2. Расчет индуктивности

Собственные и взаимные индуктивности являются основными интегральными параметрами трансформаторов, реакторов, электрических машин, линий электропередачи. Обычно все эти устройства проектируются так, чтобы свести к минимуму проявление поверхностного эффекта, вызывающего неравномерное распределение тока по сечению проводов. Если эта цель достигнута, то статические индуктивности, определяемые на постоянном токе, будут мало отличаться от индуктивностей, рассчитанных с учетом поверхностного эффекта. Поэтому различные методики расчета статических индуктивностей нашли отражение в учебниках [3], а результаты их применения в справочниках [4].

При выводе расчетных формул для индуктивности удобнее всего исходить из понятия энергии магнитного поля. Для массивного одиночного витка из немагнитного металла объемом V, по которому протекает постоянный ток, выражение для энергии имеет вид

, (17)

где  плотность тока в точке р проводника; - векторный потенциал:

, (18)

где - расстояние между точкой интегрирования q и точкой р внутри проводника, в которой определяется потенциал .

Подставляя (18) в (17), получаем выражение для энергии магнитного поля витка:

. (19)

Энергия магнитного поля витка может быть также представлена известной формулой теории электрических цепей:

, (20)

где I - ток в витке; L - его собственная индуктивность.

Приравнивая (19) и (20), находим общую формулу для собственной индуктивности витка:

. (21)

Тем же способом можно получить и выражение для взаимной индуктивности двух магнитно-связанных витков:

, (22)

где - токи, протекающие по виткам; - плотности токов в первом и втором витке, меняющиеся по объему витков.

Поскольку на постоянном токе распределение плотности тока по объему витка от величины тока не зависит, величины L и М от величины токов также не зависят и определяются только геометрическими размерами проводников.

Формулы (21) и (22) существенно упрощаются в случае тонких витков, поперечные размеры которых (радиусы проводов) значительно меньше их пространственных размеров. В этом случае взаимная индуктивность двух тонких витков с контурами осевых линий иподсчитывается по формуле

, (23)

где - расстояние между некоторой точкой 1 на контуре и точкой 2 на контуре. По координатам этих точек в формуле (23) производится интегрирование.

Приближенная формула для собственной индуктивности тонкого витка несколько отличается по своей структуре от формулы (23). В этом случае нужно разделять индуктивность на две части - внешнюю и внутреннюю. Внешняя индуктивность L_внешн определяется магнитным

потоком, проходящим внутри контура(рис.5). Внутренняя

индуктивность определяется магнитным полем внутри проводника. В результате такого разделения получается формула [3]

, (24)

где - длина контура осевой линии витка;- контур, внутри которого проходит внешний магнитный поток (рис.5).

При произвольной форме витков вычисление интегралов в формулах (21), (22), (23),(24) нужно проводить на ЭВМ. В некоторых частных случаях из них можно получить готовые аналитические выражения и простые формулы. В частности, для круглого тонкого витка собственная индуктивность

, (25)

где К(к), Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем

,

где - радиус осевой линии витка; а - эквивалентный радиус его сечения, вычисляемый по формуле (см. рис.2):

.

Вычисление К(к) и Е(к) в (25) можно проводить по формулам (9) и (10). Если виток очень тонкий и , формула (25) может быть существенно упрощена:

. (26)

Эта формула может применяться для расчета индуктивности витков из любого металла (магнитного и немагнитного). При (медь, алюминий)

. (27)

Если размеры поперечного сечения витка сравнимы с радиусом его средней осевой окружности, то при расчете индуктивности нужно учитывать, что плотность тока меняется по сечению витка. В частности, в витке прямоугольного сечения, по которому протекает ток I (см. рис.2),

. (28)

С учетом этой зависимости можно получить следующую приближенную формулу для расчета индуктивности витка прямоугольного сечения [4]:

. (29)

В отличие от плотности тока круглых витков плотность тока по сечению круглых катушек, намотанных из тонкого провода, можно считать постоянной и равной , гдеI - ток в катушке; w - число витков; - площадь ее поперечного сечения.

Простые приближенные формулы для расчета индуктивности таких катушек, размеры сечения которых сравнимы с поперечными размерами, получить не удается и поэтому здесь необходимо использовать формулы вида (21), применяя для вычислений ЭВМ.

Взаимная индуктивность двух тонких круглых витков, расположенных в параллельных плоскостях на одной оси, определяется по формуле

, (30)

где модуль

,

h  расстояние между плоскостями, в которых расположены витки.

При вычислениях по формуле (30) проще всего применять для расчета К(к) и Е(к) приближенные формулы (9) и (10).

Простые расчетные формулы для приближенных вычислений взаимной индуктивности круглых толстых витков и круглых катушек, размеры сечения которых сравнимы с их поперечными размерами и расстоянием между катушками, получить невозможно. Поэтому здесь нужно проводить вычисления с помощью исходных формул вида (22), применяя для их реализации ЭВМ.

