книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

вости подвержены параупругой релаксации в данном поле внешних напряжений. Для этого необходимо знать, по каким неприводимым представлениям Гѵ преобразуются линейные комбинации компонент тензора напряжений ац при применении операций симметрии группы Gx, а также должны быть известны неприводимые представ­ ления Гд, согласно которым, преобразуются линейные комбинации «гипервектора» концентрации ср. По аналогии с обычными квантово­ механическими правилами отбора для матричных элементов можно заключить, что параупругая релаксация будет возникать.только в том случае, когда среди неприводимых представлений Гѵ и Г|Л найдутся одинаковые представления, не совпадающие, однако, с'тривиальным представлением Alq. Последнее ограничение возникает вследствие условия сохранения числа дефектов (с0 — полная кон­ центрация дефектов)

н говорит о невозможности параупругой релаксации при гидроста­ тических напряжениях. Снятие ограничения (485), что соответствует учету возможных реакций между дефектами (в том числе реакций образования и распада), допускает параупругую релаксацию и при гидростатических напряжениях. Экспериментально релаксация объ­ емных напряжений наблюдалась в концентрированном сплаве Li—Mg [255]. В работе [266] имеются многочисленные таблицы, в которых представлены правила отбора для релаксации точечных дефектов

вкристаллах различной симметрии.

Впроведенном в работе [266] термодинамическом исследовании параупрутой релаксации широко используются теоретико-групповые методы. Это позволяет получить решение задачи в весьма общем виде, существенно упростив многие детали расчета. В своем изло­

жении мы, однако, будем следовать более ранней работе тех лее авто­ ров [257], а также работе [240] с единственной целью лишь проде­ монстрировать общий термодинамический подход к данной проблеме.

Рассмотрим кристалл, содержащий точечные дефекты одного •

сорта, характеризуемые тензором "k\f, где р = 1, . . ., nd. Термо­ динамический потенциал такого кристалла может быть записан в виде

Ф ( Т , &ік 1 С1, ■. ., Cnd) — Ф о (Т ) 2~ V oSiklinGikGlm

ции Ср точечных дефектов с различной ориентацией от равновесного значения C0lnd в отсутствие внешних напряжений аік. Таким обра­

170

зом, игнорируются взаимодействие точечных дефектов друг с другом, а также возможность их рекомбинации, т. е.

4

р= і

соотношение, аналогичное (485). Не принимаются во внимание также эффекты термоупругости. Выражение (486) позволяет получить хи­ мический потенциал точечных дефектов различной ориентации в виде

(488)

Так как предполагается, что точечные дефекты не взаимодействуют друг с другом, то для Iхр можно воспользоваться известным выраже­ нием для химического потенциала идеального газа

где Cp— равновесное значение ср при заданных внешних напря­

Выражение (490) может быть получено варьированием функцио­ нала

Чтобы учесть условие (487), необходимо варьировать функционал

Суммируя полученное выражение по р от 1 до nd и замечая, что

Ч_

2 Ср —0 [в силу условия (487) ], находим множитель Лагранжа

р= і

после чего равновесная избыточная концентрация ср записывается как

171

Подставив Ср в выражение термодинамического потенциала (486),

Выражение (498) позволяет определить ориентационную зависи­ мость затухания, а также высоту релаксационного максимума.

Вопросам кинетики процесса параупругой релаксации посвящено исследование Новика [267 ], являющееся продолжением работы [266 ]. Рассмотрение ограничивается случаем наличия дефектов одного сорта и отсутствия реакций образования и распада дефектов. Кроме того как и в [266], не учитывается взаимодействие между дефектами. Кинетические уравнения релаксации распределений точечных де­ фектов по nd кристаллографически эквивалентным конфигурациям записываются в виде

к конфигурации q, а штрих у суммы указывает на то, что из нее сле­ дует исключить слагаемое с р — q. Из кристаллографической экви­

172

Начальное распределение дефектов н распределение, устанавли­ вающееся в результате процесса релаксации, определяются прило­ женными внешними напряжениями. Отметим, что решение си­ стемы (501) должно удовлетворять дополнительному условию (485). Нетрудно видеть, что концентрации срзависят от времени посредством экспоненциального множителя ехр (—Их). Для определения допу­

