книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

степень N 2. Такую дробно-рациональную функцию, числитель которой имеет степень, меньшую степени знаменателя, можно раз­ ложить на конечное число простейших дробей [207 ]. Если знаме­ натель имеет простые нули ри р2, . . ., рѵ, т. е. если

Q2» = (P — Pi)(P~P2)---(р— PN +Z) , ,

то коэффициентами такого разложения будут вычеты функции [205]:

Qm(р)

Фп (Р) 0-2П(Р)

в ее полюсах рѵ. Эти вычеты равны Qi„ (pvVQ&i (Рѵ). где QJ„ (pv) — производная Q2ll (p) в точке pv. Таким образом, полученное в про­ странстве изображений решение (244) может быть представлено в виде

со JV+1

< 2 4 6 >

1 Ѵ=1

Так как в выражении (245) второй ряд, в котором стоят члены, зависящие от р, содержит конечное их количество, то можно выпол­ нить почленный переход в, пространство, оригиналов. В результате такого перехода мы получим следующее выражение для решения задачи в оригинале:

Трудность рассмотренного приема решения задачи состоит в на­ хождении явного вида корней полинома Q2n (р), который является алгебраическим уравнением N + 2-й степени относительно р.

Согласно теореме Руффини—Абеля [208], любое уравнение сте­ пени N ^ 4 разрешимо в радикалах, т. е. для него можно вывести общую формулу, с помощью которой корни данного уравнения не выше четвертой степени выражаются -алгебраическими действиями. Заметим, что для уравнения четвертой степени эти формулы до­ вольно сложны и редко применяются для практических расчетов. Для уравнений степени N > 4 вообще нельзя указать таких формул. Поэтому для уравнения выше четвертой степени могут быть исполь­ зованы' приближенные и численные методы нахождения корней.

Однако использовать приближенные методы надо с осторож­ ностью, так как формальные приближения могут дать ошибочный результат. Так, Фастов [209], пытаясь решить аналогичную задачу на случай N релаксационных процессов, пришел к неверному вы­ воду о наличии лишь N — 2 релаксационных пиков, однако в дей­ ствительности, как мы видели выше (гл. Ill), в данном случае должен быть N — 1 пик.

100

Мы провели общий анализ колебательного движения крутильного маятника, не уточняя, какими свойствами обладает материал стержня. Будем предполагать, что материал стержня характери­ зуется какой-нибудь конкретной реологической моделью, которая рассмотрена в гл. III.

Модель Максвелла

Допустим, что в стержне протекает единственный релаксационный процесс, который приводит к полной релаксации сдвиговых напря­ жений. Механизмом такого релаксационного процесса может быть, например, диффузия вакансий [2 1 0 ].

Для описания такого поведения в выражении (228) надо предпо­ ложить равновесное значение модуля сдвига G0 равным нулю и ограничиться одной частотой релаксации s.

В этом случае уравнение движения крутильного маятника (233) примет вид

Решение этого уравнения с условиями (234) можно довольно

явный вид которых зависит от знака дискриминанта Dn квадратного уравнения. Возможны два случая, которые рассмотрим подробно.

101

Подставляя найденные значения корней в формулу (248) и про­ водя соответствующие преобразования, получим решение урав­ нения (247) в виде

Решение уравнения (252) состоит из двух слагаемых: первое слагаемое определяет новое положение равновесия, около которого происходят затухающие колебания. Смещение положения равно­ весия обусловлено собственной вязкостью образца. Второе сла­ гаемое представляет собой бесконечную сумму затухающих со вре­ менем гармонических колебаний. Условие существования, этих колебаний, как видно из равенств (251),— действительность вели­ чин со„, являющихся собственными частотами.

Подставляя эти значения корней в формулу (248) и проводя соответствующие преобразования, получим решение, которое пред­

положительными.

Проанализируем полученные решения с точки зрения рассеяния энергии. При затухающих колебаниях за меру внутреннего трения принимается логарифмический декремент этих колебаний, который

102

•где 'Yo = _f' = _^ ---- коэффициент затухания гармонических ко­

лебаний. Отметим, что он одинаков для всех гармоник независимо от номера п. Заметим также, что в работе [211 ] получено точно та­ кое же значение коэффициента затухания.

Таким образом, в данном случае коэффициент затухания является демпфирующей характеристикой, не зависящей от конкретного спо­ соба измерения, и определяется только реологическими свойствами рассматриваемой среды.

