Закон Ома в дифференциальной форме.

Рассмотрим небольшой участок однородного проводника постоянного сечения, находящегося под напряжением . Поделив напряжение на сопротивление участка и, учитывая, что

,,

находим

,

.

Плотность тока в каждой точке проводника пропорциональна напряжённости электрического поля. Полученное соотношение выражает локальный закон Ома и называется законом Ома в дифференциальной форме.

Отметим, что в случае постоянноготока избыточный заряд внутриоднородногопроводника равен нулю. Действительно, при постоянном токе, заряд, входящий в выделенный объём, равен заряду, выходящему из объема, т.е.

,

откуда следует

.

Учитывая, что

,,

,

т.е. .

Избыточный заряд может появиться только на поверхности однородного проводника, где проводник имеет неоднородность.

В проводнике при постоянном токе распределение зарядов не изменяется с течением времени, хотя и происходит движение зарядов, так как в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся заряды создают электрическое поле аналогичноеполю неподвижных зарядов той же конфигурации, т.е. является потенциальным.

Закон Ома для участка, содержащего сторонние силы.

Сторонниминазывают силы не электростатического происхождения. Они могут быть обусловлены химической и физической неоднородностью проводника, например, таковы силы, возникающие при соприкосновении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др.

Постоянный ток возможен только при наличии сторонних сил, так как одни электростатические силы могут вызвать только кратковременный ток.

Сторонние силы должны переносить положительные носители на участках своего действия в сторону возрастания потенциала, компенсируя действие электростатических сил.

Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил и его напряженность аналогично полю электрических сил:

.

Очевидно, плотность тока в местах, где существуют электрические и сторонние силы определяется соотношением:

,

которое называется обобщенным законом Ома в дифференциальной форме.

Закон Ома в интегральной форме для участка, содержащего источник тока.

Для простоты рассмотрим участок проводника в форме цилиндра (см. рисунок), к торцам которого приложена разность потенциалов и в пределах которого действуют сторонние силы.

Умножим выражение локального закона Ома:

скалярно на вектор перемещения вдоль линии тока и проинтегрируем от точки 1 до точки 2:

.

После интегрирования получаем:

,

где - сопротивление участка цепи между сечениями 1 и 2,– сила тока на участке,- разность потенциалов,- электродвижущая сила (э.д.с.), действующая на данном участке цепи, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда. Произведениеназываютпадениемнапряжения на участке.

Э.д.с., как и сила тока и соответственно падение напряжения, является величиной алгебраической: если э.д.с. способствует движению положительных носителей в выбранном направлении, то, если же препятствует, то.

Полученное соотношение выражает интегральную форму закона Ома для участка, содержащего сторонние силы.

Обычно сторонние силы действуют на ограниченном участке, которые называют источником постоянного тока. Условно источник обозначают двумя вертикальными черточками, короткой и длинной. Короткая относится к отрицательному полюсу, длинная – к положительному. Э.д.с. направлена от минуса к плюсу, так как сторонние силы в источнике всегда действуют против электрических сил.

Пример.

Рассмотрим участок, содержащий источник и сопротивление (см. рисунок).

Выразим разность потенциалов:

.

В нашем примере .

Пусть ток на участке течёт от 1 и 2 . Алгебраическая сумма в правой части может оказаться отрицательной. Следовательно, т.е. ток течёт в сторону повышения потенциала. Это возможно потому, что на участке действует э.д.с. в положительном направлении (от 1 и 2). Если, то, т.е. э.д.с. источника равна разности потенциалов между полюсами источника.