стимых значений обратных времен релаксации т^1(n'— 1, . . ., nd) необходимо решить секулярное уравнение порядка nd, т. е. найти •собственные значения матрицы vpq. В работе [267 ] в полной аналогии с теорией колебательных спектров молекул развиваются теоретико­

групповые методы определения собственных значений т^1 матри­

цы vpq. Приведение матрицы ѵ к квазидиагональному виду £2 вы­ полняется при помощи преобразования подобия некоторой унитарной

матрицей W:

Здесь знак минус выбран для того, чтобы обеспечить неотрица­ тельность времен релаксации хт, а значок * означает эрмитово со­

пряжение. В результате собственным векторам матрицы Q, преобра­ зующимся по одномерным неприводимым представлениям, соответ­ ствуют обратные времена релаксации, равные просто данным соб­

ственным значениям матрицы Й. В случае дву- и трехмерных непри­ водимых представлений необходимо решать детерминантные уравне­ ния второго или третьего порядка соответственно, что значительно проще решения уравнения степени па. Найденные обратные времена

релаксации т^1представляют линейные комбинации частот vpq пере­ ориентации дефекта, которые в свою очередь зависят от частот wjt элементарных, диффузионных скачков атомов (например, — ча­ стота скачков атома в положение ближайшего соседа; w2— в поло­ жение второго соседа и т. п.). Таким образом, зависимость vpd от

в каждом конкретном случае определяется структурой кристалла, взаимодействием точечного дефекта с окружающими атомами ре­ шетки и механизмом диффузии. Поэтому следует ожидать, что иссле­ дования параупругой релаксации в различных кристаллах будут спо­ собствовать накоплению информации об элементарныхактах диф­ фузии в твердых телах.

В реальных кристаллах, как правило, присутствуют точечные дефекты различных сортов. Примером может служить зинеровская пара в твердом растворе замещения, которая может существовать как в конфигурации ближайших соседей, так и в конфигурациях более далеких соседей.

Как уже отмечалось выше, учет возможных реакций между де­ фектами разных сортов может привести к ряду существенно новых выводов относительно внутреннего трения, взникающего вследствие параупругой релаксации. Этому вопросу посвящены исследования [267; 269—272; 89, с. 211], причем в наиболее общем виде решение

173

Глава VI

В н у т р е н н е е т р е н и е , о б у с л о в л е н н о е

п р о т я ж е н н ы м и д е ф е к т а м и

Дислокация представляет собой более сложный дефект структуры (линейный), чем любой из точечных дефектов. Возможны два предель­ ных вида дислокаций — краевая и винтовая дислокация. Любая конкретная дислокация обычно представляет собой сочетание этих

двух видов [273, 274].

Первая работа по теории дислокационного внутреннего трения была выполнена Эшелби (1949 г.). Эшелби рассматривает самый простой случай, когда дислокации параллельны друг другу, ничем

Рис. 81. Схема потенциаль­ ного рельефа и расположе­ ния дислокаций в кристал­ лической решетке (модель Эшелби)

не закреплены, лежат при 0° К в положениях энергетических мини­ мумов, разделенных потенциальными барьерами Пайерлса. Чтобы не учитывать взаимодействия дислокаций, Эшелби принимает расстоя­ ние между дислокациями большими, чем %/со, где %— коэффициент температуропроводности.

Колеблющаяся между канавками потенциального рельефа (рис. 81) дислокация рассеивает энергию. Как увидим ниже, источ­ ников рассеяния ее энергии есть несколько. Эшелби рассмотрел тор­ можение дислокации за счет термоупругого и радиационного эф­ фектов.

Термоупругое рассеяние энергии, колеблющейся дислокацией, обусловлено тем, что при движении, например, краевой дислокации объемное напряжение в каждой точке тела (вокруг дислокационного шнура) меняется, что ведет к локальному изменению температуры

ивозникновению тепловых потоков.

Эшелби рассчитал термоупругое рассеяние для синусоидально ко­

леблющейся в плоскости скольжения дислокации, движение которой достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь релятивист­ скими эффектами, возникающими, когда скорость дислокации близка к скорости распространения упругих волн. При малых амплитудах приложенного напряжения и не слишком больших частотах для случая, когда размеры кристалла L (%/а))1^, внутреннее трение,

175

обусловленное термоупругим эффектом, можно оценить по фор­ муле

в плоскости скольжения; G— модуль сдвига; а — расстояние между ближайшими максимумами Пайерлса; R 0— константа порядка ра­ диуса R ядра дислокации;' ср и сѵ— соответственно теплоемкость при постоянном давлении и объеме.