Логарифмический же декремент Зависит от характера конкретной задачи посредством частоты со„, которая для затухающих колебаний крутильного маятника определяется выражением (251). В формуле (251) пока неизвестной остается величина Ьп, для определения

Точные значения b являются корнями уравнения (259). Для практических расчетов можно воспользоваться приближенными кор­ нями. Для случая а <§С1, что обычно всегда выполняется эксперимен­ тально (а 10“ 6-н10- 8) с помощью разложения в ряд Тейлора около точек пл, получается следующее значение корней Ьп:

b1^ V a \ ön+1« + (260)

Подставляя найденные b}- в уравнение (251) и учитывая выраже­

области.

Условие существования колебаний для первой гармоники теперь будет

103

Таким образом, эти меры различаются только частотой, и поэтому -они дадут разные результаты в случае заметного изменения собствен­ ной частоты колебаний со„ за счет релаксационного процесса, что для максвелловской среды наблюдается вблизи точки перехода зату­ хающих колебаний в апериодичность.

Для численных оценок ограничимся основным тоном (первая гармоника) и положим для простоты со1а) = 1 .

Поскольку время релаксации фона обусловлено самодиффузией, можно принять т = т0 exp (u/kT), где и — энергия активации.

В области, далекой от апериодичности, когда 4со?ют2 > 1, тем­

пературная зависимость со? будет определяться лишь температурной зависимостью нерелаксационной природы (Gm/p).

Хорошо известно, что для монокристаллов со? в этой области линейно убывает с ростом температуры. Температурная зависимость декремента в этой области при пренебрежении слабой температурной

зависимостью со! будет экспоненциальной. Температурная зависи­ мость декремента для монокристаллов кадмия и цинка, приведенная в работе [213], может приближенно описываться экспонентой, что согласуется с формулой (276).

Если условие существования колебаний 4со^сог2 > 1 будет на­

рушаться для температур ниже точек плавления, то повышение температуры в области 4со^шт2 ^ 1 должно сопровождаться гораздо

более быстрым уменьшением частоты, чем линейная зависимость

со? (Т), а соответственно и декремент должен расти быстрее, чем простая экспонента. Так как энергия активации и для поликристал­ лов меньше, чем для монокристаллов, то для них нарушение условий существования колебаний (265) и (266) должно произойти при более низкой температуре. Таким образом, для поликристаллов фон вну­ треннего трения должен идти выше, чем для монокристаллов, что всегда наблюдается в эксперименте [182]. Это непосредственно сле­ дует и из формулы (276). Рост фона по теории будет происходить вплоть до бесконечности с последующим переходом затухающих колебаний в апериодичность. Заметим, что точка перехода в аперио­ дичность, вообще говоря, не совпадает с температурой плавления, так как ее положение определяется не только физическими процес­ сами, протекающими в системе, но и ее механическими и геометри­ ческими характеристиками. Например, изменяя о»! при помощи инерционной подвески, можно сдвинуть точку перехода в апериодич­ ность по оси температур.

На\рис. 50 приведена температурная зависимость внутреннего трения, рассчитанного по реологической модели (кривая 1) и по ре­ шению краевой задачи (кривая 2) для тела Максвелла (см. [92, с. 46]).

Как видно из рисунка, результаты совпадают в той области, где частота собственных колебаний остается постоянной, и существенно различаются вблизи точки перехода колебаний в апериодичность. Кривая 1 характеризует конечное значение внутреннего трения во всей температурной области и поэтому не может быть использована

105

для описания наблюдаемого экспериментально быстрого роста фона внутреннего трения [182].

В области резкого возрастания внутреннего трения, когда его экспериментальное определение становится затруднительным, инте­ ресно проследить поведение такой характеристики рассеяния энер-

intgp и?

Рис. 50. Температурная зависимость

гии, которая не учитывает резкого изменения собственной частоты колебаний. Выше было сказано, что«за такую характеристику удобно принять коэффициент затухания у [214]..

Как видно из рис. 50, в области колебаний прямая ln tg cp парал­ лельна ln у. В области апериодичности верхняя ветвь In уг (кривая 4) дает большое затухание, тогда как нижняя

In Уі — малое. Вклад данного коэффициента у,- определяется амплитудой Нг [см. фор­ мулу (257)], стоящей перед соответствующей экспонентой.

Температурная зависимость Ht- (Т) пред­ ставлена на рис. 151. Здесь кривая Н2 дает вклад, соответствующий возрастаю­ щему коэффициенту затухания у2, тогда как

движение маятника не описывается простой экспонентой. Граница области апериодич­

ности Dі = 0 при CÜL = 1 определяется временем релаксации т = 0,5. Времена ре­ лаксации тР і1 и т0і01, для которых Н2/Н J

равноО.1 и0,01, соответственно равны0,43 и 0,2. Поскольку время релаксации т = т0 exp (ulkT), то искомую область температур определяют из отношения

АТ- ■Т2Д(1пт), (277)

если АТ/Т < 1.

