книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

Так как это самое общее линейное однородное уравнение, связы­ вающее напряжение, деформацию и их первые производные по вре­ мени, то тела \ подчиняющиеся уравнению (64), Зинер назвал стан­ дартными линейными телами.

Если предположить, что s равно нулю, то уравнение (67) превра­

время релаксации напряжения при условии постоянной деформации.

Если предположить, что а равно нулю, то, рассуждая аналогич­ ным образом, из уравнения (67) получим решение

•Найдем связь между напряжением и деформацией для модели Зинера, когда эта величина периодически изменяется со временем. С этой целью подставим в уравнение (72) а = а0exp (icot), е = е* exp (icot). В результате получим а = М*е, где комплексный

Внутреннее трение и.динамический модуль теперь можно, найти как

тст — те > 0, т. е. когда время ретардации больше времени релакса­ ции. Для реальных твердых тел зто возможно.

Нетрудно видеть, что динамический модуль М (со) при со —0

1 Аналогичное линейное уравнение можно получить и для трехэлементной модели Кельвина [163, 164].

60

Чтобы нагляднее представить себе изменение внутреннего трения стандартного линейного тела с частотой, а также принимая во внима­ ние, что для реальных тел ха и те — величины одного порядка, вве­

дем среднее геометрическое время релаксации т = Ухеха и средний геометрический модуль М =]/"М 1М2. Тогда используя уравнение

вытекающее из соотношений (69) и (71), можно преобразовать вы­ ражения (74) и (75) к следующему виду:

Полученные формулы полностью совпадают с известными фор­ мулами Зинера [1653, полученными им в результате формального обобщения закона 'Гука, если предположить, что М 2 = М н и М 1 = М р, где М п и М р — нерелаксированный и релаксированный модули соответственно. Из соотношения (76) следует, что М р = М (0), а М а — М (оо). Следовательно, нерелаксированный модуль есть такой модуль, который устанавливает связь между изменениями а и е, осуществляющимися столь быстро, что никакая релаксация не успевает произойти. В таком случае первый множитель Д,и = = (М а — M J / M в правой части уравнения (78) будет определять степень релаксации модуля, которую называют еще дефектом модуля.

Оценивать дефект модуля при простой экспоненциальной ре­

Как известно, изотропный материал можно характеризовать модулем сдвига G, модулем всестороннего сжатия К и модулем Юнга Е для ограниченных сред (см. гл. IV). Измеренная степень релаксации будет в общем зависеть от того, какой модуль характе­ ризует связь между напряжением и деформацией. Поэтому у сим­ вола А будет поставлен индекс, указывающий тип измерений, к ко­ торому относится данная степень релаксации, а именно:

В гл. IV показано, что при всестороннем гидростатическом давле­ нии релаксация мала, поэтому Ак *=« 0. Если Ак предположить

61

равным нулю, то существует связь между ДЕ и Ас. Из соотношения между G, К и Е для изотропного материала [1661

Для обычных значений ѵ величина Ас примерно на15% больше АЕ. Степень релаксации монокристалла зависит от его кристаллогра­ фической ориентации, а также от типа деформации, которой он под­ вергается. Если предположить, что кубический кристалл не претер­ певает релаксации при всестороннем гидростатическом давлении, то будем иметь две степени релаксации, соответствующие релаксации двух коэффициентов сдвига: с44 и (с41 — с12)/2. Обозначая эти две степени релаксации соответственно через 8 и б', а с44 и (с1Х— с12)/2 соответственно через с и с' найдем [165] для кубических кристаллов:

где у ъ у2, у3— направляющие косинусы оси образца относительно главных осей кристалла.

Легко убедиться в том, что внутреннее трение, определяемое фор­

т. е. тогда, когда частота колебаний со равна обратной величине вре­ мени релаксации т. По обе стороны от этого максимума внутреннее

62

Для релаксационных явлений, связанных с атомной и молеку­ лярной перестройкой в поле внутренних сил, вызванном внешними периодическими силами, время релаксации большей частью зависит от температуры, как показывает опыт, по закону

где Н — теплота активации рассматриваемого релаксационного про­ цесса:

В силу того, что внутреннее трение Q-1, согласно формуле (92), зависит от частоты и времени релаксации через произведение сот, можно оставить неизменной часто­ ту со, но варьировать время релак­ сации т изменением температуры.

При некоторой температуре Т мы удовлетворим равенству (91) и, следовательно, обнаружим на кри­

ственно его описать, но она не объясняет появление высокотемпера­ турного фона внутреннего трения, т. е. возрастание величины вну­ треннего трения после прохождения (при непрерывном повышении температуры) высокотемпературного максимума (см. рис. 26). Фон внутреннего трения, как мы видели выше, можно объяснить макс­ велловской реологической моделью. Попробуем описать пик и фон реологической моделью, представляющей собой последовательное соединение максвелловской модели с моделью Фойгта, т. е. четы­ рехэлементной моделью1 (рис. 42).

Модель Алфрея—Кобеко

Дифференциальное уравнение, связывающее е и а, можно в этом случае получить из следующих соображений. Общая деформация равна сумме деформации элемента Максвелла и элемента Фойгта,

т. е. в = ем + бф или е = вм + еф._

Скорость изменения деформации вм, согласно уравнению (54), будет

и

еМ: ж

1 Ее часто называют моделью Алфрея—Кобеко.

63

М 2 3> -Л4!, то деформация тела Алфрея—Кобеко будет определяться в основном деформацией максвелловского элемента, и потому вну­ треннее трение в этом случае следует вычислять по формуле, анало­ гичной (60). Если, наоборот, М г ^> М2 и гд > ifi2, то деформацию тела Алфрея—Кобеко определяют деформацией элемента Фойгта.

