книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

Добротность и коэффициент поглощения связаны очевидным отношением

Имея это в виду, многие авторы пользуются для обозначения внутреннего трения величиной Q-1, которая обратна добротности. В дальнейшем будем и мы пользоваться этим обозначением.

Коэффициент поглощения г|э можно определить по раз­ вертке свободных затухающих колебаний образца изучаемого материала (см. рис. 1).

Рис. 1. Развертка затухаю­ щих колебании стержня и соответствующая ей кривая рассеяния энергии

в таком случае ф по определению (2) будет равен f+r

t

Полагая W пропорциональной квадрату амплитуды деформации

Ео (t), где Ео (t) — огибающая кривой свободных затухающих коле­ баний (см. рис. 1), из последнего выражения получим

Оно справедливо'для любых амплитуд деформации и не зависит от механизма рассеяния энергии. Ниже (см. гл. IV, раздел 1) будет показано, что для случая, когда упругая восстанавливающая сила пропорциональна перемещению конца стержня, а диссипативная

10

сила, обусловливающая рассеяние энергии колебаний, пропорцио­ нальна первой степени скорости (линейные системы), логарифмиче­ ский декремент не зависит от амплитуды напряжения. В противном случае б и ф зависят от амплитуды деформации, но связь (8) при этом не нарушается.

Ниже (см. гл. Ill, раздел 1) будет также показано, что при рас­ сеянии энергии колебаний возможен сдвиг по фазе между напря­ жением и деформацией; деформация отстает от напряжения на не­ который угол ср. Угол сдвига фазы ф является подходящей мерой

и пользуясь выражением (3), получаем kW = я sin ф J е0сг0 dv.

Принимая во внимание выражения (2) и (4), найдем связь между ф и углом ф:

Эта связь справедлива для углов ф, когда можно считать cos ф «=* <=« 1. Для этих случаев уравнение (10) можно переписать так:

Фазовые соотношения удобно выражать в комплексной форме. В комплексной форме изменения Напряжения и деформации во времени будут иметь вид

Здесь ео — компонента деформации, совпадающая по фазе с напря­

называют динамическим модулем, а величину, обратную динамиче­ скому модулю,

ными методами на основе' закона Гука, не совпадает по величине с динамическим модулем; для металлов эта разница составляет —1%. Указанное несовпадение обусловлено тем,-что реальное тело не обладает идеальной упругостью.

Введем также комплексный модуль Й4* и комплексную податли­ вость I*. Комплексный модуль представляет собой отношение на­

11

пряжения к деформации, выраженное в комплексной форме через уравнение (12):

Комплексная податливость есть величина, обратная комплекс­ ному модулю:

В выражениях (16) и (17) использовано допущение малости ср. Как видим, действительная часть комплексного модуля — дина­ мический модуль, а действительная часть комплексной податли­ вости— динамическая податливость. Отношение мнимой части М* или /* к действительной есть тангенс угла сдвига фаз ср, т. е. мера внутреннего трения. Таким образом, комплексный модуль и ком­ плексная податливость содержат основные параметры колебатель­ ного процесса. Зная М* и /*, можно найти Ма, /а и tg ср при помощи

уравнений:

а f L(е) и fz (е) — некоторые, в общем нелинейные,,функции s и е. - Если, как мы уже говорили выше, упругое напряжение подчи­

няется закону Гука, а вязкое пропорционально первой степени е,

TÖ

Исключив время t из второго уравнения (9) и уравнения (22), можно установить связь между 2 и е. Ввиду трансцендентности рассматриваемых выражений соответствующие выкладки нельзя провести до конца в общем виде. Однако общий характер связи 2 —е проследить нетрудно; он показан на рис. 2 и представляет систему незамкнутых петель динамического гистерезиса. При малом затухании площадь трапеции A W, представляющая разность двух треугольников, пропорциональных потенциальной энергии в начале и конце цикла, приближенно должна (см. гл. IV) равняться отме­ ченной на рисунке замкнутой площади гистерезиса. Избыточная пло­

12

V

щадка (ромбовидная штриховка) в первую половину цикла компенси­ рует такую же недостачу рассеяния во вторую половину цикла.

