .

26,

у" + у

-

зге*л+

29.

••у* + гу'

+ 5y

= fe** - ^аинх .

so.

y " . + vy#

+ i y

« C<x

- 2)

+ зх

- z.

I

L

•

е *

.

»

е*

3- » - +

*• " J 7 J 7 •

4- » - у "

•

•

в :

+ if = a

h •

•

e- f + z t ' + t ' - j r .

и. / •

»

, м.

+ у - Цх .

:

- Л

'

17.

у -

.+ « у

=

ге

их

18.

И

I

.

у

(I

/

5 р " 2J

Г+

4 = ш ъ .

21.

у" +

+

=

^ «

g

23.

У * +

" s f e i •

29

f

Задача 9А. Найдите общее решение системы ди^ренциальных

уравнений

f V ( t )

=

+ CL4 t ^(i) t

( ; i )

*• (i

I)

" (

h ) 4 -

• a t )

" ' ( Г ? )

4 . 1 - D -

e - ( - ? ' a ) . f l , ( {

o)

10 tit)

" •

u

i )

"

- ( I

D

15•(H)

1 )

21 ./

i

I \ , 22.

I 4

6\

23. f

0 -I\ 24.

/

2 -5 \

25. / 8 12 \

1-2-1/

\Z З)

V - I ' o i

\5 -6 /

1-4-6/

1С). Найдят'е jtmbhohvo' i-:pvno;';,

npoxo.weii iiipea точку М0СТ; 2),

осли /.ля'любой точк!' кркьой

угловой косм|х;11Ц!".ент касатель-

четвертой стопени орнигатн точи." M(jCj^),

принадлежащей этой

Гр,

.

12. ];айг',ите уравнение кривой,

проходящей через точку

.1),

если для любо:'! точки ктэнвоГ:

площадь трапеции, образованной

касательной, осями координат к пряной,- параллельной оси

. и про-

ходящей через точку касания М , постоянна

и равна двум,

13. Найдите уравнение • криво!-',

проходящей чороз точку "J (2;

I),

•I

если для лмбо": точки

кривой

ордината точки пересечения

касательной с ось?-: 0у

в три раза больше ординаты точки касания И .

14. Кайдито уравнение кривой,

прохо^дщек через точку И (Ij-I)f

коли для л;обой точим кривой

площадь треугольника,

ббразо-

винного карательной,

осью 0у. и радиус-вектором, проведенным в

точку каечнпя М ,

постоянна и ювна двум.

•

15. Найдите уравнение криво:;,

проходящей через точку й (1;

2),

если длл лтобоГ; точки кривой

угловой коэффициент касательной

в два раза меньше углового ко8->у.цпента радгус-вектора^ проведен-

ного в точку касания

М .

16. Найдите уравнение кривой,

проходящей через точку MQ (I;

I ) ,

если для любого * > 0

площадь криволинейной

трапеции, построенной •

на отрезка [ 0 ; л]

и ограниченной этоЛ кривой, в четыре раза меньше

г

прок звидонн я координат течки М(х,и.), принадлежащей этой кривой.

17. Найдете уравнение кривой,

проходящей чбрез точку M0 (I;

3),

если для лобой точки кривой М ( Х ; ^ )

площадь трапеции, образованной

ходящей через точку касанья М , постоянна и равна трем.

16.

Найдете уравнение кривой,

проходящей через точку 1.^(4;

I),

если для

любой точки кривой М(Х',ц)

абсцисса точки пересечения

касательной с осью Ох

в три раза больше абсциссы точки касания М .

1а,

Найдите уравнение кривой,

проходящей через точку MQ(2;

I),

(

если доя любой точки кривой М(х-,

площадь треугольника, образо-

ванного касательной, осью Оу и радиус-вектором, проведенным в

точку касания И , постоянна и равна двум.

i

20.

Найдите уравнение кривой,

проходящей через точку М (I-; 2),

если для любой точки кризой И ( х ^ )

ордината точки пересечения

касательной с осью (Ту

в два раза больше абсциссы точки касания М .

••

21. Найдите уравнение кривой,

проходящей через точку

• 1

2-1. Ьалдите уравнение кривой, проходящей через точку

ислп для любой, точки кривой

H U » ^ )

площадь треуголыг. ка,

образо-

папаого касательной,

ось.с Оу и р.д; ус-вектором, проведенным в

точку касания И ,

постоянна

и равна двум.

,2г>. Найдите уравнгпп-tc крпэои,

проходящей через точку »'0<2;

>зсли для любой точки

крг.иоЛ М(Х', у)

углоьоП коо^пциент

касательной

а три раза больше угл'п'ого

козЛ^мц'.сита ра^'иус-векто^г,

п^юподен-

ного в точку кас.-лп я М .

'IiavUv.T'V уравп;.-и:.о

ко^во-',

г^роходяц^': чероз точку

!.10(С; О ,

ОСЯИ ДЛЛ любого X > 0

гшоладь Kp.-.BO.-IHKOiiUOM трнпедии, построенной "

пл. отрезке [ 0 ; Jt]

и огран-чопио;^ этой кривой, а три раг'-а больше

пропавдення KoopHvmaT

• М(Х

h п[>инадхо)"Л!пс:'. отои кр'-воП.

Н7. Uifyv

крипой,- проходя:цч?{1 через точку

3),

осд.: для любо;! «сочки кривой

площадь Tjvtnei;.ni, образованной

кодга^еп через точк'у- касания

М , [;оетоли.чи i равна i,^.

do,

НаПд: те у(хшиеЯ1.о «у вон,

прохода;'^» через точк^ IAQ( 1}

осл\ для 'Лпбой

Kp'ii.oii

абсцесса точки перосеиош:'я

кайптельно;' с 'осью Ох

в дна ра.;-; ибпьае абсцессы -точки касания М .

'^'j. tia!'r,v,T3 уравч.ч! .о

проходящей •Чйрез тоаду

ti'0(2; 3),

если < т

лэбон тсчк„

Kpr.Boii H U ;

площадь треугольника,

образо-

ьанаого касательной,

ось J Оу j; paоLyc-вектором, проведение а

T04v.y Kac iH.m М , постоянна

и paai-ua деум,

X .

"11а!>дпте уравнен;,е

крг.иой,

проходящей через точку

есл;,- для любой точки кривой М(Х;у)

угловой коа*ф;цнонт касатель-

к

К

х

Q)

X

ш

+

а

О

Ч '

>»

vi

о