При использовании ЭВМ определение взаимной индуктивности М двух витков с собственными индуктивностями иможет быть осуществлено с применением понятия энергии их магнитного поля:

. (31)

При формула (31) принимает вид

, (32)

а при 

. (33)

Тогда при известных значениях энергий ,и

. (34)

На практике часто возникает необходимость расчета собственных индуктивностей двухпроводных линий (шинопроводов или токопроводов), а также взаимных индуктивностей между ними. Любую такую линию можно рассматривать как длинный виток, замыкающийся через генератор и нагрузку. Магнитное поле такого витка в основной его части можно считать плоскопараллельным. Плотность постоянного тока по сечению проводов в этом случае будет постоянной. С учетом этого энергию магнитного поля двухпроводной линии длиной с сечением проводов, по которой протекает ток , можно записать в виде

, (35)

где - площади сечения проводов. Векторный потенциал

. (36)

Учитывая, что энергия магнитного поля линии выражается формулой (20), с помощью выражений (35), (36) можно получить следующую общую формулу для расчета собственной индуктивности двухпроводной линии с произвольным сечением проводов длиной :

(37)

При простых формах сечения проводов, например при прямоугольной, которая часто встречается на практике, интегралы в этой формуле могут быть выражены в элементарной форме. Однако формулы при этом получаются настолько громоздкими, что лучше пользоваться приближенными выражениями. В частности, для расчета индуктивности шинопровода с прямоугольным сечением шин (см. рис.4) известна следующая формула [4]:

. (38)

Для расчета взаимной индуктивности двух линий с круглыми проводами (рис.6) можно применять формулу [3]

. (39)

Данная формула является точной. Ее можно получить из выражения для энергии магнитного поля в системе проводников рис.6. Она может служить для оценочных расчетов взаимной индуктивности шинопроводов с шинами прямоугольного сечения. При этом в качестве нужно брать расстояния между центрами шин.

3. Задание

1. При заданных преподавателем размерах тонкого витка (см. рис.2) и токе витка рассчитать на ЭВМ распределение напряженностимагнитного поля на оси витка при изменении координатыz в пределах и в плоскости виткаz=0 при изменении радиуса r от 0 до . Построить соответствующие графики зависимостей. Рассчитать те же зависимости по формулам (11), (12) и построить на тех же графиках. Дать оценку точности расчета по данным формулам путем сравнения с результатами расчетана ЭВМ.

2. Полагая, что виток на рис.2 имеет квадратное сечение , рассчитать на ЭВМ зависимость индуктивности витка от его среднего радиусапри измененииот3b до 20b (при расчете на ЭВМ использовать понятие энергии). Рассчитать эту же зависимость по приближенной формуле (27). Построить полученные кривые на одном графике и сделать выводы о точности расчета по приближенной формуле (27).

3. При заданном преподавателем числе витков w, размерах катушки на рис.3 и токе рассчитать на ЭВМ распределение магнитного поля на оси вращенияz при изменении z от 0 до и в плоскостипри измененииr от 0 до (при расчете на ЭВМ ток витка, заменяющего катушку, принять равным). Построить соответствующие графики зависимостейи объяснить их ход. На графикепостроить ту же зависимость по формуле (13). Оценить относительную погрешность расчета поля на ЭВМ, считая формулу (13) точной.

4. Рассчитать на ЭВМ распределения силовых линий для катушки на рис.3. Проанализировать полученную картину поля и определить области его наибольшей концентрации (наибольшие значения напряженности).

5. При заданных размерах шинопровода (см. рис.4) и токе рассчитать на ЭВМ распределение напряженностина осиy при и на осих при и построить графики. Рассчитать те же зависимости по точным формулам (15), (16) и дать оценку точности расчета напряженности поля на ЭВМ.

6. Рассчитать на ЭВМ распределения силовых линий магнитного поля для шинопровода (см. рис.4) с тонкими шинами при и с прямоугольными шинами при;. Проанализировать и сравнить полученные картины поля. Определить в каждом из вариантов области наибольших значений напряженности поля.

7. Рассчитать для двух вариантов п.5 значения индуктивности шинопровода на ЭВМ и по приближенной формуле (38). Оценить точность расчета по приближенной формуле.

8. Для заданных преподавателем размеров двух шинопроводов рассчитать на ЭВМ взаимную индуктивность между ними. Определить ту же индуктивность по приближенной формуле (39) и оценить точность приближенного расчета.

9. Для заданных преподавателем размеров двух круглых витков рассчитать их взаимную индуктивность на ЭВМ, используя формулы (31), (32), (33), (34). Сравнить полученный результат с рассчитанным по приближенной формуле (30) и оценить точность приближенного расчета (данное задание является необязательным и дается преподавателем в качестве дополнительного).