При вынужденных установившихся колебаниях площадь петли динамического гистерезиса — замкнутая кривая. При этом площадь петли полностью соответствует величине EW.

За меру внутреннего трения прн вынужденных колебаниях можно принять еще величину

где Аѵ — полуширина резонансного пика; ѵ0— резонансная частота образца.

В гл. IV будет показано, что для линейной системы существует простая связь между величиной В и, например, величиной тр:

Рассмотрим распространение про­ дольной волны вдоль оси стержня, диаметр которого мал по сравнению с длиной волны А, (см. рис. 1).

При синусоидальном изменении деформации и напряжений фикси­ рованной частоты закон Гука, как мы видим, может быть записан в сле­ дующем виде:

Рис. 2. Петля динамического гистере­ где Е* = Е' -Г iE" — комплексный зиса прн затухающих колебаниях

модуль Юнга.

Уравнение движения для смещения частиц, обусловливающих деформацию е, имеет вид

Подставляя выражение (27) в формулу (26), найдем, что комплекс­ ная постоянная распространения

13

откуда следует, что а — коэффициент затухания ультразвуковой волны, который выражается в неперах на 1 см *, а ß = со/с — фазо­ вая постоянная, измеряемая в радианах на 1 см.

Уравнение (28) можно разрешить' относительно любой пары величин а и ß или Е' и Е":

Таким образом, измеряя скорость распространения с и коэф­ фициент затухания а, легко определить комплексный модуль упру­ гости.

Из выражения (33) следует, что при малом затухании

Эта формула лежит в основе широко распространенного метода измерения модуля упругости по скорости звука. Однако при наличии в среде затухания эта формула не является достаточно точной и рас­ четы следует проводить по формуле (33).

Пользуясь формулами (20), (32) и (33), легко установить связь между tg ер и величинами а, ß:

к децибеллам необходимо число неперов умножить на 8,686.

14

Как видно, значение а может быть связано с tg ср или с другими величинами, использованными выше для определения величины внутреннего трения. Действительно, учитывая выражения (1), (2), (4), (8), (11), (24) и (37), можно записать

Имея в виду эту связь, можно сравнивать между собой данные по внутреннему трению, полученные в различных экспериментах при различных частотах, где использованы разные меры внутреннего трения.

Не следует, однако, забывать, во-первых, что в действительности ослабление импульса вызывается не только поглощением, но и в зна­ чительной степени рассеянием на неоднородностях. Ослабление волн напряжения особенно велико в случае, если средний размер отдельных неоднородностей сравним с длиной волны X. При этих условиях ослабление волн напряжения вызывается не столько за счет процессов релаксационного, гистерезисного или резонансного типа, сколько диффузным рассеянием волн напряжений на этих неоднородностях. Во-вторых, следует всегда помнить, что связь (38) нарушается при tg ф > 0,1 и она для большинства мер будет зави­ сеть, как мы увидим ниже (см. гл. Ill и IV), от механизма рассея­ ния энергии.

При очень большой величине внутреннего трения (характерно для многих пластмасс и для сплавов в области фазовых превраще­ ний), например, логарифмический декремент колебаний не может служить надежной характеристикой Q-1, а в области апериодических движений понятие логарифмического декремента теряет всякий смысл. Поэтому в качестве меры внутреннего трения в области силь­ ного затухания колебаний следует взять другую величину, напри­ мер коэффициент затухания а (см. гл. III). В-третьих, даже при tg Ф < 0,1 связь между мерами нарушится, если упругие (восста­ навливающие) или диссипативные силы будут нелинейными. В этом случае функции (9), (12) и (25) будут периодическими, но не сину­ соидальными, и изображать их нужно при помощи ряда Фурье. Можно найти (см., например, [1]) приближенное выражение для комплексного модуля, если пренебречь вторым и следующими членами ряда Фурье и взять отношение первых членов. Вследствие нелинейности исходных уравнений полученные приближенные зна­ чения Л4т, /и и tg ср будут зависеть от амплитуды деформации. Наконец, измеренные значения, например tg ф, зависят не только от амплитуды колебаний, но, как увидим (в гл. Ill—VI), и от вида напряженного состояния.

