Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ивановский государственный

энергетический университет имени В.И.Ленина»

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологий

Магнитное поле и индуктивность

КРУГЛЫХ ВИТКОВ И ШИНОПРОВОДОВ

Методические указания

к лабораторной работе по курсу ТОЭ-3

Иваново 2007

Составители: А.Н.ГОЛУБЕВ,

С.Н.КАДНИКОВ

Редактор М.Г.МАРКОВ

Указания включают в себя необходимые сведения по теории и численному эксперименту на ЭВМ в области исследования магнитного поля и расчета индуктивности круглых витков шинопроводов, а также задание к лабораторной работе.

Утверждены цикловой методической комиссией ЭЭФ

Рецензент

кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологий

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И.Ленина».

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИНДУКТИВНОСТЬ

КРУГЛЫХ ВИТКОВ И ШИНОПРОВОДОВ

Методические указания

к лабораторной работе по курсу ТОЭ-3

Составители: ГОЛУБЕВ Александр Николаевич,

КАДНИКОВ Сергей Николаевич

Редакторы Н.С. Работаева

Лицензия ИД № 05258 от 04.07.01 г.

Подписано в печать Формат 60х84

Печать плоская. Усл. печ. л. 1,39. Тираж 75 экз. Заказ

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И.Ленина»

153003 Иваново, ул. Рабфаковская, 34.

Отпечатано в РИО ИГЭУ

1. Постоянное магнитное поле круглых витков

и двухпроводных линий.

Основные понятия и формулы

Постоянное магнитное поле

Магнитное поле наряду с электрическим является основой функционирования различных электротехнических устройств  трансформаторов, электрических машин, линий электропередачи. Если оно создается неизменными во времени токами, протекающими по неподвижным проводящим телам, то такое поле называется постоянным магнитным полем [1]. Практическая важность постоянного магнитного поля состоит в том, что его распределение вне обмоток электрических машин и аппаратов обычно мало отличается от распределения переменного магнитного поля. Поэтому предварительный анализ поля и расчет индуктивностей при проектировании обычно проводят на постоянном токе.

Обмотки трансформаторов и электрических машин состоят из витков различного сечения и конфигурации. Магнитное поле обмотки рассматривается как суперпозиция (сумма) полей отдельных тонких витков, по которым протекает один и тот же ток.

Согласно закону БиоСавара отдельный элемент такого витка, по которому протекает токI, создает напряженность магнитного поля, определяемую по формуле

, (1)

где  вектор, направленный из точки p, в которой расположен элемент , в точкуq, где определяется вектор ;- расстояние между точками p и q (рис.1).

Суммируя магнитные поля отдельных элементов, можно получить выражение для напряженности магнитного поля тонкого витка:

, (2)

где - контур осевой линии витка.

Если виток массивный, т.е. размеры его сечения сопоставимы с радиусом средней (осевой) линии, то применяется формула более общего вида:

, (3)

где - вектор плотности тока в точке p объема витка V. Величина и направление плотности тока при произвольной конфигурации витка могут меняться по объему V, и поэтому величина не может быть вынесена за знак интеграла. В этом случае при расчете поля по формуле (2) нужно предварительно найти распределение плотности токапо объему проводника.

Используя закон Био-Савара (1) и вытекающие из него формулы (2) и (3), можно рассчитать магнитное поле витков различной формы. Для тонких прямоугольных витков соответствующие элементарные выражения приведены в [2]. В случае круглого тонкого витка (рис.2)

магнитное поле может быть выражено через эллиптические интегралы [1] с использованием цилиндрических координат r, z,  ( - угол вращения вокруг оси z; r - радиус). Поскольку магнитное поле витка не зависит от угла , вектор напряженности будет содержать только две составляющие- радиальную и осевую. Они выражаются формулами

; (4)

; (5)

,

где - радиус осевой окружности витка; К(к), Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем

. (6)

Эллиптические интегралы могут быть вычислены следующим образом:

. (7)

. (8)

Для вычисления интегралов в этих формулах нужно использовать приближенные квадратурные формулы, легко реализуемые на ЭВМ. Кроме того, могут быть использованы аппроксимации многочленами:

,

(9)

,

(10)

Относительная точность данных приближенных формул  10^-5.

На оси витка при радиальная составляющая напряженности магнитного поля равна нулю. Поскольку присогласно формуле (6) модульк=0, то в силу формул (7),(8) ,. Тогда формулу (5) для можно существенно упростить:

. (11)

В плоскости витка при радиальная составляющая по- прежнему равна нулю, а будет выражаться формулой

, (12)

где .

Используя формулу (11) для осевой составляющей напряженности одного витка, можно получить выражение напряженности поля на оси катушки с обмоткой прямоугольного сечения (рис.3) [2]:

. (13)

Закон Био-Савара (1) и следующие из него формулы (2) и (3) можно применять и для расчета плоскопараллельных магнитных полей,

создаваемых прямолинейными проводами произвольного сечения. Основой расчета поля в этом случае является выражение для напряженности магнитного поля прямолинейного одиночного провода с током I, которое можно получить из формулы (2):

, (14)

где - радиус провода.

Используя эту формулу, можно рассчитать магнитное поле обмотки любого сечения из тонких проводов. При этом надо учитывать, что формула (14) определяет только модуль напряженности, и поэтому при выводе расчетных формул нужно переходить к проекциям вектора напряженности на оси координат. Если требуется определить магнитное поле сплошного массивного провода (шины), то и здесь можно использовать формулу (14). Для этого сечение провода нужно разбить на некоторое количество малых одинаковых площадок (рис.4).

Рис.4. Сечение однофазного шинопровода

Поскольку плотность тока по сечению прямолинейного провода постоянна (в отличие от проводника произвольной трехмерной формы), то по каждой из таких площадок будет протекать одинаковый частичный ток. Иными словами, прямолинейный провод большого сечения можно рассматривать как обмотку из тонких проводов, магнитное поле которой будет суммой магнитных полей отдельных проводов, определяемых по формуле (14) (с учетом векторного характера поля). Так можно рассчитать, например, магнитное поле однофазного шинопровода с шинами прямоугольного сечения (рис.4). В

частности, напряженность Н_у поля на оси у определяется по формуле

(15)

Напряженность на оси х

(16)