Затухание, связанное с излучением упругих воли колеблющейся дислокации, казалось незначительным по сравнению с рассмотрен­ ным термоупругим эффектом.

Формула (503) показывает, что затухание должно почти линейно увеличиваться с частотой.

Из сопоставления с известными в то время результатами по изу­ чению затухания в килогерцевом диапазоне частот Эшелби пришел к выводу, что предсказываемая теорией частотная зависимость не соответствует экспериментально наблюдаемой (см. рис. 25).

1. Модель колеблющейся струны

Дальнейшее развитие теории дислокационного внутреннего тре­ ния было сделано Келером (1952 г.).

Келер предполагал, что дислокации закреплены в отдельных точках и под действием внешних колебаний колеблются подобно (рис. 82). Он не рассматривал конкретного механизма диссипации энергии, колеблющейся дислокацией, и ограничился • формальным введением в уравнение движения дислокации силы торможения, пропорциональной ее скорости. Уравнение движения закрепленной дислокации имеет вид

Здесь I {х, у, г) — смещение произвольной точки р\ А — эффек-. тивная масса на единицу длины; В%— демпфирующая сила на еди­

ницу длины; С ---- сила на единицу длины, обусловленная на­

тяжением изогнутой дислокации; Ьо — сила на единицу длины за счет внешнего сдвигового напряжения. Постоянные коэффициенты опре­ деляются выражениями

Келер пренебрегает взаимодействием дислокаций и ищет решение уравнения (504) методом последовательных приближений, приемле­ мым для частот порядка килогерц.

В первом приближении Келер находит

Энергия Aoy1( рассеянная одной дислокацией при амплитудах, когда не происходит ее отрыва от точек закрепления,

Принимая для общей колебательной энергии единицы объема выражение a0/2G, найдем

Деформация, производимая отрезком дислокации I в кубе еди­ ничных размеров, равна

Здесь I — среднее смещение дислокации, определяемой формулой

Как видно из изложенного, при малых амплитудах приложенного напряжения внутреннее трение по Келеру не зависит от амплитуды и пропорционально частоте. Однако при малых частотах оно зна­ чительно меньше, чем наблюдаемое на опыте.

Чтобы получить амплитудную зависимость, как это требуют экспериментальные данные (см. рис. 17), Келер рассчитал увеличение

17а

потерь,, сопровождающее отрыв петель от частиц примесей, который наблюдается при достаточно больших напряжениях, когда натяжение отрезка превышает силу связи Коттрелла [273 ]. Он рассматривает увеличение потерь с ростом амплитуды деформации только как ре­ зультат увеличения средней длины отрезка за счет отрыва. При этом потери будут иметь примерно ту же частотную зависимость, что и потери, не зависящие от амплитуды. Однако имеются данные (см. гл. II), свидетельствующие о независимости амплитуднозависи­

Модель Гранато и Люкке

Предполагается, что до деформации чистый монокристалл со­ держит сетку дислокаций.

При введении примесей происходит дополнительное закрепление дислокационных отрезков посредством механизма Коттрелла [273]. Следовательно, имеются две характеристические длины отрезков: Ln, определяемая сеткой, и Lc, определяемая примесями (рис. 83).

Если приложены внешние напряжения, то наряду с упругой де­ формацией будет добавочная деформация за счет дислокации. За­ висимость напряжение — дислокационная деформация является в общем случае функцией частоты.

. На рис. 84 показана зависимость между напряжением и дислока­ ционной деформацией для рассмотренной выше модели.

При решении задачи Гранато и Люкке (см. также [5, с. 261]) исходили из уравнения Келера (504) н обычного уравнения движения

которое определяет волну напряжений (или деформаций), распро­ страняющуюся в твердом теле, когда дислокационные отрезки сме­ щаются из своих положений равновесия.

Прдставляя в уравнение (519) формулы (513), (514) и обозначая через А общуюдлину колеблющихся отрезков в кубе единичных раз­ меров, найдем

Уравнение (520) представляет собой возмущенное волновое урав­ нение.

Среди всех возможных решений (504) и (520) с граничными усло­ виями Гранато—Люкке выбирают решения, для которых о является периодической функцией времени и не зависит от у. Если дислока­ ционные линии нормальны к направлению распространения волны,