Соотношение между значениями, полученными при поперечных

и продольных колебаниях, будет зависеть от механизма рассеяния энергии.

Практически внутреннее трение очень редко наблюдается в усло­ виях однородного напряженного состояния. Чаще всего его изучают на образцах, имеющих вид стержня, который совершает продольные,

15

поперечные или крутильные колебания. В этих случаях амплитуда деформации меняется по длине и по сечению образца, однако, как будет показано ниже (гл. IV), полученным результатам можно дать такое же объяснение, как и в случае однородного напряженного состояния (кроме случая, когда внутреннее трение зависит от ампли­ туды).

Следует отметить, что не существует метода, который бы позво­ лил измерить внутреннее трение на частотах от ІО-4 до ІО11 Гц. Создать его невозможно. В связи с этим используется ряд перекры­ вающих по частоте друг друга методов, к рассмотрению которых мы и переходим.

2. Методы определения величины внутреннего трения. Общие замечания

В тех случаях, когда внутреннее трение велико (Q”1 >■ 0,1), его можно определять непосредственно как количество тепла, кото­ рое выделяется, когда образец совершает замкнутый цикл напряже­ ний. Этот метод измерения Q”1 широкого распространения не по­ лучил и поэтому на нем останавливаться не будем.

Если угол сдвига фаз ф между напряжением и деформацией за­ метен и легко измерим, удобно в качестве меры внутреннего трения взять тангенс этого угла либо площадь петли динамического гисте­ резиса [1, 2]. Эта группа методов более употребительна, так как здесь определяется не только количество энергии, потерянное в те­ чение цикла напряжений, но и форма петли гистерезиса. Наиболее интересным из них является низкочастотный метод Кэ [1], позволяющий определить угол ф, и метод Трощенко [2], дающий возможность исследовать необратимое рассеяние энергии в мате­ риале непосредственно в процессе усталостного испытания с ис­ пользованием динамической петли гистерезиса.

Однако при высоких скоростях нагружения экспериментальное определение кривой напряжение—деформация связано с очень существенными трудностями, а именно с температурными эффектами в измерительной аппаратуре и с техникой записи распространя­ ющихся напряжений и деформаций. Трудности, связанные с такими измерениями, и некоторые методы, использованные для их преодоле­ ния, впервые были рассмотрены Тейлором (1950 г.).

Наиболее употребительными являются косвенные методы, осно­ ванные на наблюдении свободных и вынужденных колебаний стерж­ ней, а также на изучении характера распространения волн напря­ жения и деформации. Они разнообразны. С их помощью удается измерить внутреннее трение в области частот от —10”4 до 1011 Гц. Осуществить опыты на частотах ниже ІО”3 Гц и выше 1010 Гц очень трудно. Гиперзвук более высоких частот, чем 1011 Гц, искусственно возбудить не удается. Заметим, что естественные тепловые гипер­ звуковые колебания даже в кристаллах ограничены значением по­ рядка 1012—ІО13 Гц, поскольку при этих .частотах длина волны гиперзвука оказывается сравнимой с межатомными расстояниями,

16

ровання непосредственно в процессе измерения. Им же разработаны и другие типы крутильных маятников, в частности маятник, позво­ ляющий проводить измерения внутреннего трения в канале реак­ тора.

Известны и другие разновидности прямых, обращенных, комби­ нированных крутильных маятников, где используются свободные колебания малой амплитуды, отличающиеся от рассмотренных кон­

крутильные колебания', амплитуду которых отсчитывают по шкале 12. В момент резонанса

Расчеты по формуле (23) и по декременту б в случае свободных колебаний дают (в пределах ошибок эксперимента) то же самое значение для Q“1.

18