книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

зависит от соотношения дефектов модулей, времен и параметров, характеризующих размытие релаксационного спектра, для сдвиго­ вых и объемных процессов. И, поскольку наряду с крутильными ко­ лебаниями для исследования внутреннего трения широко приме­ няются продольные и изгибные колебания, нам следует рассмотреть эти виды колебаний достаточно подробно.

Кроме того, изгибные колебания сопровождаются релаксацией теплового потока [165]. При продольных колебаниях тепловая релаксация для обычно используемых частот (гл. Ill) практически не происходит и колебания можно рассматривать как адиабатические с соответствующими упругими модулями (см. гл. Ill, раздел 3).

Исследуем сначала продольные колебания. Для простоты огра­ ничимся случаем одного релаксационного процесса, который при-, водит к полной релаксации сдвиговых напряжений (G0 = 0).

Выберем ядро релаксации / ( t — t') в виде экспоненты. Связь между от и &в этом случае будет даваться уравнением (149). Однако

сего помощью можно описать либо сдвиговые процессы, либо объем­ ные, протекающие в неограниченной среде. Нам же нужно описать одновременно оба процесса и притом в ограниченной среде. В связи

сэтим даже для одноосного напряженного состояния нужно исходить из тензорного представления о деформации и напряжениях [166].

Имея в виду вышеизложенные упрощения, запишем [9, с. 210]

(301)

Здесь Tj, T2 — времена релаксации сдвиговых и объемных напряже­

Для ограниченных сред, какими, в частности, являются стержни, следует ввести новый модуль — модуль растяжения (модуль Юнга). Для рассматриваемого случая это проще всего сделать, выразив уравнение (301) в пространстве изображений (см. раздел 1). Обо­ значая изображение функции тем же символом, но только с чертой сверху, перепишем уравнение (301) в виде

120

модуль всестороннего сжатия й модуль сдвига соответственно в про­ странстве изображений.

Будем рассматривать однородную деформацию растяжения (или сжатия) стержня, ось которого совпадает с осью Z. Тогда [166] между модулем Юнга Е и модулями К, Gсуществует простая связь:

Между Е. К и G будет существовать такая же связь. Следова­ тельно, учитывая выражения (304), (305), можно записать

Последнее выражение можно записать (после простых преобра­

Из формулы (306) или (307) с помощью замены р —>ш опреде­ ляется комплексный модуль Юнга: Е* = Е' (со) -f iE" (со).

Зная Е*, легко найти тангенс угла потерь рассматриваемой среды без решения краевой задачи.

Перейдем теперь к решению краевой задачи. Прежде всего за­ метим, что при однородном растяжении единственной отличной от нуля компонентой тензора напряжений аік является-> azz [166],*

которая связана с компонентой Uz вектора смещения U известным соотношением [166]

121 '

I

Краевые условия Для данной задачи могут быть следующие (рис. 64):

1. Один конец стержня (z = 0 ) закреплен, а на другом конце z — I крепится дополнительный груз массой т, на который дей­ ствует импульсная сила. Это дает

122

где

QlnІР) = P2+ Slnp + SxSjJ

где pk, pj— корни полинома Q2n (p).

Таким образом, окончательное решение задачи зависит от явного вида корней полинома Q2n (р), которые определяются знаком дискри- . минанта:

Учитывая, что решение и г {г, і) может описывать колебания и апериодическое движение, его удобно, как и для крутильного маятника (см. раздел 2 ), представить в виде

123

P„ = Ar ch (<7„r~3).

Из формулы (326) определяют внутреннее трение, за меру ко­ торого принимают логарифмический декремент колебаний, деленный на л:

= = (330)

Если затухание не слишком велико, то для расчета температурной и частотной зависимостей внутреннего трения вместо формулы (330) можно воспользоваться выражением для tg ср, которое легко найти из уравнения (330) после замены р на ш и разделения Е* на действи­ тельную и мнимую части.

Исследуем частотную зависимость внутреннего трения рассма­ триваемой системы. Поскольку частота принимает только действи­ тельные значения, область апериодических движений рассматривать не будем. В этом случае решение дается выражением (326). Ограни­ чиваясь первой гармоникой, для которой Сг (г) = z/2 /, получим

= Fz {зо^- + Ш ехР (—аі*) + А*exp (—aat) sin (at + ф)]j .

(331)

Здесь первое слагаемое дает новое положение равновесия при t —►оо, второе описывает смещение положения равновесия со временем, т. е. упругое последействие, и третье затухающие гармоники.

Для оценки вклада упругого последействия в общее движение на рис. 65 приведены кривые А г и А ± в функции собственной ча­ стоты при т2 = 1 .

Различные значения со могут быть получены не только изменение_м геометрических размеров стержня, но и изменением массы груза, связанного с образцами.

Как видно из рис. 65-, во всей области частот действительно усло­

124

большей скорости протекания объемных релаксационных процессов, чем сдвиговых. В противоположном случае большой уровень фона внутреннего трения не позволяет проявиться объемной вязкости.

