Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить магнитное поле в геометрическом центре дуги окружности радиусом и длиной, по которой течёт ток.

Ответ: .

2. Однородный ток течёт вдоль листа шириной. Определить магнитное поле в точке, находящейся в плоскости листа, на расстоянииbот ближайшей стороны.

Ответ: .

Лекция 13.

Основные законы магнитного поля. Теорема Гаусса для вектора .

Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Эта теорема отражает опытный факт отсутствия в природе источников магнитного поля. Силовые линии не имеют ни начала, ни конца – они замыкаются на себя. Поэтому сколько силовых линий входит в объём, ограниченный поверхностью, столько же и выходит из него.

Из этой теоремы следует, что поток сквозь произвольную поверхность, натянутую на контурl(см. рисунок), не зависит от формы поверхности. Докажем это.

Пусть контур lявляется плоским. Поверхностьявляется замкнутой и потому:

.

Представим поток через замкнутую поверхностькак сумму:

.

Знак минус во втором слагаемом связан с выбором направления нормали к поверхности .

Откуда следует:

,.

Поток не зависит от формы поверхности. Это свойство позволяет однозначно связать магнитный поток с контуром. Введем понятие магнитного потока, сцепленного с контуромl. Если направление обхода контура связано с направлением магнитного поля правилом правого буравчика, тои, гдечисло обходов контура. В противном случае.

Контур может быть реальным. Например, замкнутый проводник, содержащий витков. Если по такому контуру пропустить ток, то магнитный поток через произвольную поверхность, натянутую на контур, будет пропорционален токув соответствии с законом Био-Савара-Лапласа. Для магнитного потока, сцепленного с контуром, можно записать:

,

где коэффициент пропорциональности называетсяиндуктивностьюконтура, величина положительная.

По определению индуктивность равна магнитному потоку, сцепленному с контуром, при силе тока в контуре . Измеряется индуктивность в генри. Индуктивность контура зависит от геометрии контура, числа витков и физических свойств среды.

Магнитный поток, сцепленный с контуром, связан с направлением тока в контуре правилом правого буравчика (см. рисунок).

Теорема о циркуляции вектора .

Для магнитного поля в однородной и изотропной среде циркуляция вектора по произвольному контуруlравна:

,

где - алгебраическая сумма токов проводимости, охваченных контуром,- магнитная проницаемость среды.

Если направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого буравчика, то в сумме ток берется со знаком плюс.

Пример. .

Если ток Iраспределен непрерывно по поверхности, то его можно представить интегралом:

,

где вектор связан с направлением обхода контура правилом правого буравчика,- плотность тока, где расположена площадка.

Так как циркуляция вектора в общем случае не равна нулю, то это означает, что магнитное поле имеет вихревой характер, т.е. не является потенциальным.

Теорема о циркуляции может быть доказана исходя из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции. Мы не будем доказывать эту теорему в общем случае произвольных токов. Ограничимся рассмотрением только прямолинейных токов.

Выберем в качестве кривой циркуляции одну из силовых линий прямого тока (см. рисунок) и найдем циркуляцию :

.

Покажем, что циркуляция не зависит от формы кривой. Рассмотрим произведение

.

Циркуляция равна:

.

Если кривая lне охватывает ток, то очевидно.

Пусть кривая lохватываетпрямолинейных токов. Согласно принципу суперпозиции в любой точке кривойl:

.

Найдём циркуляцию :

.