книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

только времени t. При этом каждый член ряда должен удовлетво­ рять граничным условиям задачи (по два на каждом конце стержня/,

Рис. 70. К задаче об нзгнбных колебаниях стержня с распределенными парамет­ рами (схема):

а — деформации стержня; 6 — деформации элемента стержня; в — распределение напряжений в элементе

а вся сумма — также начальным условиям. Подставляя выражение (347) в уравнение (346) и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера я, получим

Здесь точка обозначает дифференцирование по времени, а штрих — по координате.

Так как левая часть уравнения (348) не зависит от времени t, а правая — от координаты г, то для тождественного выполнения равенства необходимо, чтобы обе части равнялись одной и той же постоянной.

130

В уравнении (349) обозначено

Интеграл уравнения (349) записывается в форме

представляют собой функции Крылова, которые связаны между собой дифференциальными соотношениями

Соотношения между постоянными Ап, Вп, Сп, Dn и собственными частотами со„ определяют граничными условиями. Для нашего слу­ чая на закрепленном конце равен нулю прогиб и угол поворота w'\ таким образом, граничные условия для левого конца имеют вид

Свободному концу стержня соответствует отсутствие огибающего момента, пропорционального w" и поперечной силе, пропорцио­ нальной w'". Это приводит к граничным условиям

С помощью уравнений (355) и (356) легко найти постоянные Л„, Вп, Сп, Dn и собственные частоты юп, а следовательно, установить вид фундаментальных функций Хп (z). Важно отметить, что фунда­ ментальные функции каждой задачи совершенно не зависят от вязких свойств стержня и образуют ортогональную систему, т. е.

Постоянные Сп и Du всегда можно найти по заданным начальным условиям. Пусть начальный прогиб и начальные скорости изменения прогиба во всех сечениях стержня заданы следующим образом:

равенств, обращаются в нули. Теперь из уравнения (363) нетрудно найти Сп и Dn для любого номера п.

Рассматривая выражение (361), заметим, что каждый его член

описывает затухающие колебания, если — действительное число. Из уравнения (360) видно, что это характерно лишь для нескольких начальных значений п, пока выполняется неравенство

При достаточно больших значениях п неравенство (364) нару­

шается и величина а>1 становится мнимой. При этом соответствующие члены общего решения (361) уже не будут описывать затухающих колебаний, но будут представлять апериодическое движение стержня. Имея это в виду, можно, как это делали выше, разделить решение (361) на две части: затухающую и апериодическую.

132

Заметим еще, что искусственным выбором начальных условий можно обеспечить монохроматичность процесса колебаний. Пусть, например, f x (2) = Х х (2), f23 (2, = 0), т. е. в начальный момент за­ даны прогибы, точно соответствующие первой фундаментальной функции.

форма f x (2) = Х х (2) устойчива и без всяких искажений сохраняется

т. е. совпадает с выражением (66), установленным при исследовании модели Фойгта. Следовательно, все, что было сказано относительно формулы (66), остается в силе и для формулы (365).

Исследование поперечных колебаний стержней, материал ко­ торых описывается другими реологическими моделями (Максвелла, Зинера. . .), представляет значительно оолее трудную задачу [222].

Вынужденные колебания

Пусть возмущающая поперечная нагрузка будет синусоидальной:

Для получения уравнения вынужденных колебаний введем на­ грузку (366) в уравнение (345). Тогда вместо (346) придем к урав­ нению

Далее поступим, как в разделе «Свободные колебания», и будем искать решение разложением в ряд по фундаментальным функциям соответствующей однородной задачи:

В конечном итоге для фундаментальных функций Х п найдем прежнее уравнение (352), а для функции У„ (t) — уравнение

где hn — коэффициент в разложении амплитуды F0 (г) в ряд по фундаментальным функциям:

133

Для того чтобы определить hn, умножим обе части равенства (370) на Хп (z) и проинтегрируем его по всей длине I стержня.

Благодаря свойству ортогональности фундаментальных функций (357) в правой части сохранится только одно слагаемое, мы получим

F0 (z) Xß(г) dz = hnJ Хп (z)dz.

Легко видеть, что при а>п >> ш знаменатель выражения (374) возрастает с увеличением номера п; соответственно происходит убывание амплитуд Ап. Это значит, что высшие гармоники (при условии ш„ >» ш) имеют тем меньшее значение, чем больше номер гармоники. Если значение частоты со возмущающей силы совпадает со значением одной из собственных частот со„, то Ап приобретает значение

Отсюда следует, что резонансу с высшими собственными часто­ тами, как правило, отвечают меньшие резонансные амплитуды.

134

Нетрудно показать, что коэффициент поглощения при со = со„

(377)

т. е. коэффициент поглощения зависит от номера собственной ча­ стоты, с которой резонирует возмущающая нагрузка; чем больше номер, тем больше коэффициент поглощения. Такой же результат был получен выше [см,, формулу (365) ] для случая свободных ко­ лебаний стержня.