Рассмотрим предельные случаи для внутреннего трения.

ІпСГ'

ДЕсі)т Qi-г. Д »

1 + С іГТ2

где новое время релаксации и дефект модуля равны:

(Ка 7 ». А - М * « - * о )

125

4. Случай —>0 соответствует полному протеканию релаксации сдвиговых напряжений, т. е. описывает жидкое состояние вещества.

Решение уравнения (312) для .стержня, свободного от сосредо­ точенной массы /2і (распределенные параметры, см. рис. 64, б), с уче­ том выражения (314) имеет вид

где pk, pj— корни полинома Qin{p)-

Анализируя далее задачу, убедимся в том, что пик, обусловленный релаксацией объемных напряжений, проявляется лишь, начиная

сTJ/тз Ä* ІО3.

Вработах [180 ] рассмотрено еще два способа выявления объемной релаксации при динамических испытаниях, когда G0 =j=0. Вместо экспоненциальных ядер релаксации выбраны обсуждавшиеся в гл. Ill

дробно-экспоненциальные ядра Работнова.

со = 1. В качестве параметра взята величина у (параметр размы­ тости, см. гл. Ill, раздел 3), значение которой указано цифрами на

126

кривых. Предельное значение у = 1означает, что сдвиговая и объем­ ная релаксация описываются моделями Зинера, и приводит к отчет­ ливому разделению двух пиков. При одинаковой степени релакса­ ции объемного и сдвигового модулей вклад их в суммарный эффект, определяемый коэффициентом Пуассона уга, неодинаков: сдвиговый пик примерно в 5,5 раза больше объемного. Уменьшение параметра у соответствует размытию релаксационного спектра и в результате этого различие между пиками исчезает. Значение у = 0,5 можно считать в данном случае нижней границей объемного эффекта, т. е. для всех у <0,5 объемная релаксация не проявляется, несмотря на ее существование.

Таким образом, не только относительная величина времен релак­ сации сдвиговых и объемных напряжений, но и размытие релакса­ ционных спектров определяют возможность наблюдения объемной релаксации.

Выявить объемную релаксацию можно еще при помощи измерения температурно-частотной зависимости динамического коэффициента Пуассона [180].

5. Вынужденные продольные колебания стержня

Полученные решения для затухающих продольных колебаний можно обобщить аналогично тому, как это сделано для вынужденных крутильных колебаний.

Однако, чтобы избежать громоздких вычислений, используем метод расчета по комплексным модулям. Будем считать стержень изотропным, а деформацию однородной. В этом случае мы можем исходить из уравнения (329), которое имеет смысл и в комплексной области. Перепишем для удобства это уравнение для податливостей:

Так как поставить эксперимент по чистой релаксации объемных напряжений весьма трудно, то формула (339) может быть исполь­ зована для расчета релаксации объемного модуля по данным вну­ треннего трения при продольных и крутильных колебаниях.

127

На рис. 68 представлены кривые tg ср в функции In сотд и ln сот2. Проявление'пика становится заметным лишь с отношения тд/тд *=&103. Заметим, что если времена релаксации тд и т2 характеризуют чисто

Рис. 68. tg ф£ для вынужденных продольных колебаніи! в функции In (сот,)

Рнс. 69. Температурная зависимость внут­ реннего трения при продольных колебаниях:

/ — ÖQJK при Д jz^ = ІО2; 3 — ІО3; 3 — ІО4 |

4 — tgq>£ при т^т2=10<; 5— ы2 при Д /т2=

= 10<

сдвиговые напряжения (модель Алфрея—Кобеко), то релаксационный пик проявляется при меньших значениях тд/т2. Так, при G2/G1 =

— 0 , 1 релаксационный пик проявляется уже для тд/т2 = 1 0 2. Для сопоставления 6 0/зт и tg сря, вычисленных по формуле (340)

при тд/т2 = 104, дан рис. 69. Из этого рисунка видно, что реологи­

128

ческая модель дает несколько заниженное значение внутреннего трения в области релаксационного пика и не позволяет объяснить наблюдаемый при затухающих колебаниях резкий рост логарифми­ ческого декремента и тем самым указать переход затухающих коле­ баний в апериодическое движение.

6. Изгибньіе колебания стержня

Рассмотрим, следуя работе [196], изгибные колебания стержня, среда которого описывается реологической моделью Фойгта: сна­ чала свободные, а затем вынужденные колебания, пренебрегая ре­ лаксацией теплового потока. В заключение этого раздела рассмотрим тепловую релаксацию Зинера [165].

Для решения задач привлечем метод разделения переменных, которым мы еще не пользовались.

Свободные колебания I

Деформация волокна, удаленного на расстояние у от нейтрального слоя, составляет при изгибе (рис. 70)

S

относительно нейтральной оси. Уравнение движения элемента стержня (см. рис. 70)

где w (z, t) — прогиб сечения. Подставляя в уравнение (345) выра­ жение (344) и имея в виду, что при малых прогиба'Х х Ä* d2wldz2, найдем