Этот случай, как мы говорили выше, для нас не представляет инте­ реса.

При другом соотношении между М г и М 2, % и т]г на кривой

Qä1 (Т) возможно появление максимума и фона.

Для иллюстрации этого на рис. 43 приведена температурная зависимость (кривая 3) внутреннего трения алюминия, вычисленная

Следовательно, реологическая модель Алфрея—Кобеко полнее отоб­ ражает свойства реальных материалов, чем модель Зинера. При по­ мощи этой модели можно качественно' объяснить характер темпера-

64

теория была распространена на случай неизотермических деформа­ ций (см., например, [167; 168; 92, с. 27 и др. ]).

В указанных работах исходя из соотношения для свободной энер­ гии F*, отнесенной к единице объема тела, полученного Леонтовичем (1952 г.) для необратимых процессов:

где S* — энтропия в неравновесном состоянии; ак— внешние па­ раметры, определяющие состояние тела (т. е. параметры, обуслов­ ленные расположением тел, находящихся вне рассматриваемой системы); Ак— обобщенные силы, сопряженные с параметром ак\ \к— внутренние параметры, характеризующие состояние системы; Хк— параметры, характеризующие фиктивное силовое поле, в ко­ тором рассматриваемая неравновесная система является равновес­ ной; Т — температура.

Величины F*, Ак и Хк являются функциями Т, ак и \к. 2 Akdak

к

представляет собой работу dR, произведенную над телом:

В состоянии равновесия F* (Т, ак, Ік) при заданных Т и ак мини­ мальна. Следовательно,

откуда определяются значения внутренних параметров в состоянии равновесия

Применим соотношения (100)—(103) к упругодеформированному твердому телу.

Неравновесное состояние упругодеформированного тела, а также любой его макроскопически малой части характеризуется темпера­ турой Т, тензором деформации ей, являющимся термодинамическим внешним параметром, и совокупностью термодинамических внутрен­

них параметров £$, . . ., \\пк . Параметры 1;“>, &ц{и температура ха­ рактеризуют степень отклонения состояния системы от состояния полного термодинамического равновесия. С течением времени при постоянных внешних условиях (Т = const, гік = const) состояние тела приближается к состоянию полного термодинамического равно­

личин -^ (тензоров релаксации) зависит от конкретного релакса­ ционного механизма. Работа, произведенная над единицей объема тела при деформировании, как известно, будет

66

Учитывая уравнение (104), а также то, что dFa является полным

Уравнение (105) является основным термодинамическим тожде­ ством в термодинамике необратимых процессов упругодеформиро­ ванных тел.

Для исследования поведения упругодеформированного тела, помимо уравнения (105), необходимо найти выражение для свобод­

ной энергии как явной функции величин е,-*, Т и | і“5, а также урав­

нения для определения тензоров релаксации Ограничиваясь, каки раньше, случаем линейного напряженного

состояния (объемный случай, см, например, [167—168]), рассмотрим сначала изотермическое деформирование однородного изотропного тела й допустим наличие одного механизма релаксации [169]. В этом случае тензоры &lk и \ lk будут характеризоваться лишь одной отлич­ ной от нуля компонентой, которые обозначим как ей ? . Считая тем­ пературу постоянной, а величины ей ? малыми, разложим свобод­

ную энергию Fa в ряд и ограничимся членами второго порядка:

Условие равновесия вместо (102) будет

Из выражений (100) и (107) следует

2Ь\ + се = 0 ,

откуда

Введем новую величину £, определяемую соотношением

Тогда условие (107) выполняется при £ = 0.

В переменных е и £ свободная энергия Fa принимает вид

(ПО)

Вместе с тем свободная энергия упругого тела, деформированного квазистатическим образом и, следовательно, находящегося в состоя­ нии статического равновесия, равна

Из известных минимальных свойств свободной энергии следует,,

Параметр релаксации £ является величиной, скорость изменения которой представляет собой функцию £; эта скорость тем меньше, чем ближе тело к состоянию равновесия, и обращается в нуль при достижении равновесия, т. е. при £ = 0. Считая £ малой величиной,

положим І = / (£), и, разложив эту функцию в ряд, ограничимся в разложении линейным членом %= / (0 ) + F (0 ) £•.

Ввиду того что при £ = 0 величина | также равна нулю, полу­

68

Проинтегрируем это дифференциальное уравнение, считая, что в бесконечно удаленном прошлом тело находилось в статическом равновесии. Тогда

Эту формулу можно применять как к сдвиговым, так и к объем­ ным изотермическим колебаниям. В первом случае М и ц будут означать модуль сдвига G и сдвиговую вязкость соответственно. Во втором случае под М и ц следует понимать изотермический модуль объемной упругости и объемной вязкости соответственно. Заметим также [см. формулы (119), что г)/т = — М 0 = AM. Следова­ тельно, релаксационная поправка в формуле (116), определяющая напряжение, будет обусловлена релаксацией либо сдвиговых, либо объемных напряжений.

Уравнение (116) легко может быть сведено к дифференциальномууравнению стандартного линейного тела: Но мы поступим несколько иначе, а именно найдем обобщенный закон Гука и убедимся в том, что, например, внутреннее трение описывается формулой, аналогич­ ной (78).

Подставляя 8 = е0 exp (iat) в уравнение (116), получаем обоб­

Умножая числитель и знаменатель второго члена правой части

69