Тепловая релаксация Зинера

Как мы отмечали выше (гл. Ill), продольные волны имеют малое затухание, обусловленное потоком тепла вдоль направления гра­ диента температуры, создаваемого упругими волнами. Волны яв­ ляются по существу адиабатическими.

Однако положение меняется, если рассматривать поперечные колебания тонких образцов [165]. В этом случае температурная релаксация происходит в результате потока тепла через поверхность образца. Следуя Зинеру [165], рассмотрим эту задачу.

Будем считать, что деформация зависит только от двух пере­ менных: от напряжения и температуры. Тогда деформация, рассма­ триваемая как изменение размеров относительно состояния с ну­ левым напряжением и при начальной температуре, дается выраже­ нием

модуль Юнга; X— коэффициент линейного теплового расширения; АТ — разность температур между растянутыми и сжатыми волок­ нами; е — деформация, определяемая выражением (341).

Очевидно, зависимость между напряжением и деформацией можно получить только в том случае, если изменение температуры обу­ словлено двумя процессами. Одним из этих процессов является диф­ фузия тепла, т. е. выравнивание, или релаксация температурных флуктуаций. Изменение температуры, обусловленное диффузией, в очень хорошем приближении может быть выражено следующим простым уравнением:

Величина т — время релаксации. Точное значение т зависит от ограничений, налагаемых на напряжение или деформацию в про­ цессе релаксации.

Вторым процессом, влияющим на температуру, является изме­ нение деформации, возникающее под влиянием других источников, отличных от изменения самой температуры. Так, например, если повышение температуры вызывает увеличение длины образца, то,

135

наоборот, адиабатическое увеличение длины должно быть связано с понижением температуры. Это второе изменение температуры может быть написано в виде

Уравнение, связывающее напряжениеи деформацию, получается исключением величины АТ из уравнений (378) и (381). При этом находим уравнение (67), где величина М 2 = Ен определяется из выражения

Следовательно, если температурныефлуктуацииподчиняются уравнению (381), то термоупрутая связь превращает твердое тело, подчиняющееся закону Гука, в тело Зинера, неупругие свойства которого рассматривались подробно выше (см. гл. Ill и IV).

Из уравнения (382) получаем

Можно вывести и другую формулу для Д£, выразив ее через величины, которые могут быть более непосредственно измерены, чем у. Если рассматривать а и Т как независимые переменные, а в и s — как их функции, то будем иметь

Полагая в уравнении (385) dS=0 и решая его совместно с выраже­ нием (384), получаем для адиабатического модуля

136

и потому

(389)

Теперь вернемся к уравнениям (378) и (379). Уравнение (379)

устанавливает простую релаксационную связь между АТ и АТ. Заменим ее на более общую, которая дается уравнением диффузии. Тогда вместо (379) напишем

Объединяя его с уравнением (380), найдем

Чтобы вывести уравнения, из которых исключены пространствен­ ные координаты, удобно разложить е, а и АТ в ряд по ортонормированным функциям, которые являются собственными функциями дифференциального уравнения

при соответствующих граничных условиях.

В рассматриваемом частном случае деформацию в хорошем при­ ближении можно считать функцией только поперечного размера образца (341). Поэтому уравнение (392) можно заменить уравнением

где координата у соответствует поперечному размеру. Граничные условия должны соответствовать отсутствию теплового потока через границы. Если размер образца.а в направлении у (см. рис. 70), то граничное условие имеет вид

Собственные ортонормированные решения и характеристические времена релаксации для этой задачи равны соответственно

Разложим теперь е, а и АТ в ряд по ортонормированным функ­ циям X (у):

137

Подставим (397) в уравнения (378) и (391), умножим их на Х;- и проинтегрируем по объему образца, используя основное свойство ортонормированных функций [см. (357)]; получим

Таким образом,. каждый ортогональный термодинамический по­ тенциал 1 Tk удовлетворяет простому релаксационному уравнению.

Скорость рассеяния энергии образцом выражается формулой

(А№) = I ое dv,

где интеграл берется по всему объему образца. Используя уравне­ ние (397) и условие ортонормированности, приходим к выражению

Если теперь предположить, что е, а и Т изменяются периодически со временем, и если взять среднее по времени, то получим, исполь­ зуя уравнение (398),

В том случае, когда Ер/Еѵ лишь немного меньше единицы, вну­ треннее трение может быть определено как [см. (38) ]

1 Величину Т можно рассматривать как термодинамический потенциал, так как система находится в равновесии только в том случае, если Т повсюду имеет оди­ наковое значение.

138

Таким образом, определение внутреннего трения, обусловленного релаксацией теплового потока при изгибных колебаниях, сводится

Тогда тепловую релаксацию в об­ разце, испытывающем поперечные колебания, можно рассматривать

как простую релаксацию со временем релаксации, равным a/n2D, где а — ширина образца, а D = и/£р — коэффициент тепловой

139