В области суперпозиции ух и у2 обе экспоненты можно разделить, если ух и у2 существенно отличаются друг от друга. Однако при этом

106

cp (z, t) будет такой же, как и для среды с двумя релаксационными механизмами. При дальнейшем понижении температуры найденная экспериментальная зависимость ф (z, t) будет восприниматься как искаженная экспонента.

Сравним, наконец, температурную зависимость динамического

с квадратом собственной частоты колебаний (261). В упругой области эти две величины пропорциональны друг другу. Обычно без доста­ точного на то основания эту пропорциональность принимают для всей температурной области. Однако сопоставление температурной

зависимости о? (кривая б) и динамического модуля (кривая 7), приведенное на рис. 50, показывает, что это не так, и поведение этих величин существенно различно. Хотя спад обеих кривых лежит в одинаковой температурной области, определяемой условием

сот ~ 1 , со? равен нулю в точке перехода к апериодичности, тогда как Ga асимптотически стремится к нулю с ростом температуры.

Модель Зинера

Полагая N = 1 и G0 ф 0 и подставляя их в уравнения (228) и (233), получим следующее уравнение крутильных колебаний для модели Зинера:

нерелаксированную и релаксированную собственные частоты коле­ баний соответственно. Окончательный вид решения (280) зависит от явного вида корней уравнения (281), который определяется

1 См. также [204, 215].

107

знаком дискриминанта этого уравнения Dn. Можно убедиться [215], что в зависимости от знака Dn решение уравнения (280) представляет собой либо затухающие гармонические колебания, либо апериоди­ ческое движение.

В области колебаний за меру внутреннего трения принимается 8Jn, где бп — логарифмический декремент колебания п-й гармоники, который стремится к бесконечности на границе области апериодич­ ности D,, = 0. Из выражений (280) и (281) находим [2151

Условие перехода колебаний в апериодическое движение зависит от номера гармоники и наступает для различных п неодновременно [215]. Например, при G0/Gro = 1 0 “ 2 для первой гармоники 8г/л = = 4,7, а для второй б2/я = 3,9-10“ 4 и при Dx = 0 значение П 2 > 0. Таким образом, апериодичность наступает скорее всего для низших гармоник, в то время как высшие гармоники совершают затуха­ ющие колебания. Поэтому возможно смешанное решение [215], которое удобно записать в виде

Но отсюда не следует быстрое затухание высокочастотных гармоник, так как декременты затухания для них б2 < бх. Поэтому затухание этих двух гармоник происходит за одинаковый по порядку величины

Так как для релаксационных процессов т = т0 exp (ulkT), то зави­ симость бхІп от ln X эквивалентна температурной зависимости.

Как и следовало ожидать, при большом затухании ход кривых б Jn существенно отличается от температурного хода йри малом затухании: пики с увеличением дефекта модуля становятся все более острыми и затем сменяются областью апериодичности. Следует обратить внимание на смещение кривых 8х/л, которое для больших дефектов модуля приводит к пересечению кривых, следовательно, дает аномальный ход внутреннего трения, т. е. в некотором тем­

108 .

пературном интервале с увеличением дефекта Д0 может наблюдаться уменьшение б^/п.

Отмеченный температурный интервал особенно наглядно иллю­ стрируется рис. 53 с помощью изодекрементных кривых в коорди­ натах Д0— In т. Область, расположенная внутри кривой 8Jn — = оо (Dx = 0 ), является областью апериодичности, тогда как внеш­ няя область относится к затухающим гармоническим колебаниям. Смещение максимумов внутреннего трения с ростом А0 выражается здесь в асимметричном поведении кривых. В области, где кривые öjn имеют отрицательный наклон, наблюдается та же аномалия.

Все рассуждения относились к логарифмическому декременту колебаний ЬхІп. Интересно сравнить эту меру с tg ср главным обра­ зом при большом затухании. Зинер (1947 г.), не решая краевой задачи, нашел связь между этими величинами в максимуме, что для данной модели является наиболее интересным. Этот результат при­ веден на рис. 54, из которого видно, что чем сильнее затухание, тем значительнее расхождение между tg cpmax и (б1/я)тах, становя­ щееся бесконечно большим на границе области апериодичности.

На рис. 55 изображена температурная зависимость COL рассчитан­ ная по формулам, приведенным в работе [215]; при этом область

со? < 0 соответствует апериодическому движению. На этом же рисунке нанесены кривые динамического модуля Ga = Gm—

-----Г^Гц2т 2 в предположении со = 1 и те же кривые, но с уче­

том изменения соответственной частоты колебаний с температурой, причем корректировка производилась по решению краевой задачи. [215]. В качестве параметра во всех случаях принимался дефект мо­ дуля. Как видно из сравнения этих кривых, только при малом

109