книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

Частотная зависимость (фх) амплитудной ах и фазовой добавки представлена соответственно на рис. 48, в и а. Внутреннее трение в этом случае определяется только нулевым приближением Q- 1 =

= Q^ 1 = D. Эта величина и выбрана в качестве параметра на рис.

а,

а,

48, б и а. Из рис. 48, в видно, что влияние одной высшей гармоники наиболее значительно проявляется в области второго резонанса; в частотной области между первым и вторым резонансами величина агІа0 отрицательна.

Аналогичная ситуация характерна для <px, что хорошо видно из рис. 48, а.

90

'Частотная зависимость амплитудной и фазовой добавок анало­ гична представленным на рис. 48, в и г.

Релаксационные и гистерезисные потери

Обычно внутреннее трение релаксационного и гистерезисного типов изучают независимо друг от друга, что связано с их существен­ ным различием.

Первое из них обнаруживает, как мы видели выше, температурно­ частотную зависимость, а второе заметно увеличивается с ампли­ тудой и практически не зависит от частоты.

Феноменологическое описание релаксационных потерь мы сде­ лали в рамках линейной вязко-упругости, для учета же гистерезис­ ных потерь нам понадобились методы нелинейной механики.

В работе [196] сделана попытка качественного рассмотрения процесса затухания свободных колебаний за счет одновременного действия релаксации и гистерезиса. При этом авторы использовали

баний; а (t) — уравнение огибающей для затухающих амплитуд. При решении задачи о затухании Пановко [193] принимает (в первом приближении) энергию AW' равной площади петли гистерезиса, а Д. И. Шилькрут [201] находит kW равной некоторой функции времени F (/). Такой результат связан с тем, что для расчета он использует нестационарный режим вынужденных колебаний, а по­ следнее весьма сомнительно в данном способе учета рассеяния энер­ гии в среде.

В этой связи рассмотрим задачу с несколько иных позиций [9,

где модуль vVf^. введен при помощи интегрального оператора Больц­ мана—Вольтерра с ядром релаксации f (t— f):

91

а функция cp (е, а) описывает в координатах а — е форму петли ме­ ханического гистерезиса.

Однако, согласно [193], для гистерезисного внутреннего трения

впервом приближении существенное значение имеет не форма петли,

аее интегральная характеристика — площадь, характеризующая рассеянную за период энергию. Так, наиболее удобная в расчетном отношении эллиптическая петля позволяет выделить основную пер­

вую гармонику из любой другой нелинейной гипотезы при условии их энергетической эквивалентности, т. е. равенства площадей. Поэтому, следуя этой своеобразной линеаризации, примем

Для вывода уравнения огибающей амплитуды колебаний при их ' умеренном темпе затухания используем формулу (219), в которой, согласно (2 0 2 ), вместо величины К следует взять динамический мо­

в первом приближении, так как затухание мало, можно прирав­

где через Lsіп и LC0S соответствен! о обозначены интегральные опе­ раторы синус- и косинус-преобразований Фурье, т. е.

СО

^sin/N = j f (E)sinc0 |d |,

•Leos /(“) = J/(S)coscogdg.

о

Из формулы (205) находим [сравните с формулой (186) ] площадь замкнутой петли 5 и динамический модуль М* (со):

Из формулы (207) видно, что площадь замкнутой петли в коорди­ натах а — е, согласно соотношению (2 0 2 ), представляет собой суперпозицию двух слагаемых. Первое из них, связанное с наслед­ ственными свойствами среды, зависит от частоты и пропорционально квадрату амплитуды. Второе слагаемое, обусловленное гистерезисом, зависит только от амплитуды и в данном случае пропорционально п + 1 степени амплитуды.

1 Нижний предел в равенстве (203) t = —оо автоматически устраняет переход­ ный нестационарный режим вынужденных колебаний.

92

Полагая ЛЦ7 5, получим следующее уравнение для определе­

Разделяя переменные и интегрируя уравнение (227), находим

где a0 и а (t) — амплитуды в начальный t — 0 и текущий моменты времени t соответственно.

При вычислении интеграла в правой части равенства (210) сле­

При n Ф 1 подынтегральное выражение представляет собой биноминальный дифференциал, и поэтому интеграл следует вычислять

с помощью замены а = ]/"ап_1. Проводя соответствующие вычисле­ ния, получим следующее выражение для огибающей:

Нетрудно убедиться, что б представляет собой логарифмический декремент колебаний. В самом деле, при ß = 0 имеем

Из формулы (212) видно, что затухание механических колебаний в среде, диссипативные свойства которой определяются уравне­ нием (2 0 1 ),- зависит как от частоты, так и от амплитуды колебаний. Количественное согласие с наблюдаемой экспериментально частотной и амплитудной зависимостью может быть сделано соответствующим выбором реологических и гистерезисных (п, ß) параметров.

Термодинамическая теория релаксационных явлений в твердых телах для непрерывного спектра дает следующую формулу ядра релаксации:

о

93

Для дискретного спектра ф (s) выражается с помощью S-функции:

где ЛМу— величина, характеризующая вклад /-того процесса ре­ лаксации. Имея в виду формулы (215) и (216), из формул (206) получим

т. е. формулу логарифмического декремента для стандартного ли­ нейного тела.

Очевидно, если релаксационные процессы не протекают, т. е. все в,- = 0 , то затухающие колебания обусловлены лишь механи­ ческим гистерезисом. В самом деле, согласно выражениям (217) и (218), при Sy —>0 и 5 —>0. Тогда, разлагая в ряд относительно б формулу (2 1 2 ) и ограничиваясь первыми членами разложения, по­ лучим

Исходное соотношение между напряжением а и деформацией е

Показано, что в рамках этой модели не существует простой супер­ позиции между релаксационными и гистерезисными потерями. Влия­ ние наследственной нелинейности на динамические характеристики системы (амплитуду вынужденных колебаний, фазу, динамическую жесткость, площадь петли гистерезиса и внутреннее трение) рас­ смотрено в работе [202]. Установлено, что величина внутреннего трения При со <•<( 1 не зависит от амплитуды колебаний и совпадает с результатами линейной теории [203]. Нелинейность в поведении tg cp проявляется наиболее Сильно при со —■1 .

94

Глава ІѴ

М а к р о с к о п и ч е с к а я т е о р и я в н у т р е н н е г о т р е н и я

( о г р а н и ч е н н а я с р е д а )

1. Общие замечания

Решение краевых задач с определенными граничными и началь­ ными условиями необходимо, поскольку внутреннее трение прак­ тически измеряется при колебании ограниченных сред (образцов разной формы).

Как мы увидим ниже, граничные и начальные условия суще­ ственно влияют на результаты решений, полученных для неограни­ ченных сред. Однако если мы изучаем линейное внутреннее трение при вынужденных колебаниях, то граничные условия (см. ниже) не играют большой роли, если амплитуды основного тона намного больше амплитуд всех других гармоник.

Проблему рассеяния энергии колеблющимся стержнем можно свести к двум группам задач. Первая группа охватывает задачи о ко­ лебании стержней с грузом (системы с сосредоточенной массой), вторая — задачи о колебании стержней без груза (системы с-распре­ деленной массой). В первую группу входят инфразвуковые методы, для которых характерно использование специального груза, момент инерции его значительно больше момента инерции образца. Как мы видели ранее (см. гл. II), наибольшим вниманием пользуется кру­ тильный маятник. С его помощью получено большое количество интересных данных о микропроцессах в твердых телах. Заслуженным вниманием он пользовался также и у теоретиков. В связи с. этим в качестве представителя систем с сосредоточенной массой мы по­ дробно рассмотрим крутильный маятник.

Для всех высокочастотных методов характерно отсутствие инер­ ционного груза. Образец в виде стержня колеблется (исключая импульсные методы) с одной из собственных частот. Колебания могут быть крутильные, поперечные и продольные.

Для случая одноосного напряженного состояния неоднородного изотропного образца исходными уравнениями будут (146) и (147).

ргр- =

= - 5 7 -]- направляя ось образца по оси z и учитывая, что компонента

тензора деформации в = duldz, где и — компонента вектора смеще­ ния, получим

Для решения уравнения (222) необходимо определить вид дефор­ мации (кручение, изгиб) и сформулировать граничные и началь­ ные условия. Кроме этого, нужно выбрать метод решения уравне-

95

ния (2 2 2 ). Часто (см., например, [196, 204І) уравнение (222) решают методом разделения переменных, полагая искомую функцию и (г, і) =

— Y (z) Z ((). Этим методом мы воспользуемся в конце главы. Наряду с указанным методом успешно пользуются и методом ин­

тегрального преобразования Лапласа, который позволяет свести решение интегро-дифференциального уравнения (2 2 2 ) к обычному уравнению колебаний теории упругости.

Сущность метода Лапласа сводится к замене функции и (z, Л ее изображением. Изображением функции и (г, t) называют функцию комплексного переменного р, определяемую соотношением [205]:

,где интеграл берут по положительной полуоси. Нетрудно показать, что дифференцирование оригинала по времени сводится к умноже­ нию на р его изображения [205].

Далее, согласно теореме умножения Бореля [205], произведение двух изображений U (р) и G (р) также является изображением,

причем

1

и буквами U, М и L обозначены трансформанты Лапласа соответ­ ствующих функций времени.

Уравнение (225) решается легко. Переход от решения в изображе­ нии U (г, р) к оригиналу выполняют с помощью обратного преоб­

разования Лапласа:

j а+£ш

Для непосредственного вычисления функции и (г, t) необходимо знать явный вид функции U (г, р), а для этого нужно задать явный вид функции распределения частот релаксации ф (t— t').

В дальнейшем будем рассматривать только дискретный спектр частот релаксации, а поэтому функция распределения должна быть выражена через 6 -функцию, как это Ьделано выше [см. формулу (216)]. Тогда, используя известное свойство 6 -функцин,

j ф (s) 6 (s — Sy) ds —ф (sj)

96

получим следующее выражение для ядра релаксации в формуле (2 2 2 ):

Перейдем теперь к решению конкретных задач, подавляющее число которых было изложено в диссертационной работе С. И. Меш­ кова1).

2. Свободные колебания крутильного маятника

Рассмотрим свободные колебания цилиндрического образца (среда которого задана, а длина I > R стержня), жестко закрепленного одним концом и несущего скручивающее устройство на другом конце (рис. 49). Пусть момент инерции / скручивающего устройства во

Рис. 49. К задаче о крутильных колебаниях маятника: а — схема маятника; б — элемент образца при крученнп

много раз больше момента инерциисамого образца, в силу чего последним можно будет пренебречь. Будём рассматривать малые колебания стержня, когда искажением поперечных сечений можно будет пренебречь (гипотеза плоских сечений). Направим ось образца

по оси Z. Вектор смещения U в произвольной точке Р образца может

—У

быть представлен U = іих + kuy + ju2.

1 См. сноску на стр. 65.

Поскольку предполагается, что поперечное сечение образца поворачивается целиком, не искривляясь, компоненты вектора сме­ щения в декартовых координатах будут иметь значение [166]

где ер (г, 0 — угол поворота сечения. В цилиндрических координа­ тах иг = иг = 0 ; и$ = U = гф (г, t).

Подставляя в уравнение (222) величины U = щ (г, і) и М = G0, где G0— равновесное значение модуля сдвига, получим

Граничные и начальные условия примем следующие: образец до момента t — 0 Покоился; в момент t = 0 на свободный нижний конец действует мгновенный импульсный момент сил. Тогда условия на нижнем конце получим, исходя из равенства моментов сил. Воз­ буждающий внешний момент сил должен быть равен сумме моментов сил инерции и момента сил внутренних напряжений. Это дает

б (t) — дельта-функция Дирака, описывающая мгновенное действие. Двойной интеграл берется по площади круга нижнего сечения образца.

Условия (233) после подстановки в них выражения (147) для а, интегрирования по площади нижнего сечения образца и перехода к пространству изображений примут вид

Уравнения (225) и (226) для данной задачи перепишем в виде

Решая уравнение (236) с условиями (235), получим [206, с. 153] следующее выражение для угла закручивания в пространстве изо-, бражений:

Для того чтобы перейти в решении (238) от изображения к ориги­ налу, не вычисляя контурного интеграла (227), разложим мероморфную функцию 1 Ф (г, р) в ряд по теореме Коши [205].

98

В резул ьтате получим

Подставляя выражение для X из формулы (237) в (239), получим

Выражение, стоящее в квадратных скобках в (242), можно пре­ образовать, что дает

Из выражения (243) видно, что решение Ф (г, р) в пространстве изображений представляет собой дробно-рациональную функцию

1 Функция f (г) называется мероморфной (или дробной), если она не имеет дру­

гих особенностей, кроме полюсов [205J.